天津市南仓中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

天津市南仓中学2024至2025学年度第二学期高一年级过程性检测（数学学科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，共36分.一、选择题（每小题4分，共36分）1.设，向量，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．2.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直，数量积为0，可求得的值，从而求出与的夹角.【详解】因为，所以，则，又，则，所以，又，则与的夹角为.故选：C.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积.【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，因为，所以，，即将直观图还原为平面图如下：则，，，所以.故选：A5.如图，在中，，，若，则A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，，据此可知.本题选择A选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6.已知为不共线向量，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.【详解】因为，所以三点共线，故选：A．7.在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据，得，由余弦定理可求.【详解】因为向量，，因为，所以，即，由余弦定理可得.因为，所以，故选：B.8.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.【详解】在中,，，所以，又，由正弦定理可得,,,在中，,所以，（m）故选：C9.如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可.【详解】设的中点为A，则，所以.故选：D第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共24分）10.已知向量，，则在方向上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】先根据向量的坐标运算求，进而求投影向量.【详解】由题意可得：，所以在方向上的投影向量为.故答案为：.11.在中，，则______．【答案】【解析】【分析】由的面积，求得，再求得，再利用数量积的定义求出.【详解】由，得，则，则.故答案为：【点睛】本题考查了三角形的面积公式，数量积的定义，同角三角函数的基本关系式，属于容易题.12.若，是夹角为60°两个单位向量，与垂直，则_______.【答案】##0.25【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求解即可.【详解】因为与垂直，所以，即，即，因为，所以，解得，故答案为：.13.设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，即可求解.【详解】因为，，所以，当与的夹角为钝角时，，解得：，当与反向共线时，，解得，,所以的取值范围为故答案为：14.已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，则该三角形的形状是_______.【答案】直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可.【详解】因为，所以，，，，或，即（舍）或，所以为直角三角形.故答案为：直角三角形.15.在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________．【答案】①.##120°##②.##0.5【解析】【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出．【详解】，；设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°，则，∴当时，取最小值，则．故答案为：120°；．三、解答题（每题12分，共60分）16.已知向量与，，.（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相平行，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为，，所以；（2），（3），，由题意可得，，整理可得，，解可得，.【点睛】本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.17.在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【解析】【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.18.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若.（i）求的面积；（ii）求的值.【答案】（1）2（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和正弦公式化简已知式即可得出答案；（2）（i）由正弦定理和余弦定理可得，再由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式即可得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式计算即得.【小问1详解】由正弦定理，即，，所以.【小问2详解】（i）由（1）知，即，又，由余弦定理，得，解得，，则，（ii），.19.如图，在四边形中，，，，（1）求的值；（2）若求实数λ的值；（3）在（2）的条件下，若M，N是线段BC上的动点，且求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据数量积公式求解；（2）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案；（3）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，所以，又，所以，即.【小问3详解】以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，因为，所以，则，设，则，因为是线段上的两个动点，所以，解得，所以，所以，所以当时，有最小值.20.已知内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若的外接圆半径，，求的面积；（3）若，，的平分线交边于点，求的长．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变