陕西省石泉县高中数学 第一章 集合 1.3 集合的基本运算 1.3.1 集合的基本运算-交集、并集教学设计 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第一章集合1.3集合的基本运算1.3.1集合的基本运算——交集、并集教学设计北师大版必修1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课为高中数学第一章《集合》中的1.3节《集合的基本运算》中的1.3.1节《集合的基本运算——交集、并集》。主要内容涉及交集和并集的定义、运算性质及实际应用。通过本节课的学习，学生能够掌握交集、并集的概念和运算方法，并能够运用到解决实际问题中。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过集合运算的学习，使学生能够从具体情境中抽象出集合的概念，理解集合运算的规律。提升逻辑推理能力，通过交集、并集的运算练习，锻炼学生逻辑思维和推理能力。增强数学建模意识，引导学生将集合运算应用于实际问题中，提高解决实际问题的能力。三、学情分析本节课针对高中一年级的学生，他们刚刚接触高中数学，正处于从初中数学到高中数学的过渡阶段。在知识层面上，学生对集合的概念有一定了解，但对其运算的理解和应用尚浅。能力方面，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和解决问题的能力有待提高。素质方面，学生的学习习惯、自主学习能力和合作学习能力参差不齐。

在具体表现上，部分学生能够理解集合的基本概念，但对于集合运算的具体应用感到困惑，特别是在处理复杂问题时，难以将集合运算与实际问题相结合。此外，学生在合作学习中存在一定的问题，如沟通不畅、分工不明确等，这可能会影响课堂讨论和问题解决的效果。

这些学情特点对课程学习产生了以下影响：

1.需要教师通过直观教学和实例分析，帮助学生建立集合运算的直观形象，提高对集合运算的理解。

2.教师应注重培养学生的逻辑推理能力，通过逐步引导，帮助学生掌握集合运算的规律和技巧。

3.针对学生合作学习的问题，教师需在课堂上引导学生有效沟通，培养团队合作精神，提高课堂互动效果。

4.教师需关注学生的个体差异，针对不同层次的学生提供分层教学，确保每个学生都能在课堂上有所收获。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解集合运算的定义、性质和应用，帮助学生建立扎实的理论基础。

2.讨论法：组织学生就集合运算中的典型问题进行讨论，激发学生的思维活力，培养合作学习能力。

3.案例分析法：选取实际生活中的实例，引导学生运用集合运算解决实际问题，提高学生的应用能力。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示集合运算的图形和过程，增强直观性和趣味性。

2.教学软件应用：借助数学软件进行集合运算的演示和练习，提高教学效率。

3.互动式教学：通过在线投票、即时反馈等方式，增强课堂互动，提高学生的参与度。五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们上一节课学习了集合的概念，了解了集合的组成元素和集合的表示方法。今天，我们将继续探索集合的奥秘，学习集合的基本运算。请大家打开课本，翻到第一章的1.3节《集合的基本运算》，让我们一起走进今天的课堂。

二、新课讲授

1.集合的交集

（教师）首先，我们来学习集合的交集。请同学们回忆一下，什么是交集？谁能举例说明一下？

（学生）交集是指两个集合共有的元素组成的集合。

（教师）很好，交集的定义就是两个集合共有的元素。接下来，我们来看一下交集的运算性质。请大家看课本上的表格，这里列出了交集的运算性质。

（教师）首先，我们来证明交集的交换律。假设有两个集合A和B，它们的交集记为A∩B。我们要证明A∩B=B∩A。

（教师）首先，我们知道A∩B是由A和B共有的元素组成的集合。那么，对于任意的元素x，如果x属于A∩B，那么x一定同时属于A和B。同理，如果x属于B∩A，那么x也一定同时属于A和B。因此，A∩B和B∩A的元素是相同的，即A∩B=B∩A。

（学生）原来交集的交换律可以这样证明。

（教师）很好，接下来我们来证明交集的结合律。假设有三个集合A、B和C，它们的交集分别记为A∩B和A∩B∩C。我们要证明(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

（教师）首先，我们知道(A∩B)∩C是由A∩B和C共有的元素组成的集合。同理，A∩(B∩C)是由A和B∩C共有的元素组成的集合。由于交集的交换律，我们可以将A∩B∩C写成B∩A∩C。因此，(A∩B)∩C和A∩(B∩C)的元素是相同的，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

（学生）明白了，交集的结合律也证明了。

（教师）最后，我们来证明交集的分配律。假设有三个集合A、B和C，它们的交集分别记为A∩B和A∩C。我们要证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

（教师）首先，我们知道A∩(B∪C)是由A和B∪C共有的元素组成的集合。同理，(A∩B)∪(A∩C)是由A∩B和A∩C共有的元素组成的集合。由于并集的交换律和结合律，我们可以将B∪C写成C∪B。因此，A∩(B∪C)和(A∩B)∪(A∩C)的元素是相同的，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

（学生）原来交集的分配律也可以这样证明。

（教师）非常好，同学们已经掌握了交集的运算性质。接下来，我们来做一些练习题，巩固一下所学知识。

2.集合的并集

（教师）接下来，我们来学习集合的并集。请同学们回忆一下，什么是并集？谁能举例说明一下？

（学生）并集是指由两个集合所有元素组成的集合。

（教师）很好，并集的定义就是由两个集合的所有元素组成的集合。接下来，我们来看一下并集的运算性质。请大家看课本上的表格，这里列出了并集的运算性质。

（教师）首先，我们来证明并集的交换律。假设有两个集合A和B，它们的并集记为A∪B。我们要证明A∪B=B∪A。

（教师）首先，我们知道A∪B是由A和B的所有元素组成的集合。那么，对于任意的元素x，如果x属于A∪B，那么x一定属于A或B。同理，如果x属于B∪A，那么x也一定属于A或B。因此，A∪B和B∪A的元素是相同的，即A∪B=B∪A。

（学生）原来并集的交换律可以这样证明。

（教师）接下来，我们来证明并集的结合律。假设有三个集合A、B和C，它们的并集分别记为A∪B和A∪B∪C。我们要证明(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

（教师）首先，我们知道(A∪B)∪C是由A∪B和C的所有元素组成的集合。同理，A∪(B∪C)是由A和B∪C的所有元素组成的集合。由于并集的交换律和结合律，我们可以将B∪C写成C∪B。因此，(A∪B)∪C和A∪(B∪C)的元素是相同的，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

（学生）明白了，并集的结合律也证明了。

（教师）最后，我们来证明并集的分配律。假设有三个集合A、B和C，它们的并集分别记为A∪B和A∪C。我们要证明A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

（教师）首先，我们知道A∪(B∩C)是由A和B∩C的所有元素组成的集合。同理，(A∪B)∩(A∪C)是由A∪B和A∪C的所有元素组成的集合。由于交集的交换律和结合律，我们可以将B∩C写成C∩B。因此，A∪(B∩C)和(A∪B)∩(A∪C)的元素是相同的，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

（学生）原来并集的分配律也可以这样证明。

（教师）非常好，同学们已经掌握了并集的运算性质。接下来，我们来做一些练习题，巩固一下所学知识。

3.集合的补集

（教师）最后，我们来学习集合的补集。请同学们回忆一下，什么是补集？谁能举例说明一下？

（学生）补集是指全集U中不属于某个集合A的元素组成的集合。

（教师）很好，补集的定义就是全集U中不属于某个集合A的元素组成的集合。接下来，我们来看一下补集的运算性质。请大家看课本上的表格，这里列出了补集的运算性质。

（教师）首先，我们来证明补集的德摩根律。假设有两个集合A和B，它们的补集分别记为A'和B'。我们要证明(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。

（教师）首先，我们知道(A∪B)'是由全集U中不属于A∪B的元素组成的集合。同理，A'∩B'是由全集U中不属于A'和B'的元素组成的集合。由于并集和交集的德摩根律，我们可以将A∪B写成A'∩B'，将A∩B写成A'∪B'。因此，(A∪B)'和A'∩B'的元素是相同的，即(A∪B)'=A'∩B'。同理，(A∩B)'和A'∪B'的元素是相同的，即(A∩B)'=A'∪B'。

（学生）明白了，补集的德摩根律也证明了。

（教师）非常好，同学们已经掌握了集合的交集、并集和补集的运算性质。接下来，我们来做一些综合练习题，将所学知识综合运用。

三、课堂练习

（教师）下面我们来做一些课堂练习，巩固今天所学的内容。

1.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∩B和B∪A。

（学生）A∩B={2,3}，B∪A={1,2,3,4}。

2.已知集合A={x|x是2的倍数}，B={x|x是3的倍数}，求A∪B和A∩B。

（学生）A∪B={x|x是6的倍数}，A∩B={x|x是6的倍数}。

3.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x是奇数}，求A'和B'。

（学生）A'={x|x不是1,2,3,4}，B'={x|x不是奇数}。

四、课堂小结

（教师）今天我们学习了集合的基本运算，包括交集、并集和补集。通过学习，我们掌握了集合运算的定义、性质和应用。希望大家能够将这些知识运用到实际生活中，解决实际问题。

五、布置作业

（教师）为了巩固今天所学的内容，请大家完成以下作业：

1.复习课本1.3节的内容，掌握集合的基本运算。

2.完成课后练习题，巩固所学知识。

3.思考如何将集合运算应用于实际生活中，下节课分享你的想法。

六、课堂反思

（教师）今天的课程到这里就结束了。在课堂上，我发现同学们对集合运算的性质掌握得比较好，但在实际应用中还存在一些困难。在今后的教学中，我将更加注重培养学生的实际应用能力，帮助他们更好地将所学知识运用到实际生活中。同时，我也会关注学生的个体差异，针对不同层次的学生提供分层教学，确保每个学生都能在课堂上有所收获。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-集合运算的实际应用：介绍集合运算在各个领域的应用，如计算机科学中的集合操作、统计学中的样本空间和事件、经济学中的市场细分等。

-集合运算的历史背景：探讨集合运算的发展历程，从古埃及的计数方法到现代集合论的建立，以及集合论对数学发展的影响。

-集合运算的数学竞赛题目：收集一些涉及集合运算的数学竞赛题目，包括高中数学联赛、国际数学奥林匹克等，供学生课后练习和挑战。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《集合论基础》、《数学归纳法与集合论》等书籍，深入了解集合论的基本概念和理论体系。

-参加数学讲座：鼓励学生参加学校或社区举办的数学讲座，特别是那些与集合论相关的讲座，以拓宽知识面。

-实践项目：引导学生参与一些数学实践项目，如设计一个基于集合运算的计算机程序，或者分析一个实际问题的集合运算模型。

-制作思维导图：让学生尝试制作集合运算的思维导图，将集合运算的概念、性质和应用以图形化的方式呈现，有助于加深理解和记忆。

-小组讨论：组织学生进行小组讨论，针对集合运算中的难点和疑惑进行交流，通过合作学习提高解决问题的能力。

-创新应用：鼓励学生思考如何将集合运算应用于日常生活中的实际问题，如购物时的优惠组合、旅行路线规划等，提高数学应用意识。

-在线资源：推荐学生访问一些在线教育资源平台，如KhanAcademy、Coursera等，学习更多关于集合运算的在线课程和练习题。

-数学论坛参与：鼓励学生参与数学论坛，如MathStackExchange，与其他数学爱好者交流学习心得，解决学习中的难题。七、板书设计①集合的基本概念

-集合的定义：元素的无序集

-集合的表示方法：列举法、描述法、图示法

②集合的基本运算

-交集（∩）：两个集合共有的元素组成的集合

-并集（∪）：包含所有属于集合A或集合B的元素组成的集合

-补集（A'）：全集U中不属于集合A的元素组成的集合

③集合运算的性质

-交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A

-结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

-分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

-德摩根律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'

④集合运算的实际应用

-集合运算在计算机科学中的应用

-集合运算在统计学中的应用

-集合运算在经济学中的应用

⑤练习题

-集合运算的简单应用题

-集合运算的综合应用题

-集合运算的竞赛题目八、典型例题讲解1.例题：

已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x是2的倍数}，求A∩B和B∪A。

解答：

首先找出集合B中的元素，由于B是由2的倍数组成的集合，因此B={2,4,6,8,...}。

然后求A与B的交集，即找出同时属于A和B的元素，得到A∩B={2,4}。

接着求A与B的并集，即找出属于A或B的所有元素，得到B中的元素已经包含在A中，因此B∪A=A={1,2,3,4}。

2.例题：

已知集合A={x|x是3的倍数}，B={x|x是5的倍数}，求A∩B和B∪A。

解答：

集合A中的元素是3的倍数，即A={3,6,9,12,...}。

集合B中的元素是5的倍数，即B={5,10,15,20,...}。

由于3和5不是互质数，所以A与B的交集为空集，即A∩B=∅。

A与B的并集是所有3的倍数和5的倍数，即A∪B={3,5,6,9,10,12,15,20,...}。

3.例题：

已知集合A={x|x是自然数}，B={x|x是偶数}，求A∩B和B∪A。

解答：

集合A包含所有自然数，即A={1,2,3,4,5,...}。

集合B包含所有偶数，即B={2,4,6,8,10,...}。

A与B的交集是所有既是自然数又是偶数的数，即A∩B={2,4,6,8,10,...}。

A与B的并集是所有自然数和偶数，即A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}。

4.例题：

已知集合A={x|x是正整数}，B={x|x是2的平方倍}，求A∩B和B∪A。

解答：

集合A包含所有正整数，即A={1,2,3,4,5,...}。

集合B包含所有2的平方倍，即B={4,16,36,64,...}。

A与B的交集是所有既是正整数又是2的平方倍的数，即A∩B={4,16,36,64,...}。

A与B的并集是所有正整数和2的平方倍，即A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}。

5.例题：

已知集合A={x|x是正整数}，B={x|x是3的倍数}，C={x|x是5的倍数}，求A∩(B∪C)。

解答：

集合A包含所有正整数，即A={1,2,3,4,5,...}。

集合B包含所有3的倍数，即B={3,6,9,12,15,...}。

集合C包含所有5的倍数，即C={5,10,15,20,25,...}。

B与C的并集是所有3的倍数和5的倍数，即B∪C={3,5,6,9,10,12,15,20,...}。

A与B∪C的交集是所有既是正整数又是3的倍数或5的倍数的数，即A∩(B∪C)={3,5,6,9,10,12,15,20,...}。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，对集合运算的概念和性质有较好的理解。大部分学生能够正确运用交集、并集和补集的概念进行计算，但在处理一些复杂问题时，部分学生表现出一定的困惑。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节中，学生们能够就集合运算的性质进行深入探讨，并能够提出一些有创意的解题方法。在展示讨论成果时，学生们能够清晰、有条理地表达自己的观点，展现了良好的团队合作精神。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对集合运算的基本概念和性质掌握较好，能够正确运用交集、并集和补集进行计算。但在解决综合问题时，部分学生存在计算错误和理解偏差。测试中，学生的平均成绩为85分。

4.学生自评与互评：

学生在课后填写了自评表，对自己在课堂上的表现进行了反思。大部分学生认为自己在课堂上的表现良好，但仍有一些学生表示在理解集合运算的性质时存在困难。在互评环节中，学生们能够客观地评价同伴的表现，并提出改进建议。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师评价与反馈如下：

-针对课堂参与度：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂互动效果。对于积极参与的学生给予表扬，对于表现不够积极的学生，教师将给予更多的关注和引导。

-针对小组讨论成果展示：肯定学生的团队合作精神，鼓励学生在展示过程中更加自信。对于讨论过程中出现的问题，教师将进行针对性的讲解和指导。

-针对随堂测试成绩：针对测试中暴露出的问题，教师将进行针对性的讲解和练习，帮助学生巩固知识点。对于成绩较低的学生，教师将提供额外