广东省茂名市高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省茂名市高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章7.2.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）A.60种 B.80种 C.100种 D.120种【答案】D【解析】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．故选:D．2.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置η；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B．3.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.y=-2x+1【答案】A【解析】由函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：A4.若随机变量的分布列如表，则的值为（）1234A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意可得，所以.故选：A.5.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴．∵，∴．故选：C．6.的展开式中，的系数与常数项之差为（）A.－3 B.－1 C.5 D.7【答案】C【解析】因为，取可得常数项为：，在中，含的项为，在中，含的项为，所以的展开式中，的系数为，所以的系数与常数项之差为.故选：C.7.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，其中，令，解得，令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，，因为在上恒成立，所以，，解得.故选：B.8.已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由，得，令，，则，所以在上恒成立，所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；所以，所以，所以，所以，即．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有8项B.展开式中的常数项是70C.展开式中各项系数之和为0D.展开式中的二项式系数之和为64【答案】BC【解析】的展开式共有9项，故A错误；展开式中的常数项为，故B正确；令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC10.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值【答案】ACD【解析】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．11.袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A.事件与事件不相互独立B.事件与事件互斥C.在事件发生的前提下，事件发生的概率为D.在事件发生的前提下，事件发生的概率为【答案】ACD【解析】依题意，，，，，对于A，因为，则事件与事件不相互独立，A正确；对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件中，也在事件中，事件与事件不互斥，B错误；对于C，在事件发生的前提下，事件发生的概率，C正确；对于D，在事件发生的前提下，事件发生的概率，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______________种．【答案】12【解析】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）．故答案为：12.13.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为______.【答案】【解析】记Ai为事件“零件为第台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”，则，，所以由全概率公式可得;由条件概率公式可得.故答案为：14.已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．【答案】【解析】由题得函数定义域为，因为，所以函数是奇函数．又恒成立，所以函数在上单调递增；不等式等价于，所以，即，解得．所以实数t的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为，求的分布列.解：由题意得，解得，，解得，所以的分布列为109870.40.20.20.2η分布列为η109870.30.30.20.216.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为.（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列.解：（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，整理得到，解得，若2个全是大集团，共有（种）情况，若2个全是小集团，共有（种）情况，故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为；（2）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，，，故的分布列为012317.已知函数.（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性.解：（1）当时，，则定义域为，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值.（2）由题意知：定义域为，；当时，若，则；若，则；在上单调递增，在上单调递减；当时，若，则；若，则；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.18.已知函数．（1）若，证明：：（2）若，都有，求实数的取值范围．解：（1）若，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故；（2）不妨设，所以，即，所以函数在上单调递增，令在上恒成立，令．当时，在上恒成立，又，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，此种情况无解，当时，在上单调递增，，在上恒成立，综上所述，的取值范围为．19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点．①求实数a的取值范围；②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围．解：（1）由题知，函数的定义域为，，当时，对任意的，在上恒成立不恒为零，故在上单调递减；当时，令，则，解得，当时，；当时，．所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，