上海市虹口区2024-2025学年高三上学期数学试卷一模（含答案）

第第页上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合A=xx<2,B=2．函数y=lnxx−1的定义域是3．若tanα=5，则tan2α=．4．在x−26的二项展开式中，x3项的系数为5．设a>0且a≠1，则函数y=2+logax6．若某圆锥的底面半径为1，高为1，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）7．已知非零复数z满足z−1=1,z−i=1，则8．已知f(x)=x2−x,x≥0f(−x),x<0，则9．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A−BC−D的大小为π6，则AC⋅10．双曲线C1:x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1和F11．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）12．已知项数为10的数列an中任一项均为集合{x|1≤x≤10,x∈N}中的元素，且相邻两项满足an<an+1+3,n=1,2,⋯,9．若二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．13．已知α∈0,π，则“sinπ−α=A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．已知事件A和事件B满足A∩B=∅，则下列说法正确的是（）．A．事件A和事件B独立 B．事件A和事件B互斥C．事件A和事件B对立 D．事件A和事件B互斥15．已知边长为2的正四面体A−BCD的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足OP=xA．2 B．23 C．．23 16．设数列an的前四项分别为a①存在等比数列an以及锐角α，使sinα,cosα,tanα②对任意等差数列an以及锐角α，均不能使sinα,cosα,tanα,cotαA．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤．17．设fx（1）当函数y=fx的最小正周期为2π时，求y=fx+cosx（2）若ω=2，且在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足fA+π6=0，18．如图，已知在四棱柱ABCD−EFGH中，EA⊥平面ABCD，N、M分别是EF、HD的中点．（1）求证：HN//平面AFM；（2）若底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=EA=2,AD=DC=1，异面直线AB与EH所成角为π2．求直线AN与平面AFM19．2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为50,60、60,70、（1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；（3）已知这1000名观众的评分位于50,80上的均值为67，方差为64.7，位于50,100上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差．20．已知椭圆Γ:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1（1）当PF1⊥（2）若P点坐标为1,32，则在Γ上是否存在点Q使△APQ的面积为3+1（3）已知D点坐标为0,m，过点P和点D的直线l与椭圆Γ交于另一点T，当直线l与x轴和y轴均不平行时，有PT⋅BP+21．设a∈R,Fax=fx−fax−a（1）判断y=sinx是否具有性质P0（2）设fx=ex−x（3）设函数y=fx的定义域为R，且对任意a∈R以及t∈0,1，都有Faa−1<Faa+1．若当

答案解析部分1．【答案】1【解析】【解答】解：由A=xx<2故答案为：1.【分析】利用绝对值不等式求解方法，从而求出集合A，再根据交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.2．【答案】−【解析】【解答】解：因为函数y=lnxx−1的定义域是所以xx−1>0，解得：x>1或所以，函数的定义域为：−∞故答案为：−∞【分析】由对数型函数的定义域求解方法，从而可得xx−1>0，再解分式不等式，从而得出函数3．【答案】−【解析】【解答】解：因为tanα=5，所以tan2α=2tanα故答案为：−5【分析】利用已知条件和二倍角的正切公式，从而得出tan2α的值.4．【答案】−160【解析】【解答】解：因为二项式x−26的通项公式为T令6−r=3，可得r=3，所以C6故答案为：−160.【分析】利用二项式定理求出x−26的通项公式，再由已知条件和赋值法，从而得出x5．【答案】(1,2)​​​​​​​6．【答案】2【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径r=1，高ℎ=1，

设母线为ll>0，则l=所以，该圆锥的侧面积为πrl=2故答案为：2π【分析】利用已知条件结合勾股定理求出母线的长，再由圆锥的侧面积公式，从而得出该圆锥的侧面积.7．【答案】−1【解析】【解答】解：设z=a+biab≠0，则z因为z−1=1，z−i=1，所以a−12+b2所以z=1−i，则z的虚部为−1.故答案为：−1.【分析】设z=a+biab≠08．【答案】−3,3【解析】【解答】解：因为f(x)=x设x<0，则−x>0，所以fx所以f(x)=x不等式fx≤6，即x2−x≤6x≥0或x2+x≤6综上可得fx≤6的解集故答案为：−3,3.【分析】首先求出当x<0时的解析式，再根据分段函数的解析式，从而分段得到不等式组，再解不等式组得出fx9．【答案】−110．【答案】2【解析】【解答】解：如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设PF

因为F2是抛物线的焦点，∴PM∵∠PF1F2在△PF1F∴t2即F1F2又∵F1和F∴2c=F1F∴双曲线C1的离心率为：e=故答案为：2+1【分析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设PF2=t，由F2是抛物线的焦点，可得PM，由∠PF1F2=11．【答案】Hm【解析】【解答】解：设第二次拍照飞船的实际上升了x，所以Hℎ=x所以拍照时飞船的瞬时速度为：v=x故答案为：Hmℎt【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度.12．【答案】13122【解析】【解答】解：由于an<a再将4插入该数列，但不能在1的左边且与1相邻，共有3A再将5插入该数列，同样5不能在1和2的左边且与1，2相邻，共有2×3再将6插入该数列，同样6不能在1，2和3的左边且与1,2,3相邻，共有2×3以此类推，将10插入该数列，共有2×3故答案为：13122.【分析】先将1,2,3任意排列，依次将4到10插入该数列，再考虑满足条件an<a13．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得，α∈0,π由sinπ−α=12，即sinα=12，由cosα=32，则所以“sinπ−α=1故答案为：C.【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值，从而求出两个条件的α的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出答案.14．【答案】B【解析】【解答】解：因为事件A和事件B满足A∩B=∅，

则一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；因为PAB=0，当PA，PB不为0时，事件抛掷一枚骰子，记出现1点为事件A，出现2点为事件B，则A=2,3,4,5,6，B=1,3,4,5,6，显然事件故答案为：B.【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，从而判断各选项，进而找出正确的选项.15．【答案】A【解析】【解答】解：因为空间中的动点P满足OP=x则点P的轨迹是以OC,将正四面体A−BCD放入如图所示的正方体A1则正四面体A−BCD的内切球心O为正方体的中心，设正方体的棱长为a，所以a2=2，所以以D1

所以D0,0,2，B2,2,2，所以OB=OB=OC=BC=所以cos∠BOC=所以sin∠BOC=所以以OC,S=2×1设平面BOC的法向量为n=则n⋅取x=1，可得y=0,z=−1，所以n=1,0,−1，又因为点D到平面BOC距离为d=n以OC,OB,故答案为：A.【分析】利用已知条件得出点P的轨迹是以OC,OB,OD为邻边的平行六面体，将正四面体A−BCD放入如图所示的正方体A1BC1D−AB1CD1中，则正四面体A−BCD的内切球心O为正方体的中心，设正方体的棱长为16．【答案】A【解析】【解答】解：对于①，若sinα，tanα，cosα成等比数列，即tan2则sin2αcos2α在同一坐标系内作y=tanx和可知方程tanα=1+cos2α所以存在等比数列an以及锐角α，使sinα,cosα,tanα=a对于②，假设存在等差数列an使sinα,cosα,tanα,cotα=a1当α=π当α∈0,π4时，min所以a1+a所以sinα+则sinα−1=sinα+cosαcos因为α∈0,π4，所以0<1−不存在这样的α∈0,当α∈π4,π2所以a1+a所以sinα+同理1−cos因为α∈π4,π2不存在这样的α∈0,所以②是真命题.故答案为：A.【分析】假设sinα，tanα，cosα成等比数列，可得tanα=1+cos2α2，在同一坐标系内作y=tanx和y=1+cos2x2的图象，即可判断命题①的真假；分17．【答案】（1）解：因为fx=sinωx(ω>0)且函数所以T=2πω=2π，解得ω=1则y=fx由x∈0,π2所以当x+π4=π2，即x=（2）解：当ω=2时，fx=sin因为0<A<π2，所以π3<2A+π3<因为AB⋅AC=bc由余弦定理a2所以a2=b2+c2故a的最小值为22【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式求出ω的值，从而得出函数y=fx的解析式，进而由辅助角公式得到函数y=fx+cosx的解析式，再根据x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出函数y=f（2）利用ω=2的值得出函数y=fx的解析式，再由代入法和已知条件以及锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值，再根据数量积的定义求出bc的值，从而由余弦定理和基本不等式求最值的方法，进而得出a（1）因为fx=sinωx(ω>0)且函数所以T=2πω=2π，解得ω=1则y=fx由x∈0,π2所以当x+π4=π2，即x=（2）当ω=2时，fx=sin因为0<A<π2，所以π3<2A+π因为AB⋅AC=bc由余弦定理a2所以a2=b2+故a的最小值为2218．【答案】（1）证明：连接BE交AF于点O，连接ON，OM，

在四棱柱ABCD−EFGH中，四边形ABFE，ADHE为平行四边形，

所以O为AF的中点，又因为N、M分别是EF、HD的中点，所以ON//AE且ON=12AE，HM//AE所以ON//HM且ON=HM，所以四边形ONHM为平行四边形，所以HN//OM，

又因为HN⊄平面AFM，OM⊂平面AFM，

所以HN//平面AFM.（2）解：因为异面直线AB与EH所成角为π2，又因为AD//EH所以∠BAD即为异面直线AB与EH所成角，即∠BAD=π2，即又因为EA⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，

则A0,0,0，N1,0,2，F2,0,2，所以AN=1,0,2，AF=设平面AFM的法向量为n=x,y,z，则n⋅AF=2x+2z=0n⋅AM=y+z=0，

取n=1,1,−1所以直线AN与平面AFM所成角的正弦值为1515【解析】【分析】（1）连接BE交AF于点O，连接ON，OM，根据四棱柱的结构特征和中点作中位线的方法，再根据中位线的性质得出线线平行和线段相等，从而判断出四边形ONHM为平行四边形，进而得出HN//OM，再根据线线平行证出线面平行，即证出直线HN//平面AFM.（2）由AD//EH和已知条件，从而可得∠BAD为异面直线AB与EH所成角，则AB⊥AD，再利用EA⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系，得出平面AFM的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线AN与平面AFM所成角的正弦值.（1）连接BE交AF于点O，连接ON，OM，在四棱柱ABCD−EFGH中，四边形ABFE，ADHE为平行四边形，所以O为AF的中点，又N、M分别是EF、HD的中点，所以ON//AE且ON=12AE，HM//AE所以ON//HM且ON=HM，所以四边形ONHM为平行四边形，所以HN//OM，又HN⊄平面AFM，OM⊂平面AFM，所以HN//平面AFM；（2）因为异面直线AB与EH所成角为π2，又AD//EH所以∠BAD即为异面直线AB与EH所成角，即∠BAD=π2，即又EA⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则A0,0,0，N1,0,2，F2,0,2所以AN=1,0,2，AF=设平面AFM的法向量为n=x,y,z，则n⋅设直线AN与平面AFM所成角为θ，则sinθ=所以直线AN与平面AFM所成角的正弦值为151519．【答案】（1）解：∵20×0.35=7，

∴第35百分位数为第7,8两个数的平方数65+712（2）解：由图1可知，图2中90,100有2人，所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，

其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件A，所以PA（3）解：由题意可知：落在50,80的频率为0.1+0.25+0.35=0.7，

落在80,100的频率为0.3，因为这1000名观众的评分位于50,80上的均值为67，方差为64.7，位于50,100上的均值为73，方差为134.6，所以x1设这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差分别为x2所以x=73=0.70.7+0.3s2解得：s2所以这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差分别为87，17.7.【解析】【分析】（1）根据百分位数的求法，从而得出图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数.（2）利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的方法，从而求出90,100的人数，根据对立事件求概率公式和古典概型求概率公式，从而得出其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率.（3）根据题意结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再根据平均数公式和方差公式，从而得出这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差．（1）∵20×0.35=7，∴第35百分位数为第7,8两个数的平方数65+71（2）由图1可知，图2中90,100有2人，所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件A，所以PA（3）由题意可知：落在50,80的频率为0.1+0.25+0.35=0.7，落在80,100的频率为0.3，因为这1000名观众的评分位于50,80上的均值为67，方差为64.7，位于50,100上的均值为73，方差为134.6，所以x1设这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差分别为x2所以x=73=0.70.7+0.3s2解得：s2这1000名观众的评分位于80,100上的均值与方差分别为87，17.7.20．【答案】（1）解：由椭圆方程知：a=2，b=1，c=3，则F设P−3,yP，∴34由椭圆定义知：PF（2）解：由（1）知：A2,0∵P1,32若存在点Q，使△APQ的面积为3+1

则点Q到直线AP的距离d=3+1∵kAP=32−01−2=−32设平行于直线AP且到直线AP的距离为221+27∴q+237=2当q=2时，直线方程为3x+2y+2=0由3x+2y+2=0x24+y2=1得：∴y=−1或y=12，

∴点Q0,−1当q=−2−43时，直线方程为3由3x+2y−2−43=0即直线3x+2y−2−43=0与椭圆Γ综上所述：存在满足条件的点Q，Q点坐标为0,−1或−3（3）解：由题意，可设直线l:y=kx+m，Px1,

由y=kx+mx24+∴Δ=161+4k2−m2设线段PT中点为G，则BP+BT=2BG，

∴PT⋅BP+BT=PT∵B0,1，∴x1−02+y∵直线l与x轴和y轴均不平行，∴x2−∴−8km1+k∵k2>m2即实数m的取值范围为−3,0.【解析】【分析】（1）由椭圆方程得出a，b的值，再由椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，则得出点F1的坐标，进而设出点P的坐标，由代入法得出点P的坐标，从而得出PF1（2）由（1）得出点A的坐标，根据两点距离公式和三角形面积公式，从而得出点Q到直线AP的距离，再利用点斜式方程得出直线AP的方程，利用两直线平行斜率相等设出平行直线AP且到直线AP的距离为221+27（3）由题意，可设直线l:y=kx+m，Px1,y1（1）由椭圆方程知：a=2，b=1，c=3，则F设P−3,yP，∴由椭圆定义知：PF（2）由（1）知：A2,0∵P1,32若存在点Q，使△APQ的面积为3+1则点Q到直线AP的距离d=3∵kAP=32−01−2=−3设平行于直线AP且到直线AP的距离为221+27∴q+237=2当q=2时，直线方程为3x+2y+2=0由3x+2y+2=0x24+y2∴y=−1或y=12，∴点Q0,−1当q=−2−43时，直线方程为3由3x+2y−2−43=0即直线3x+2y−2−43=0与椭圆Γ综上所述：存在满足条件的点Q，Q点坐标为0,−1或−3（3）由题意可设直线l:y=kx+m，Px1,由y=kx+mx24∴Δ=161+4k2−m设线段PT中点为G，则BP+BT=2∴PT⊥BG，又G为PT中点，∴BP∵B0,1，∴x1−02∵直线l与x轴和y轴均不平行，∴x2−∴−8km1+k∵k2>m2即实数m的取值范围为−3,0.21．【答案】（1）解：记F0显然F0当x∈(0,1)时，sinx>0，故F所以F0(x)>0对x∈(−1,0)∪(0,1)恒成立，y=sin（2）解：因为fx=ex−x，所以f'(x)=ex−1，

当x>0时，f'(x)>0,y=f(x)严格单调递增；

当x<0时，f'(x)<0,y=f(x)严格单调递减，

若a≥1，则a−1≥0，

函数y=f(x)在(a−1,+∞)上严格单调递增，Fa(x)>0恒成立，

此时函数y=f(x)具有性质P(a)；

若a≤0，则函数y=f(x)在[a−1,a]上严格单调递减，

Faa−12=fa−12−f(a)−12<0，故函数y=f(x)不具有性质P(a)；

若0<a<1，则函数y=f(x)在[a,a+1]上严格单调递增，

“Fa（3）证明：对任意a∈R及t∈(0,1)，都有Fa即对任意t∈(0,1),x∈R都有f(x)−f(x−t)<f(x+t)−f(x)∗假设存在b∈R使得y=f(x)不具有性质P(b)，则存在x0∈(b−1,b)∪(b,b+1)使得若x0∈(b−1,b)，则当fx0>f(b)时，则在∗对任意n≥1,n∈N，

有f(b−(n−1)t)−f(b−nt)<⋯<f(b−t)−f(b−2t)<f(b)−fx于是f(b)−f(b−nt)<nf(b)−f即f(b−nt)−f(b)>nf当n>maxbt故有f(b−nt)−f(b)<−f(b)<nf当fx0=f(b)时，记x1=