2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试（含答案）

第第页2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M=xx<2A．0,1 B．1,2 C．0,1,2 D．−1,0,1,22．已知z=1+2i2−i（i为虚数单位），则A．1 B．2 C．2 D．43．已知向量a=−1,1,b=A．−2 B．−1 C．1 D．24．已知sinα+βsinα−βA．13 B．12 C．25．已知函数fx的周期为2，且在0,1上单调递增，则fA．fx=sinπx B．fx=sinπ6．已知双曲线E的中心为原点，焦点在x轴上，两条渐近线夹角为60°，且点1,1在E上，则E的离心率为（）A．3 B．233 C．2 D．7．已知曲线y=ex−1与曲线y=alnx+a(a>0)只有一个公共点，则A．1e B．1 C．e D．8．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则r=（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.25二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．一组样本数据xi,yi,i∈1,2,3,⋯,100．其中xi>1895，i=1100xi=2×105，i=1100yi=970，求得其经验回归方程为：A．样本xi,yiC．σ1210．已知函数fxA．fx为周期函数 B．存在t∈R，使得y=fx的图象关于C．fx在区间π3,3π4上单调递减 11．已知O0,0,Aa,0,Ba,1,C0,1,D0,−1，其中a≠0．点M,N分别满足AMA．当λ=12时，直线CM与直线DNB．当a=−1时，存在点P，使得DPC．当a=2时，△PAC面积最大值为2D．若存在λ，使得DP>2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2x+1x213．在等比数列an中，已知a1a314．某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为．人题号赵钱孙李周吴1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面积．16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=23,∠BAC=120°，（1）证明：DE⊥平面B1（2）若BB1=6，求直线A17．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1)，输的概率为1−p，每局比赛的结果是独立的．（1）当p=2（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得−2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．18．已知抛物线y2=2x，过点N2,0作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B（1）当l1垂直于x轴，且四边形ACBD的面积为45，求直线（2）当l1,l2倾斜角互补时，直线AC与直线BD交于点19．已知无穷数列an满足，a1,（1）若a1=1,a（2）证明：“存在k∈N∗，使得ak（3）若a1≠a2，是否存在数列an

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式x<2，可得0≤x<4，即集合M=又因为N=−2,−1,0,1,2，所以M∩N=故答案为：C.【分析】先解不等式求得集合M，再根据集合的交集运算求M∩N即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=故答案为：A.【分析】根据复数代数形式的除法求复数z，再求复数模即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易知a+λ若a⊥a+λb，则故答案为：B.【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：sinα+βsinα−β=sin即4cosαsinβ=2sinαcosβ，同除以cosαcosβ故答案为：C．【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合同角三角函数基本关系的商关系求值即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、函数fx=sinπx周期为T=2ππ=2，但f14B、函数sinπ2x的周期为T=2π当0<x<1时，fx=sinπ2x=sinπ2x，因为0<π2C、函数fx=cos2πx的周期为D、函数fx=tanπ故答案为：B.【分析】求函数fx=sinπ6．【答案】C【解析】【解答】解：因为双曲线E的两条渐近线夹角为60°，所以ba=33或ba若e=2，设双曲线方程为：x2m2−y23m2=1，由点1,1在若e=233，设双曲线方程为：x23m2−y2m故答案为：C．【分析】由题意可得ba=33或ba=3，根据离心率公式求得e=27．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：方程ex−1=alnx+1只有一个实数解，

因为a>0，所以只考虑ln分离参数可得：a=ex−1lnx+1，令f令ux=1+lnx−1x，易知ux则x∈1e,1时，fx∈1,+∞时，f'而x→1e时，fx→+∞；x→+故答案为：B.【分析】将转化为方程ex−1=alnx+1只有一个实数解，分离参数a=ex−18．【答案】D【解析】【解答】解：圆台水杯的截面图，如图所示：

易知O1M=4,O2N=3,OH=72，

圆台O1O的体积V=13故答案为：D.【分析】由题意，利用圆台的体积公式求圆台O1O体积，再根据小球的体积恰好等于9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、样本数据xi,yi的经验回归方程y=−0.02x+B、由i=1100xi=2×105，i=1100C、由图一的数据波动较大可得ui比ei更集中，则D、由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．故答案为：ABD.【分析】根据样本数据的回归方程即可判断A；计算样本点中心，根据回归方程过样本中心点即可判断B；根据图象由波动性即可判断C；根据图象的波动性即可判断D.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、fx+2π=sinx+2π+sin2x+4π=sinx+sin2x=fxB、函数fx=sinx+sin2x的定义域为假设y=fx图象关于x=t对称，则函数f即ft−x=ft+xf4t+x=−f2t+x=fx，因为f所以fπ+x=fx，但所以fx≠fπ+x与fπ+xC、因为f'x=cosx+2cos2x当x∈π3,函数y=4t2+t−2若−22<t<所以当x∈π3,3π4时，D、因为fx≤2，当且仅当sinx=1sin2x=1时取等号，但当sinx=1，即x=π2故答案为：AC.【分析】证明fx+2π=fx，结合周期函数定义即可判断A；证明函数fx为奇函数，结合周期性证明若函数f11．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、当λ=12时，由O0,0，Aa,0,Ba,1，可得AB→=0,1，OA→=B、由A可知，当a=−1时，kCP设点Px,y，则y−1x·y+1x=−1，即x2+y2=1x<0,y>0，点C、直线CM:y=λ−1ax+1，直线DN:y=设x=2a1−λ1+(1−λ)2若a=2，则点P的轨迹方程为x2设点P2cosθ,sinθ,θ∈0,则点P到直线AC的距离d=2cosθ+2sinθ−2因为22<sinθ+π4≤1，所以当θ=π4时，D、由C可知，点P的轨迹方程为x2设Pacosθ,sinθ，θ∈0,π即a2则a2>2，即故答案为：AD.【分析】由题意求得点M,N的坐标，结合两点斜率公式求kCMkDN即可判断A；结合A的判断知，kCPkCD=−1，利用关系求点P的轨迹即可判断B；写出直线CM与直线DN的方程，联立CM，DN，求点P的坐标，消参求点P的轨迹方程，结合三角换元求△PAC的面积的最值即可判断C；结合C可得P12．【答案】240【解析】【解答】解：二项式2x+1x2令6−3k=0，解得k=2，则2x+1x2故答案为：240．【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为0，求得k，再求常数项即可.13．【答案】6【解析】【解答】解：设等比数列an的公比为q，因为a1a3=9若a2=−3，由a2+a4=9若a2=3，由a2+a4=9，可得a4=6故答案为：6.【分析】设数列an的公比为q，由已知条件结合等比数列性质求得a14．【答案】14分【解析】【解答】解：易知赵、钱、孙、李四人中，只有钱的得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；人题号赵钱孙李周吴1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411对于6个人而言，前4个题，6个人的答案都是三个√，三个错，那前4个题，每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：60+3×2−3×1现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：1×2−5×1=−3分，最终5个题的总得分为69分；而从得分来看，14+14+14+14+11=67分，于是吴得分是2分，矛盾；于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：5×2−1×1=9分，6个题的总分为：81分，

则吴得14分．故答案为：14分.

【分析】观察前面4人的作答情况，对比不同人的答案，利用得分情况推断正确答案，再计算吴的得分即可.15．【答案】（1）解：由c2=a2+b2−ab，根据余弦定理推论又因为cos2B=sinC，B∈0,2π3，所以cos2B=sinC=32（2）解：由（1）可得：A=7π12，且sinB=sinπ若b=1，由正弦定理asinA=b则S=1【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理的推论可得C=π3，再由cos2B=sinC求（2）由（1）的结论，利用两角和的正弦公式分别求出角A、B的正弦值，再利用正弦定理可求出a，最后利用三角形面积公式求解即可.（1）由余弦定理推论cosC=a2+b由于C∈0,π，则C=又因为cos2B=sinC=32，且所以2B=π6，则（2）解法1：由（1）可知A=7π且sinB=sinπsinA=sin7π由正弦定理：asinA得a=bsinA所以S=1解法2：由（1）A=π所以sinB=−cosA，由正弦定理：asinA得a=bsinAS=1解法3：如图，过点A作AD⊥AC交BC于D，由于A=7π12，则所以AD=DB=3,CD=2，所以S=116．【答案】（1）证明：取BC中点M，连接AM,ME，如图所示：

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=23，因为E为BC1的中点，所以EM为△BCC又因为EM=12CC1又因为AA1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC由于EM,BC⊂平面B1BCC1,EM∩BC=M又因为DE//AM，所以DE⊥平面B1（2）解：由（1）可知：MA,MC,ME两两垂直，

以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：在△A1B1C则D0,3,3设n=x,y,z⊥则n⋅BD=0n⋅BC设直线A1B与平面DBC1所成角为即直线A1B与平面DBC【解析】【分析】（1）取BC中点M，连接AM,ME，根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC，再根据中位线的性质得到EM//CC1//AD，即可得到四边形AMED（2）由（1）可知：MA,MC,ME两两垂直，以M为坐标原点，建立空间直角坐标系，在△A1B（1）取BC中点M，连接AM,ME，因为AB=AC，所以AM⊥BC，E为BC1的中点，所以EM为△BCC又EM=12CC1又因为AA1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC由于EM,BC⊂平面B1BCC1,EM∩BC=M又因为DE//AM，所以DE⊥平面B1（2）解法一：由（1）可知：MA,MC,ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△A1B1C于是D0,则BA设n=x,y,z⊥于是n⋅BD=0令z=1，则n=设直线A1B与平面DBC那么sinθ=cos〈即直线A1B与平面DBC解法二：在△A1B1C如图，连接B1E，由（1），DE⊥平面B1BCC又因为BB1=B1C1，四边形B由于B1E∩DE=E,B1E,DE⊂平面B如图，记A1B∩B1D=N，过点N由于BC1⊥平面B1DE,NH⊂又因为DE∩BC1=E,DE,BC1⊂平面所以∠NBH即为直线A1B与平面DBC则B1由于DE⊥B1E，则H为DE于是sin∠NAH=NH即直线A1B与平面DBC解法三：设直线A1B与平面DBC1所成角为θ，点A1到平面DB在Rt△A1B1B过B作BQ⊥CA交CA的延长线于Q，易得BQ=3，且易证BQ⊥平面A1由于S△A1在△DBC1中，DB=DC又VA1−BD【点睛】17．【答案】（1）解：记事件A=“甲最终以2:1获胜”，记事件B=“甲最终以2:0获胜”，事件C=“甲最终获胜”，

则C=A∪B，A与B为互斥事件，

PA=C21⋅p⋅p⋅1−p=8（2）解：由（1）可知，PC若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,−2，PX=3则X的分布列为：X3−2p31−3则EX若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，PY=1则Y的分布列为：Y10p31−3则EY所以EX由于0<p<1，则2p于是p=1当0<p<12时，当12<p<1时，【解析】【分析】（1）记事件A=“甲最终以2:1获胜”，记事件B=“甲最终以2:0获胜”，事件C=“甲最终获胜”，根据甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求甲最终获胜的概率接口；（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可.（1）记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，于是C=A∪B，A与B为互斥事件，由于PA=C则PC即甲最终获胜的概率为2027（2）由（1）可知，PC若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,−2，PX=3则X的分布列为：X3−2p31−3则EX若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，PY=1则Y的分布列为：Y10p31−3则EY所以EX由于0<p<1，则2p于是p=1当0<p<12时，当12<p<1时，18．【答案】（1）解：由题意，设l2:x=ty+2，倾斜角为α，由对称性知l2不妨设0<α<π2，那么则S=12×4×联立y2=2xx=ty+2，消元整理可得y则CD=CDcosα=2t则t=1,x=y+2由对称性，另一条直线：x=−y+2，即直线l2的方程为x+y−2=0或x−y−2=0（2）解：设点Ax因为kAB=y所以AB:y−y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因为kAB=−kCD，直线AB和直线所以2y1+y2y1−4y1=−y则y1+4y1由于y4=−y1，则x4=x设△MAB的内切圆圆心Qn,0,−2<n<2，则Q到MA的距离点Q到AB的距离r=4−2n4+y化简可得：2+n2−n由于y12+16y则0<n<3−5或由4+2n4+y1令z=y12则n=(12+z−−4+z)28则fz在8,+∞单调递减，【解析】【分析】（1）由题意，设l2:x=ty+2，根据三角形的面积求得CD，联立直线与抛物线方程，消元整理，由韦达定理结合弦长公式求得（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4（1）法一：当l1⊥x轴，令x=2，则A设直线l2:y=kx−2k,Cx则x1由于y=kx−2ky2=2x，则kx1则4+2k2所以直线l2的方程为x+y−2=0或x−y−2=0法二：设l2:x=ty+2，倾斜角为α，由对称性知l2不妨设0<α<π2，那么则S=12×4×由于y2=2xx=ty+2则CD=CDcosα=2t则t=1,x=y+2由对称性，另一条直线：x=−y+2，所以直线l2的方程为x+y−2=0或x−y−2=0（2）法一：设点Ax因为kAB=y所以AB:y−y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因为kAB=−kCD，直线AB和直线所以2y1+y2y1−4y1=−y则y1+4y1由于y4=−y1，则x4=x设△MAB的内切圆圆心Qn,0,−2<n<2，则Q到MA的距离点Q到AB的距离r=4−2n所以4+2n4+化简可得：2+n2−n由于y12+则1<2+n则0<n<3−5或由4+2n4+y1令z=y12则n=(12+z−f'则fz在8,+∞单调递减，法二：点M−2,0设△MAB的内切圆圆心Qn,0设定点N2,0，由于MQ=2+n,NQ设∠AMQ=α,∠ANQ=β，于是sinα=rsinπ−β=sinβ=r（或：在△AMN中，由角平分线定理：S△AMQS△ANQ设fx由于x1+4x1则0<n<3−5，则n∈19．【答案】（1）解：无穷数列an满足，a1,令n=1，则1=a1=a2若a2=1，由a2=a若a2=3，由a2=a由a4=a（2）证明：记a1=x,a2=y，必要性：若an是周期为3的周期数列，a3=a1+a2或a2−a1，

当a3=a1+a2时，数列an前5项为：x,y,x+y,x,y，

由a3=a4−a5得x+y=x−y，该式当且仅当x=0或y=0时成立，与a1,a2为正整数矛盾；

当a3=a2−a1时，数列an（3）解：不存在，理由如下：an=an+1−an+2等价于an+2=an+1−an∗或an+2=an+1+an∗∗，

首先