湖北省高中名校联盟2024届高三第四次联合测评数学试卷（含答案）

第第页湖北省高中名校联盟2024届高三第四次联合测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足z+zi=i，则z=（）A．12+12i B．122．已知集合A={x∈R∣x2−2x−3>0}，集合B满足B⫋AA．[−1,3] B．(−∞,−1]3．某校举行“云翔杯”学生篮球比赛，统计部分班级的得分数据如下.班级12345678得分2834343026282832则（）A．得分的中位数为28 B．得分的极差为8C．得分的众数为34 D．得分的平均数为314．已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A．若α//β，m//α，n//β，则m//n C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，m//α，n5．在△ABC中，若AC2+BA．23 B．12 C．326．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1+A．2 B．3 C．4 D．57．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l1，l2，其中l1与C交于M，N两点，l2与C交于A．1 B．2 C．3 D．48．若∀x∈R，x2≥−1A．1 B．0 C．π3 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知双曲线E：x2a2A．双曲线E的实轴长为4B．双曲线E的离心率为5C．双曲线E的渐近线方程为y=±2xD．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条10．张同学从学校回家要经过2个路口，假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯，每个路口遇到红绿灯相互独立，记事件A：“第1个路口遇到绿灯”，事件B：“第2个路口遇到绿灯”，则（）A．P(A)C．P(B∣A11．已知定义在R上函数f(x)，对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=A．f(x)为R上的单调递增函数B．f(x)为奇函数C．若函数f(x)为正比例函数，则函数g(x)=f(x)exD．若函数f(x)为正比例函数，则函数ℎ(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知向量a=(k,2)，b=(2,1)13．已知三棱锥A−BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AB=CD=5，AC=BD=10，AD=BC=13，则球O14．已知直线l1与曲线y=aex和y=lnx−lna都相切，倾斜角为α，直线l2与曲线y=aex和四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）求证：sin1（2）求值：1cos16．如图，AE⊥平面ABCD，E,F在平面ABCD的同侧，AE//DF，AD//BC，AD⊥AB，（1）若B,E,（2）若DF=2AE，平面BEF与平面BCF夹角为30∘，求线段AE17．已知函数f(（1）求f(x)的单调区间；（2）若关于x的不等式f(x)18．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l1与E交于M(−4,0)，N(−2,2)两点，点（1）求椭圆E的标准方程；（2）若AB=PN，AP=(7−4（3）若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线l219．组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y．若将100万资金按λA+(1−λ)B进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足Z=λX+(1−λ)Y，其中0≤λ≤1．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.（1）若Y~B(100,0.（2）已知随机变量X满足分布列：Xxxx…x…xP(X)P(X=P(X=P(X=…P(X=…P(X=随机变量Y满足分布列：Yyyy…y…yP(Y)P(Y=P(Y=P(Y=…P(Y=…P(Y=且随机变量X与Y相互独立，即P(X=xi,Y=yi)=P(X=（3）若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目Y是低风险资产，满足Y~B(100,

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：z+zi=i，z(1+i)=i，故答案为：A.【分析】运用复数的运算法则直接求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：集合A={x∈R∣x2−2x−3>0}=−∞，−1∪3，+∞，集合B满足B⫋A，则3．【答案】B【解析】【解答】解：A、将得分从小到大排列：26，28，28，28，30，32，34，34，中位数为28+302B、极差为34−26=8，故B正确；C、众数为28，故C错误；D、平均数为26+28×3+30+32+34×28故答案为：B.【分析】将得分从小到大排列，计算出中位数、极差、平均数、众数即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、若α//β，m//α，n//β，则B、若α//β，m⊥α，n//C、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故C正确；D、若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n或故答案为：C.【分析】由面面平行，线面平行的性质，线面垂直的性质，面面垂直，线面垂直的性质逐项判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由余弦定理得，cosC=AtanCtanA故答案为：B.【分析】利用余弦定理、正弦定理即可得解.6．【答案】D【解析】【解答】解：易知公比q≠1，设an由a1+a由a1a2则1a故答案为：D．【分析】已知得a1q67．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

由题意可知l1的斜率不为0，设l1:x=my+1，与y设M(x1,y1)，于是1|MF|而x1所以1|MF|同理1|FP|+1故答案为：B.

【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立得y2−4my−4=0，由韦达定理和抛物线定义化简1|MF|8．【答案】A【解析】【解答】解：因为y=−12cos由x2≥−12cos2ωx+因为y=sinωx为奇函数，且值域为[−1,1]，所以只需则ωx≥ωsinωx，当当sinωx>0时，ω≤令g(x)则g'(x)=1−则g(x)>g(0)而ω=0时，x≥0在x∈[0,当ω=1时，由g(x)=x−sin所以ω的最大值为1.故答案为：A.【分析】先根据二倍角公式化简可得x2≥sin2ωx，由y=x,y=sinωx均为奇函数且|sinωx|≤1可知，只需∀x∈[09．【答案】A,B【解析】【解答】解：由题意可知42a2−(A、2a=4，故A正确；B、e=cC、由x24−D、有3条，两条与渐近线平行，第三条与双曲线相切，设切线的斜率为k，则x24−y2(1−4k2)令Δ=0，解得k=33，所以故答案为：AB.【分析】代点可得双曲线方程，然后可得实轴长和离心率以及渐近线方程；过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有3条，两条与渐近线平行，一条与双曲线相切.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、P(A)=P(B)=1B、因为事件A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=1C、因为A，B相互独立，所以A,B也互相独立，所以D、P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=3故答案为：ABD.【分析】易知P(A)=P(B)=12，可判断A；利用独立事件概率乘法公式和条件概率可判断BC；根据11．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、设x2>x1，且x2=x1+tB、f(x)是定义在R上的函数，令x=y=0，得f(0)=0，令y=−x，有f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故B正确；C、设f(x)=kx，代入f(1)=12，得x<1时，g'(x)>0，g(x)在区间(−∞,1)所以g(x)=f(x)exD、函数ℎ(x)=1ℎ(0)=−1<0，ℎ(π)=π由零点存在性定理可知，函数ℎ(x)分别在区间(−π,故答案为：AB.【分析】利用函数单调性的定义判断A；赋值，得出f(0)=0，再令y=−x，得出f(x)+f(−x)=0，即可判断B；在f(x)=12x的前提下，求g'(x)，分析导函数g'(x)12．【答案】−1【解析】【解答】解：因为a⊥b所以a⋅b=0故答案为：−1.【分析】利用向量垂直的坐标表示，由a⊥b可得13．【答案】14【解析】【解答】解：如图，

因为三棱锥对棱相等，所以将三棱锥A−BCD补全为为长方体，从而外接圆直径为长方体的体对角线，设长方体的棱长分别为a,b,c，球则a2所以2R=a2+故答案为：142【分析】因为三棱锥对棱相等，所以将三棱锥补全为为长方体，长方体的外接球直径为长方体的体对角线.14．【答案】3【解析】【解答】解：因为y=aex与y=lnx−lna关于y=x对称，所以α+β=π2，

设l1与y=aex的切点为(x1,a则aex1=1x2=2，故答案为：32【分析】根据曲线的对称性得到α+β=π2，根据基本不等式可得当且仅当tanα=2时15．【答案】（1）证明：cos=sin（2）解：由（1）得：1====1【解析】【分析】（1）通分，由两角差的正弦公式即可得证；（2）根据（1）的结论结合诱导公式化简即可得解.16．【答案】（1）解：∵AD//BC，BC⊂平面BCEF，AD⊄平面BCEF，∴AD//平面BCEF，∵AE//DF，则A,∵AD//平面BCEF，AD⊂平面ADEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∴AD//EF，又AE//DF，则四边形ADFE是平行四边形，∴EF=DC=1；（2）解：以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设E(0,0,λ)，F(0,1,2λ)，B(1,0设m=(x1由m⋅BE=0m⋅BF=0可得m=(λ设n=(x2由n⋅BC=0n⋅BF=0可得n=(2λ依题意|cosm解得λ=12，【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形ADFE是平行四边形，即可求出线段EF的长；（2）以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设E(0,0,λ)，求出平面BEF和平面BFC的法向量，由17．【答案】（1）解：f(x)的定义域为R，f'(x)=(1+x)e当x<−1时，f'(x)<0，则当x>−1时，f'(x)>0，则即f(x)的单调减区间为(−∞,−1)，单调增区间为（2）解：设g(x)=f(x)+f(1−x)，则g(1−x)=f(1−x)+f(x)=g(x).∴g(x)关于x=12对称，不妨研究g'令ℎ(x)=1+x−2x+1e1−2x，显然下面证明12≤x≤2时，ℎ'∵1∴−2x2+2x+7>0∴ℎ(x)在[12,综上，x≥12时，均有∴g(x)在[1∴g(∴a≤e【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负分析单调性即可；（2）由g(x)=f(x)+f(1−x)知g(x)关于x=12对称，然后分x>2和12≤x≤2两种情况由g'(x)的正负得到18．【答案】（1）解：因为M(−4,0)，N(−2,所以(−4)解得a2=16，故椭圆E的标准方程为x2（2）解：设A(x1,y1联立x216+即(kΔ>0，x1+x由MP=PN得P(−3,1)，则由AP=(7−43)即x1代入t=3k+1得，x1+x解得：x1=−23，x故直线l2的斜率为k=−（3）解：由kAM+k即y1即(kx即(2k−2)x代入x1+x得(2k−2)(t即t2+16k故t=4k+43或当t=4k时，直线AB过M(−4,0)，此时点当t=4k+43时，直线AB过定点K(−4,当t=4k+43时，由Δ=4k2从而直线l2的斜率的取值范围为(−∞【解析】【分析】（1）把M、N坐标代入椭圆方程列方程组即可；（2）①设直线AB:y=kx+t，与椭圆E的方程可得(16k②由kAM+kBM=2，可知y1x1+4+y19．【答案】（1）解：由Y为二项分布可知：E(Y)当λ=0时，E(Z)=E(Y)=3，D(Z)=D(Y)=2.故组合投资的期望为3，方差为2.91．（2）证明：因为D(X)=i=1所以D(Z)=D(λX+(1−λ)Y)=E[λX+(1−λ)Y−E(λX+(1−λ)Y)]因为[λX