浙江省湖州市南太湖双语学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月） 数学试卷（含解析）

湖州市南太湖双语学校2024-2025学年第二学期第一次月考高一数学试卷班级_____姓名_____考试时间：120分钟满分：150分考生须知：1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知平面向量，，若，则k＝（）A. B.6 C. D.－6【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为，，，所以，解得.故选：A.2.已知复数，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义即可得到答案.【详解】由题意得在复平面内对应的点为，则其位于第二象限.故选：B.3.若向量，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算向量的夹角余弦值，可判断A;计算向量的数量积，可判断B;根据向量共线的坐标表示，可判断C;计算的模，判断D.【详解】向量,故，故A错误；，故B错误；由可得，，故C错误；，故，故D正确，故选：D4.在中，点为BC边上一点，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点，然后结合平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可得到结果．【详解】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点E，∵，∴，∴，∴，∴，∴故选：C．5.已知，为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（）A.2 B. C.-2 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线定理求解.【详解】因为与平行，所以存在实数使，所以，由，解得.故选：C.6.在复数范围内方程的解为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题设得，即可求复数解.【详解】由题设.故选：C7.若中，，则此三角形的形状是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状.【详解】中，，已知等式变形得，，即，整理得，即，或（不合题意，舍去）．，，则此三角形形状为直角三角形．故选：A8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（）A. B.80 C.160 D.【答案】D【解析】【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可.【详解】如图所示：在△中，，，，，由正弦定理，得，解得，在△中，，，，，则，在△中，由余弦定理，得，解得，即,两点间的距离为，故选：．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，（是虚数单位），则以下命题正确的是（）A. B.的虚部为C. D.，是方程的两个根【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的四则运算法则求出，根据复数的基本概念逐项判断即可．【详解】由题意，.对于A，，故A正确；对于B，的虚部为，故B错误；对于C，复数的共轭复数，故C正确；对于D，将代入方程可得，，同理，将代入方程可得，，所以，，是方程的两个根，故D正确；故选：ACD.10.已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据向量是否共线即可结合选项判断.【详解】对于A，由于，故共线，不能成为基底，对于B，不共线，可以作为基底，对于C，由于，所以共线，故不可以作为基底，对于D，不共线，可以作为基底，故选：BD11.如图，已知梯形中，，，点，分别为线段，上的动点，，点为线段中点，则以下说法正确的是（）A.若，则 B.C. D.若为的外心，则【答案】ABD【解析】【分析】根据梯形的中位线即可判断A；利用平面向量夹角的坐标表示和几何意义计算即可判断BC；如图，根据三角形全等的判断方法证明，进而证明、为正三角形，结合外心的定义即可判断D.【详解】A：当时，分别是的中点，则，所以，故A正确；B：连接，则为正三角形，得，建立如图平面直角坐标系，则，所以，有，，所以，故B正确；C：由选项B知，，所以，所以，故C错误；D：在上取，使得，连接，，则，所以，得，又，所以，即，则为正三角形，得，同理可得为正三角形，得，所以，即为的外心，所以，即，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：解答选项D的关键是在上取，利用三角形全等的判断方法证明、为正三角形，得到即为所求.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算，以及投影向量的计算方法，准确计算，即可求解.【详解】由平面向量的夹角为，且，，可得，且，所以向量在方向上的投影向量为.故答案：.13.若的面积为，则边长AB的长度等于______【答案】2【解析】【分析】由三角形面积公式求得，判断为正三角形，从而可得结果.【详解】，，所以，又因为，，所以，为正三角形，，故答案为2.【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正三角形的性质，属于基础题.14.设，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值.【详解】设，因为，即，所以，则，解得所以，当且仅当，即时等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.实数取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【答案】（1）或;（2）且；（3）.【解析】【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可.【小问1详解】当复数是实数时，，解得或；【小问2详解】当复数虚数时，，解得且；小问3详解】当复数是纯虚数时，则，解得.16.已知，，且与的夹角.（1）求；（2）若与平行，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量模长计算公式，结合向量数量积计算公式，计算即可；（2）利用向量共线定理求解.【小问1详解】由题意，，所以【小问2详解】因为与平行，所以存在实数使得，则有，解得所以，17.已知复数z与均为纯虚数．（1）求z；（2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，化简，根据其纯虚数可得，即可求得答案；（2）利用（1）的结论可得为方程的一个根，代入化简结合复数相等，可列出方程组，求得答案.【小问1详解】设，则由题意得，由为纯虚数，得解得，所以.【小问2详解】由（1）可知为方程的一个根，∴，整理得，∴，得.18.的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若点在上，且满足，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角取值范围、特殊角的三角函数值求解即可；（2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.【小问1详解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小问2详解】，，，又，，，，当且仅当时，等号成立，的面积，即面积的最大值为.19.如图，在中，已知，BC边上中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．（1）求；（2）求的余弦值；（3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐标系，利用向量的夹角的坐标运算求解；（3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件转化，消去变量求范围即可.【小问1详解】在中，，由余弦定理得，解得，（负值舍去）故；【小问2详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，得，设，由两点距离公式得，，解得，（负