沪教版八年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)

【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，abx3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值.要点三、最简二次根式（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】12016春天津期末）已知y=+-4，计算x-y2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x-y2求值即可．解得：x=，把x=代入y=+-4，得y=-4，当x=，y=-4时x-y2=-16=-14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．举一反三【变式】方程，当时，的取值范围是()类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：【答案】解1）.3.（2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1-x≤0；x-3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1-x≤0，x-3≤0，∴=x-1+3-x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．4.已知为三角形的三边，则=【答案】.【解析】为三角形的三边,,即原式==.【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<<,化简.【答案与解析】原式==.【总结升华】成立的条件是>0;若<0,则.类型四、同类二次根式6.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么、的值是()A.=2，=1B.=1，=2C.=1，=-1D.=1，=1【答案】D.【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求、的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴,∴=1，b=1.【巩固练习】【巩固练习】1.（2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()2.使式子有意义的未知数x有()个A．0B．1C．2D．无数3.把根号外的因式移到根号内，得().4.（2015•蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①;②（-）=16；③()=4；④.正确的是()A.①②B.③④C.②④D.①③5.若，则等于()A．B．C．D．6.将中的移到根号内，结果是()A．B.C.D.7.若最简二次根式与是同类二次根式，则.8.（2015•江干区一模）在-，中，是最简二次根式的是_________.9.已知，求的值为____________.10.若，则化简的结果是__________.律,并将第n(n≥1)个等式写出来________________.12.（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a-2|的结果为——．14.若时，试化简.15.（2015春•武昌区期中）已知a、b、c满足+|a-c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案与解析】【答案与解析】【解析】依题意得：x-1＞0，解得x＞1．【解析】解：①==4，正确；②=（-1）2=1×4=4≠16，不正确；③=4符合二次根式的意义，正确；④==4≠-4，不正确．①③正确．故选：D．【解析】因为=，即.【解析】因为≤0，所以=.二、填空题7.【答案】1；1.8.【答案】.9.【答案】.【解析】,,即原式=.10.【答案】3.【解析】因为原式==.三、解答题13.【解析】因为，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=则.所以原式=.所以，b≥c且c≥b，所以，b=c，所以，c=2，a+b+c=1+2+2=5，所以，a+b+c的平方根是±.【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：(≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:(≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：(≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:(≥0，>0即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】1.计算1）【答案与解析】【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式】计算.【答案】类型二、二次根式的乘除2.（1）.（2）.【答案与解析】（1）原式=【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.【变式】【答案】原式=3.计算【答案与解析】=-==-；【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=【思路点拨】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【答案与解析】+×-【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．举一反三【变式】【答案】原式=【答案】A.故选：A．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键．【答案与解析】【总结升华】运用分母有理化运算，找出规律，是这一类型题的特点.举一反三【答案】解：∵4=，=a-1+=a-1-=4-6-1-=4-7-=4-7--=-7．【巩固练习】【巩固练习】2.（2016•历下区一模）下列运算错误的是()4.（2015•淄博）已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为()A.2B.4C.5D.7A．1B.-1C.D.7.（2016天津）计算（+-）的结果等于．8.若互为相反数，则x=_____________.9.已知=___________.11.设则的值是_________.12.（2014•吴江市模拟）设a=，b=2+，c=三、综合题(2).化简并求值：其中.14.（2015春•东平县校级期末1）计算：2-++（2）先化简，再求值a-a+）-a（a-6其中a=+．15．已知的整数部分为，小数部分为求的值.【答案与解析】【答案与解析】【解析】所以选A.【解析】A、原式=3，所以A选项的计算正确；D、原式=7-4=3，所以D选项的计算正确．【解析】原式==.【解析】解：原式=（x+y）2-xy=（+）2-×=（）2-=5-1【解析】,.则，,则=.6.【答案】B.【解析】注意运算技巧.原式===.二、填空题【解析】原式=（）2-（）2=5-3=2.【解析】因为互为相反数，所以,则.9.【答案】1.【解析】=.【解析】因为x>0,所以，所以=.11.【答案】.12.【答案】a＜c＜b．【解析】解：c===+；故答案为a＜c＜b．三、解答题则=..代入原式=4.14.【解析】解1）原式=2-2++=3-；（2）原式=a2-3-a2+6a=6a-3=3（2a-1当a=+时，原式=3×2=6．所以，,原式==,代入后原式=.【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（3）.要点诠释1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即如.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；（）相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算类型法则逆用法则二次根式的乘法二次根式的除法（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.即合并同类二次根式.二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】（2）.则必有(2)要使在实数范围内有意义，则必有【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016柘城县校级一模）把中根号外的因式移到根号内的结果是().【答案】A.【解析】由二次根式的意义知，则.【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。则•=8×=12．3.实数在数轴上对应的点如图：化简.===【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定的大小关系是本题的关键.【：二次根式高清：388065：填空题5】【变式】ABC的三边长为a、b、c，则=.【答案】.类型二、二次根式的运算42015•昆山市一模）计算【答案与解析】解1）原式=2-1+3=4；（2）原式=2-3--2=--3．【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．【变式】计算【答案】5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.6.若，化简.【答案与解析】【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.【变式】当.【答案】将代入，原式=3.1．是怎样的实数时，在实数范围内有意义？()A.B.C.D.22016杨浦区三模）如果，那么().3．已知，那么满足上述条件的整数的个数是.4．若x＜0，则的结果是().A．0B．-2C．0或-2D．25．的值是().A．-7B．-5C．3D．762015•宁夏）下列计算正确的是()A.B.=2C.（）-1=D.（-1）2=27．小明的作业本上有以下四题：①;②;③;④.做错的题是().A．①B．②C．③D．④8．相比较，下面四个选项中正确的是（）.A.B.9.计算=___________.10.若的整数部分是a，小数部分是b，则___________.11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12.已知最简根式是同类根式，则的值为___________.13．若m＜0，则=___________.14.已知实数满足，则=____________.15．已知数在数轴上的位置如图所示：则=__________.192016春张家港市期末）若都是实数，且，试求的值.20.（2014秋•德惠市期末）某号台风的中心位于O地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响？若受影响，【答案与解析】【答案与解析】所以，因为，,所以.【解析】则，即.【解析】解：与不能合并，所以A选项错误；D、原式=3-2+1=4-2，所以D选项错误．【解析】不是同类根式，不能加减.8.【答案】A.【解析】因为，所以，即.二、填空题9.【答案】.10.【答案】1.【解析】.【解析】①.②且【解析】因为最简根式是同类根式（注意没说是同类二次根式所以根指数与被开方数相同，即即.【解析】因为，所以-2011≥0，即≥2011，即=2011.所以原式==0.2+x+1=（x+）2-+1=（+）2+故答案为：2．三.解答题==.19.【解析】∵,∴,∴把代入，∴20.【解析】解：如图，OA=320，∠AON=45°,过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．识别一元二次方程必须抓住三个条件1）整式方程2）含有一个未知数3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即m≠±.可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的【高清：388447：一元二次方程的系数与解—练习1(3)】【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a.【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.3.（2015春•亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（2）求方程的解．【答案与解析】解1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【高清：388447：一元二次方程的系数与解——练习2】（2）已知关于x的一元二次方程有一个根是0，求m的值.（2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．∴3x+1=±(注意不要丢解)∴原方程的解为x1=，x2=.2=11∴原方程的解为x1=，x2=.类型五、因式分解法解一元二次方程【答案与解析】设x+1＝m，2-x＝n，则原方程可变形为：.【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．：．∴∴∴∴6．如果，请你求出的值．【答案与解析】设，∴z(z-2)＝3．∵,∴z＝-1(不合题意，舍去)【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．易错提示:忽视，而得或．【巩固练习】1.已知是一元二次方程的一个解，则m的值是()．A．-3B．3C．0D．0或32．若是一元二次方程，则不等式的解集应是().A．B．a＜-2C．a＞-2D．a＞-2且a≠03．若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为.A．2010B．2011C．2012D．201342015•大庆模拟）对于方程（x-1x-2）=x-2，下面给出的说法不正确的是()A．与方程x2+4=4x的解相同B．两边都除以x-2，得x-1=1，可以解得x=2C．方程有两个相等的实数根D．移项分解因式（x-2）2=0，可以解得x=x=2．5．若代数式的值为零，则x的取值是()．A．x＝2或x＝1B．x＝2且x＝1C．x＝2D．x＝-162016荆门）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为().二、填空题8．关于x的方程是一元二次方程，则m.92015•齐齐哈尔）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是．10．若方程(2012x)2-2011×2013x-1＝0的较大根为a，方程x2-2012x-2013＝0的较小根为b，则＝________．11．已知a是方程的根，则的值为．12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为．三、解答题13.已知m、n都是方程的根，试求代数式(m2+2010m-2010)(n2+2010n+1)的值．14．用适当的方法解下列方程．152016春•白银校级期中）已知，求的值．【答案与解析】【解析】解不等式得a＞-2，又由于a为一元二次方程的二次项系数，所以a≠0．即a＞-2且a≠0．【解析】∵是方程的根，代入方程得，4.【答案】B；【解析】解：方程（x-1x-2）=x-2，移项得x-1x-2）-（x-2）=0，分解因式得x-2x-2）=0，解得：x=x=2；B、当x-2≠0时，两边除以x-2，得x-1=1，即x=2；C、方程有两个相等的实数根，正确；D、移项分解因式（x-2）2=0，可以解得x=x=2，正确；故选：D．二、填空题2+2p+q＝0，即2p+q＝-4同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1②联立①,②得解之得：【解析】由题意得【解析】解：解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，故答案为：8．的两根为，∴,，．.12.【答案】2011.，，所以．三、解答题13.【答案与解析】14.【答案与解析】(3)移项，得，两边同除以3，得，根据平方根的定义，得，即，．15.【答案与解析】∴∴∴【学习目标】1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次2．掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、一元二次方程的解法---配方法将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点二、配方法的应用在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点三、公式法解一元二次方程2.一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般形式；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程：．【答案与解析】∴∴【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】用配方法解方程（12）.;②当时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2.用配方法证明的值小于0．【答案与解析】.∵,∴,【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【答案】3.若实数满足，则的值是()【答案】C；【解析】对已知等式配方，得，∴.【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．【高清：388499：配方法与所以的最小值是所以的最大值是9.【答案与解析】.【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解类型三、公式法解一元二次方程【答案与解析】【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【答案】原方程可化为∵∴∴∴【答案与解析】【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵∴∴∴【巩固练习】1.已知关于x的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是()2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是()32016春扬州期末）若则与的大小关系4．不论x、y为何实数，代数式的值()5．已知，则的值等于()6．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A.Δ=MB.Δ>MC.Δ<MD.大小关系不能确定二、填空题102016秋·启东市校级月考）已知实数，满全平方式，则a=________.三、解答题【答案与解析】【解析】配方的步骤是：(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．【解析】选项C：配方后应为．∵∴∴二、填空题【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.【解析】将原式进行配方，得所以解得或所以.【解析】将变式为，∴,∵,∴,故代数式的最小值为15.故答案为：.三、解答题方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2直接开平方得：x-=±∴原方程的解为x1=，x2=.(2)将常数项移到方程右边x2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得用直接开平方法，得∴∴∴∵（）【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).列方程解实际问题的三个重要环节：三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】【答案与解析】解：设这两个连续奇数为x，x+2，【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的类型二、平均变化率问题2.（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得()据等量关系列出方程即可．【答案】A．【解析】故选：A．【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是()A．1331B．1210C．1100D．1000【答案】第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．类型三、利润（销售）问题3.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?【答案与解析】解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，整理，得x2-50x+625＝0，∴x1＝x2＝25．答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．【高清：388525：销售问题---例6】【变式】（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．【答案】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.类型四、行程问题【高清：388525：行程问题---例8】4.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s【答案与解析】解1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路（3）设刹车后汽车行驶到15m用了s，由（2）可知，这时车速为．这段路程内的平均车速为，即．解方程，得．刹车后汽车行驶到15m时约用了0.9s．【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.【巩固练习】1.（2016台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是A．168(1+a%)2＝128B．168(1-a%)2＝128C．168(1-2a%)2＝128D．168(1-a2%)＝1283．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时.A．2,6B．12,16C．16,20D．20,245．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为()A．20％B．30%C．50%D．120%6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为()A．5B．6C．8D．10二、填空题7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．8．有一间长20m，宽15m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米.10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数三、解答题132016•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．14.（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?【答案与解析】【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，故选A．【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．根据题意可列方程168(1-a%)2＝12【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×12-4x2＝296，∴x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．4.【答案】C；【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．.【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精(·x）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．20－x-·x＝5．二、填空题【解析】方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为，2011年增长的百分率为，由增长率相同可列方程，解得x1＝220，x2＝-220(舍去)【解析】设留空的宽度为xm，则，解得x1＝15(舍去)【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长为(120-4x)m，宽为(78-3x)m．【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，由题意得化简得x2-8x+15＝0，答：原两位数是35或53．【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x，依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．2+300x-31＝0．解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合题意，舍去)．答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%．三、解答题解1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm，由题意，得（）（）∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．(1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点ts后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．根据题意，得．(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了后，开始由O向B爬行，设从O点开始xs后组成的整理得x2+25x-150＝0，解得x1＝5，x2＝-30(舍去)．当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．【学习目标】2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法一元二次方程一元一次方程直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m－1）x|m|+x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m=±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m的值．【答案】根据题意得解得类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．【答案与解析】即(7x-16)(-3x+4)＝0，【总结升华】(1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．【答案】(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x的方程有实数根．则a满足()A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【答案】A；②当时，由△≥0得，解得且．综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是．答案：A【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【高清：388528：一元二次方程的根的判别式】4．为何值时，关于x的二次方程（3）满足时,方程无实数根.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式及k≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系52016•凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，则x1-x1x2+x2的值是()【答案】D．【解析】难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△=(2k-3)2-4(k-1)(k+1)=,所以．由k-1≠0，得k≠1.(2)不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则,解得．当时，判别式△=-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用62015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【巩固练习】1.关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.－1或12．已知a是方程x2+x-1=0的一个根，则的值为()A.B.C.-1D.132015•德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是()A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是()5．如果是、是方程的两个根，则的值为()A．1B．17C．6.25D．0.2562016台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()7.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是()8.若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．则k的值为()A.－1或B.－1C.D.不存在二、填空题9．关于x的方程的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0则方程的解是.10．已知关于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)＝0有实根，则a、b的值分别为．11．已知α、β是一元二次方程的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．12．当m=_________时，关于x的方程是一元二次方程；当m=_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.142015•绥化）若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是——.15．已知，那么代数式的值为________.16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题18．设(a，b)是一次函数y＝(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数．（2）求一次函数与反比例函数的解析式．19.长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案与解析】【解析】先把x＝0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a＝1舍去．【解析】先化简，由a是方程x2+x-1=0的一个根，得a2+a-1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．解：原式==，∵a是方程x2+x-1=0的一个根，2+a-1=0，2+a=1，∴△=b2-4ac=4-4a≥0，解之得a≤1．4.【答案】D；【解析】△≥0得，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.【解析】.6.【答案】A．【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x-1∴x（x-1）=45，故选A．【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2.二、填空题1=-4，x2=-1．【解析】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1a，m，b均为常数，a≠0∴则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=-2-2=-4，x2=1-2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．10.【答案】a＝1【解析】判别式△=[2(a+1)]2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8)=-8a2-16ab-16b2+8a-4=-4(2a2+4ab+4b2-2a+1)=-4[(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1)]．=-4[(a+2b)2+(a-1)2]．因为原方程有实根，所以-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0，∴α+β=4，αβ=-3．【解析】即.a=2或6.14.【答案】a<﹣1；15.【答案】-2；16.【答案】-5；【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3,当x=3时，不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.三、解答题(1)因为关于x的方程有两个不相等的实数根，所以解得k＜3且k≠0，又因为一次函数y＝(k-2)x+m存在，且k为非负整数，所以k＝1．(2)因为k＝1，所以原方程可变形为，于是由根与系数的关系知a+b＝4，ab＝-2，又当k＝1时，一次函数过点(a，b)，所以a+b＝m故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为与．(1)设平均每次下调的百分率是x．答：平均每次下调的百分率为10%．(2)方案①优惠：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；方案②优惠：1.5×100×12×2＝3600(元)(1)设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x－10)天.解得x1=3，x2=20.经检验均是原方程的根，x1=3不符题意舍去.故x=20.∴乙队单独完成需要2x－10=30(天).答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.(2)设甲队每天的费用为y元，则由题意有12y+12(y－150)=138000，解得y=650.∴选甲队时需工程费用650×20=13000，选乙队时需工程费用500×30=15000.∴从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3.理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.4.初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】【：389341变量与函数，知识要点】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.要点四、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】1、下列等式中，是的函数有()【答案】C；【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于当取2，有两个值±和它对应，对于，当取2，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：都有唯一确定的值与对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的【变式】下列函数中与表示同一函数的是()A.B.C.D.【答案】D；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.【解析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点.B选项x>0时，y都有二个值与之相对应，则y不是x的函数，故选B.【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．【：389341变量与函数，例3】3、求出下列函数的定义域.（1（45【答案与解析】解1为任何实数，函数都有意义；（6要使函数有意义，需，即≥-3且≠-2.【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.【：389341变量与函数，例4】4、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°,AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP若表示△APB的面积．【答案与解析】所以．所以，即．(2)因为点P不与点B、C重合，BC＝10，所以010．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图形观察到点P移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．【变式】小明在劳动技术课中要制作一个周长为80的等腰三角形．请你写出底边长()与腰长()的函数关系式，并求自变量的取值范围．【答案】解：由题意得，＝80,由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以，解得所以.5、若与的关系式为，当＝时，的值为()A．5B．10C．4D4【答案】C；【解析】.【总结升华】把代入关系式可求得函数值.【变式