广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省梅州市2025届高三下学期2月质检数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合之间关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于A选项，，，故，A错；对于B选项，，，故，B对；对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错；对于D选项，，故，D错.故选：B.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，由题意可得，即，由复数相等的概念可得，解得，即，故.故选：D.3.如图，已知同一平而上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为，点A，B分别在直线a，b上，且，设，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设依题意，，因点P落在阴影部分（不含边界），且，易得，且，由，可得，由，又，故可得：，即，因，则，即，由，可得，整理得：，因，故得，即；由，可得，整理得：显然成立.综上分析，可得.故选：C.4.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设水体对应的台体的高为，则水体对应台体的上底面是边长为的正方形，由台体的体积公式可得，解得，故容器的高为，容器的容积为，故选：A.5.已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为等差数列的前项和为，且，则，，无法判断ABC选项，，D对.故选：D.6.某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（）参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．参考数据：令32.50.510126A. B. C. D.【答案】D【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB；设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则，因此，，即，，C错误，D正确.故选：D7.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，图中的截面边界曲线（抛物线）的焦点到准线的距离为（）A. B.5 C.6 D.【答案】A【解析】在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，在直角三角形中，已知，，可得.因为为的中点，在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，所以.设抛物线于底面圆的一个交点为H,由已知可得点的横坐标为的长度，纵坐标为，不妨取.设抛物线方程为，把代入抛物线方程可得，即，解得.对于抛物线，其焦点到准线的距离就是的值，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：A.8.函数在的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，则，令，，则，所以，，由二次函数的性质可得当，取得最大值，又，所以.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.函数的图象关于y轴对称 B.函数的图象关于原点对称C.函数存在最小值 D.函数不存在最大值【答案】BD【解析】已知函数，其定义域为，关于原点对称.根据奇函数的定义可知，函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选项A错误，选项B正确.令，则或.由，解得；由，解得，.当时，，的值在之间不断变化.当时，，此时；当时，，此时.这说明函数既没有最大值也没有最小值，故选项C错误，选项D正确.故选：BD.10.如图，四边形是一个矩形，，，半圆面平面，动点沿着半圆弧从点运动到点（点不与点、重合），下列说法错误的是（）A.当点运动到某一位置时，B.总有平面平面C.当点运动到半圆弧的中点时，二面角的正切值为D.三棱锥的外接球的体积先增后减【答案】ACD【解析】因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，对于A选项，当点运动到某一位置时，，由圆的几何性质可知，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，平面，所以，这与矛盾，A错；对于B选项，因为平面，平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，B对；对于C选项，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，当点为半圆弧的中点时，，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以，二面角的平面角为，因为，所以，所以，，即二面角的正切值为，C错；对于D选项，因为平面，，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球直径为为定值，故三棱锥的外接球的体积为，D错.故选：ACD.11.如图所示，P，Q为数轴上两点，初始位置的数字分别为2，0，它们每隔1秒钟都在数轴上独立地向左或向右移动一个单位，已知点P向左或向右移动的概率均为；点Q向左移动的概率为，向右移动的概率为．分别记点P、Q在n秒后所在位置的数字为、，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，当，即一秒后两点的距离仍为2，所以同时往左或往右一步，则，故A正确；对于B，当，即两秒后两点坐标和仍为2，所以；或；或，而且向左向右的顺序不影响结果，所以，，，，，所以，故B错误；对于C，当，即或时，所以，故C错误；对于D，，由C可得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知双曲线的离心率为2，则实数______．【答案】12【解析】由双曲线知，，，所以，解得.故答案为：1213.的末三位数是____________．【答案】481【解析】因，因是正整数，故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481.故答案为：481.14.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为____________．【答案】【解析】令，由，得，函数是偶函数，当时，，则，函数上单调递增，由，得，整理得，即，因此，即，解得，所以实数t的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前n项和为，求使得的n的最小值．解：（1）由数列的前n项和可得：当时，，当时，，即得：，因此得．（2）因为，所以数列的前n项和关于n单调递增，而，，因此，使得的n的最小值为4．16.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数的最小值是2，求实数a的值．解：（1）当时，，将代入得：，函数的导数为，曲线在点处切线的斜率为，因此，曲线在点处的切线方程为：，即：．（2）对求导：，①当时，恒有，于是在上单调递减，此时，无最小值；②当时，令，得，当都有在上单调递减；当都有在上单调递增因此在处取得最小值，依题意，，即：解得：．综上，当时，函数的最小值是2．17.如图乙，在等边中，D为上一点，且分别在边上，．（1）如图甲，当点F与点C重合时，求；（2）求面积的最小值．解：（1）当点F与点C重合时，在中，，由余弦定理得：，得，于是，而，因此．（2）设，在中，由正弦定理，得，所以，在中，，同理，得，故，当时，的最大值为，此时的面积取得最小值，即．18.如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙．（1）当二面角为时，求的长；（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）连结与交于点M，依题意，，于是四边形和均为菱形，和等边三角形，所以，又，于是在图中，即为二面角平面角，即有，由余弦定理得：，所以．（2）平面平面的情况不存在．设平面平面，因为平面，所以，而且，因此平面，即有平面，于是为二面角的平面角，因为，所以在等腰中不可能等于直角，即平面平面的情况不存在．19.已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点．（1）求椭圆E的方程；（2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q．①证明：定值；②求面积的最大值．解：（1）