高考数学复习专题二函数与导数第2讲函数的应用理

第2讲函数应用专题二函数与导数1/48热点分类突破真题押题精练2/48Ⅰ热点分类突破3/48热点一函数零点1.零点存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上图象是连续不停一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0根.2.函数零点与方程根关系函数F(x)＝f(x)－g(x)零点就是方程f(x)＝g(x)根，即函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)图象交点横坐标.4/48例1

(1)方程ln(x＋1)－

＝0(x>0)根存在大致区间是A.(0,1) B.(1,2)C.(2，e) D.(3,4)答案解析√则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，而f(2)＝ln3－1>0，所以函数f(x)零点所在区间为(1,2).所以B选项正确.5/48(2)(届河北沧州一中月考)已知定义在R上偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|解个数是A.0 B.2 C.4 D.6答案解析√思维升华解析利用函数奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝log3|x|图象，结合图象能够看出：两个函数y＝f(x)，y＝log3|x|有四个不一样交点，即方程f(x)＝log3|x|有四个解，故选C.6/48思维升华函数零点(即方程根)确实定问题，常见有(1)函数零点大致存在区间确实定.(2)零点个数确实定.(3)两函数图象交点横坐标或有几个交点确实定.处理这类问题惯用方法有解方程法、利用零点存在判定或数形结正当，尤其是方程两端对应函数类型不一样方程多以数形结正当求解.7/48跟踪演练1

(1)函数f(x)＝2x＋2x零点所在区间是A.[－2，－1] B.[－1,0]C.[0,1] D.[1,2]答案解析√解析f(－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f(－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f(0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f(x)零点在[－1,0]内，故选B.8/48(2)(届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解个数是A.5 B.6 C.7 D.8答案解析√解析画出函数图象如图所表示，由图可知，共有5个解.9/48热点二函数零点与参数范围处理由函数零点存在情况求参数值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数方程或不等式求解.10/48例2

(1)(届山东菏泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝

，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a取值范围是______.答案解析(3,5)思维升华思维升华方程f(x)＝g(x)根个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点个数.11/48解析∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝

，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，∴函数f(x)周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)图象与y＝loga(x＋2)图象在区间[－1,3]内有3个交点.12/48(2)已知实数f(x)＝

若关于x方程f

2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不一样实根，则t取值范围为____________.答案解析(－∞，－2]思维升华思维升华关于x方程f(x)－m＝0有解，m范围就是函数y＝f(x)值域.13/48解析方法一原问题等价于f

2(x)＋f(x)＝－t有三个不一样实根，即y＝－t与y＝f

2(x)＋f(x)图象有三个不一样交点.当x≥0时，y＝f

2(x)＋f(x)＝e2x＋ex为增函数，在x＝0处取得最小值2，与y＝－t只有一个交点.当x<0时，y＝f

2(x)＋f(x)＝lg2(－x)＋lg(－x)，依据复合函数单调性，其在(－∞，0)上先减后增.所以，要有三个不一样交点，则需－t≥2，解得t≤－2.14/48方法二设m＝f(x)，作出函数f(x)图象，如图所表示，则当m≥1时，m＝f(x)有两个根，当m<1时，m＝f(x)有一个根，若关于x方程f

2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不一样实根，15/48则等价为m2＋m＋t＝0有两个不一样实数根，且m≥1或m<1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，满足f(x)＝1有两个根，f(x)＝－2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)＝m2＋m＋t，则h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2，综上，实数t取值范围为t≤－2.16/48跟踪演练2

(1)已知函数f(x)＝

若关于x方程f(x)－k－k＝0有唯一一个实数根，则实数k取值范围是_______________.答案解析[0,1)∪(2，＋∞)17/48结合图象能够看出当0≤k<1或k>2时符合题设.18/48(2)(·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于答案解析√19/48解析方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数，由偶函数性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝

.故选C.20/48方法二

f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.当且仅当x＝1时取“＝”.－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”.若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)零点不唯一.故选C.21/48热点三函数实际应用问题处理函数模型实际应用问题，首先考虑题目考查函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是：(1)阅读了解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出对应数学问题.(2)数学建模：搞清题目中已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题结果转化成实际问题作出解答.22/48思维升华关于处理函数实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，搞清各量之间关系，再建立函数关系式，然后借助函数知识求解，解答后再回到实际问题中去.例3

(届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50≤x≤120)关系可近似表示为：解答思维升华(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？23/48解当x∈[50,80)时，当x∈[80,120]时，函数单调递减，故当x＝120时，y有最小值10.因为9<10，故当x＝65时每小时耗油量最低.24/48(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？思维升华对函数模型求最值惯用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.解答思维升华25/48①当x∈[50,80)时，当x＝120时，l取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120千米/小时时，总耗油量最少.26/48跟踪演练3

(届运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门支持下，进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一个可利用化工产品.已知该单位每个月处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间函数关系可近似表示为y＝

x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用化工产品价值为100元.(1)该单位每个月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？解答27/48解由题意可知，二氧化碳每吨平均处理成本为28/48(2)该单位每个月能否赢利？假如赢利，求出最大利润；假如不赢利，则国家每个月最少需要补助多少元才能使该单位不亏损？解答29/48解设该单位每个月赢利为S，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.故该单位不赢利，需要国家每个月最少补助40000元，才能不亏损.30/48Ⅱ真题押题精练31/48真题体验1.(·天津改编)已知函数f(x)＝(ω>0，x∈R).若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω取值范围是______________.答案解析12332/48因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，12333/48所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，12334/482.(·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2图象与y＝

＋m图象有且只有一个交点，则正实数m取值范围是_______________.(0,1]∪[3，＋∞)答案解析12335/4812336/48要使f(x)与g(x)图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去).总而言之，m∈(0,1]∪[3，＋∞).12337/488答案解析12338/48解析因为f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10情况，在此范围内，x∈Q，且x∉Z时，若lgx∈Q，则由lgx∈(0,1)，12339/48所以lgx∉Q，所以lgx不可能与每个周期内x∈D对应部分相等，只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分交点，画出函数草图.图中交点除(1,0)外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x∉D部分，12340/48则在x＝1附近仅有1个交点，所以方程解个数为8.12341/48押题预测答案解析押题依据函数零点是高考一个热点，利用函数图象交点确定零点个数是一个惯用方法.押题依据1231.f(x)＝2sinπx－x＋1零点个数为A.4 B.5 C.6 D.7√42/48123解析令2sinπx－x＋1＝0，则2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sinπx