广西壮族自治区柳州市2025届高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广西壮族自治区柳州市2025届高三三模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，且，所以，所以实数的取值范围是，故选:D.2.在复平面内，复数对应的向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由复数对应的向量，则，所以.故选：A3.在等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，所以，故选:A.4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，则故选：C.5.在展开式中，的系数为（）A.15 B.90 C.270 D.405【答案】B【解析】在展开式中，的项为，所以所求的系数为90.故选：B6.有男､女教师各1人，男､女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）A.10种 B.12种 C.15种 D.20种【答案】C【解析】从6人中任选3人，有种选法，其中，若全选男生或全选学生，有种选法，所以符合题意的选法为种.故选：C7.已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有，即，，所以，所以.所以的范围为.故选：C8.已知，，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，则，由，得，即，则，，则，因此，所以，即.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.有一组数、、、，这组数的第百分位数是B.在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过C.随机变量，若，，则D.以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，【答案】BD【解析】对于A选项，因为，所以，这组数据的第百分位数是，A错；对于B选项，在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过，B对；对于C选项，随机变量，若，，解得，，C错；对于D选项，以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，即，可得，故，，D对.故选：BD.10.已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的长轴长是2B.的最大值是C.的面积的最大值为，其中为坐标原点D.直线与椭圆相切时，【答案】BCD【解析】对于A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A错误；对于B：由，得，则，，由，得，所以，又二次函数的对称轴为，所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由题意得，，所以，即的面积的最大值为，故C正确；对于D：由，消去y，得，因为直线与椭圆相切，只有一个交点，所以，解得，故D正确.故选：BCD.11.我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则（）A.是奇函数B.C.在随的增大而减小，在随的增大而增大D.的面积随的增大而减小【答案】ACD【解析】A：因为偶函数，为奇函数，则是奇函数，故A正确；B：，，故，故B错误；C：设，，则，，，，，曲线在点处的切线方程为，即；曲线在点处的切线方程为，即；则，则令，则，得；得，则在上单调递减，在上单调递增，故C正确；D：的面积为，故面积随的增大而减小，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.圆被轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】由题设可得圆心坐标为，半径为，故所求弦长为，故答案为：413.已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为______.【答案】【解析】如下图所示：因为、分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线，所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则，所以，异面直线与所成角的最小值为，且，故.故答案为：.14.在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______.【答案】【解析】如图，因，所以以为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，则,设,则，过点作轴的垂线，垂足为，则，所以，所以，因为，所以，所以，则，，所以，所以当，即时，有最大值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，的面积为.已知.（1）求；（2）求函数在上的单调递增区间.解：（1）由，由余弦定理，，代入即得：，化简得：因为，所以.（2），由，解得，又，所以或，所以单调递增区间为和.16.已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值；（2）对任意，在上单调递增，求的最大值.解：（1）因为，所以，因为函数在处有极值，所以，，得，.从而，，即.解得或，若，则，此时，显然单调递增，不存在极值，矛盾.所以只可能，.当，时，.从而对有，这说明此时确实在处取到极小值.故所求的为.（2）①若，则当时，对有.所以在上单调递减.而，所以不可能在上递增，不满足条件；②当时，对任意，有，且等号仅在一点成立.所以单调递增，故一定在上单调递增，满足条件.综上，的最大值为.17.如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值.（1）证明：由于平面平面故因为，所以底面为直角梯形，故，过，且与相交于，则，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）解：由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故为二面角的平面角，所以从而.18.某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复.（1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率；（2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率；（3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式.解：（1）记事件该同学第天去餐厅，则，，，由概率乘法公式可得.（2）由对立事件的概率公式可得，由全概率公式可得.（3）记事件该同学第天去餐厅，则，由题意可知，，，由全概率公式可得，即，则，所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，故.19.已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）过点直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值.解：（1）已知点在抛物线上，将点的坐标代入抛物线方程可得：，即，解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线，则，当时，切线斜率，由点斜式可得过点的切线方程为，即；令，可得，所以；由，可得，所以，设直线