广东省茂名市2024-2025学年高一下学期第一次校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省茂名市2024-2025学年高一下学期第一次校际联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.复数的虚部是（）A.i B. C.1 D.【答案】C【解析】由复数，根据复数的定义，可得复数的虚部为.故选：C.2.在平行四边形ABCD中，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行四边形ABCD中，，而，，，.故选：B.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】由题意可得，所以函数的图象向右平移个单位长度可得.故选：D.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则（）A.60° B.75° C.60°或120° D.15°或75°【答案】C【解析】由正弦定理得，，即，所以或，当时，，成立；当时，，成立.故选：C.5.在中，是的中点，是的中点，若，则（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】∵是的中点，，为的中点，∴，∵，∴，，∴.故选：D.6.已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在方向上的投影为，又方向上的单位向量为，故在方向上的投影向量是.故选：D.7.在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为，由正弦定理可得，即，所以，可得或，所以或，所以的形状为等腰或直角三角形.故选：D．8.已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（）A.－14 B.14 C.－2 D.2【答案】B【解析】，，，，，两个非零向量与的夹角为，，，，.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.在中，角，，的对边分别为，，，则（）A.若，则B.若，，则外接圆的半径为2C.若，则为钝角三角形D.若，则点是的重心【答案】BCD【解析】对于A：若，，满足，但是，，故A错误；对于B：由正弦定理，所以，即外接圆的半径为，故B正确；对于C：由余弦定理，又，所以为钝角，故为钝角三角形，故C正确；对于D：取中点，则，又，所以，所以在中线上，且，所以为的重心，故D正确.故选：BCD.10.函数的图象为，则以下结论中正确的是（）A.图象关于直线对称 B.图象关于点对称C.函数在区间内是增函数 D.是偶函数【答案】BC【解析】对于A选项，因，故图象不关于直线对称，A错；对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间内是增函数，C对；对于D选项，为奇函数，D错.故选：BC.11.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联．在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项中正确的是（）A.对应的点位于第四象限 B.为纯虚数C.的模长等于 D.的共轭复数为【答案】BC【解析】对于A，，对应的点位于第二象限，A错误；对B，，故为纯虚数，B正确；对于C，的模长等于，C正确；对于D，，其共辄复数为，D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则___________.【答案】【解析】因为，所以，解得.13.i是虚数单位，则为________.【答案】【解析】，.14.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是______.【答案】【解析】先求平移后函数解析式：对于函数，图象向左平移个单位.根据函数图象平移规律“左加右减”，也就是给加上平移的单位数.所以平移后函数的解析式是.已知所得图象关于直线对称.则.得到.因，当时，不符合要求.当时，，所以的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.若复数，当实数m为何值时.（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限．解：（1）由题意可得：，解得：或2.（2）由题意可得：，且，∴或，且且，∴.（3）由题意可得：，解得：．16.已知向量，．（1）求的坐标及；（2）若与共线，求实数的值．解：（1）由题意，，所以，所以.（2）由题意与平行，所以当且仅当，化简得，解得，即实数的值为1或-1.17.中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．解：（1）因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.18.已知向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.解：（1），的最小正周期.（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，令，作出的图象与直线，如图.由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为.19.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，（1）证明：是奇函数；（2）判断在上的单调性(无