高中数学选修4-5复习资料含知识点练习题章末测试题（适用于高三一轮复习及高二期末复习）

高中数学选修4-5复习资料内容:

1、知识点复习整理（多套）

2、章末练习题及期末测试题（多套）

3、导学案，教案

高中数学选修4—5知识点

1、不等式的基本性质

①（对称性）a>bob>a

②（传递性）a>h,h>c^>a>c

（3）（可加性）a>hoa+c>h+c

（同向可加性）a>b,c>d^>a+c>b+d

（异向可减性）a>byc<d^a-c>b-d

④（可积性）a>b,c>。=ac>be

a>b,c<0ac<be

⑤（同向正数可乘性）a>b>O,c>d>0ac>bd

（异向正数可除性）a>0>0,0<c<dnq>3

⑥（平方法则）a>b>O=>an>b\neN,S.n>Y）

⑦（开方法则）a>fe>O=>V«>'4b（neN,S.n>1）

⑧（倒数法贝!J）4Z>b>0=>—<—；fi</?<0=>—>-

abab

2、几个重要不等式

®a2+b2>2ab（a,b&R）,（当且仅当a时取"="号）.变形公式：

②（基本不等式）号N瓢（a,beR+）,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：a+b>2>fabab<[a+^.

-------------------I2J

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）,要注意满足三个条件“一

正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术一几何平均不等式）竺手N痂（a、b、ceR+）（当且

仅当a=O=c时取到等号）.

@cr+力2+c2Nab+bc+ca（a,bwR）

(当且仅当a=b=c时取到等号).

⑤/+人3+<?»3abe(a>0,b>0,c>0)

（当且仅当。=6=。时取到等号）.

⑥若加7>0,则？+（当仅当a=b时取等号）

ah

若ab<0,则2+—2（当仅当a=b时取等号）

ab

4bb+miQ+〃a/廿小，,八八八、

⑦一<----<1<-------<—,（其中〃>力>0,m>0,n>0）

aa+mb+nb

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧当a>0H寸,=f>片•〈-〃或r>〃；

NV。ofo一。V%&

⑨绝对值三角不等式时—同W|a±A归问+网.

3、几个著名不等式

①例4』而哈厅…’当且仅当T时

取"="号）.

（即调和平均W几何平均W算术平均W平方平均）.

变形公式：

2

（a^b'\er+b2八2、（〃+4

I2J22

②基平均不等式：

4〜+..・+%~N—(q+/+.・・+a〃)2.

n

③二维形式的三角不等式：

++&+0zJa-々y+Ui-%/（芯，%々，%eR）•

④二维形式的柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2{a,b,c,deR）.当且仅当M=/?c时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

2

(aj+42+%2)3」+/7/+42)之(q6+a2h2+a3b3).

⑥一般形式的柯西不等式：

（cij+ct2+…++b；+…+b；）2（44+a2bz+…+。也了.

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则|a/卜同耳当且仅当夕是零向量，或存在实数3

使&=%£时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设q<a2<...<an,bt<b2K...42为两组实数.是白也，…也的任一

排列，则侬”+02bxi+…+4伪4a©+a2c2+…+a“c”<姐+a2b2+...+anbn.(反序

和W乱序和W顺序和），当且仅当4=4="・=。,,或4=4=・“=仇时，反序和等于

顺序和.

⑨琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数/（x）,对于定义域中任意两点&Xe产修）,有

「产+%工/（为）+/（±）或f卢+X?八丹）+/区）则称f（x）为凸（或凹）函数.

2222

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法

等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如（a+/）2+z>（a+5）2；

②将分子或分母放大（缩小）,

如—<[1>]2_2=J_<2

k*2<k{k-\Y左2,上伏+1)，2々-4+4=4(孤+^/^T

1,2

(ZeN*/>l)等.

y/k\fk+J"+1

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式G?+bx+c>0（或<0）

(aw(),△=店-4">0)解集的步骤:

化化二次项前的系数为正数.

判

二判断对应方程的根.

求

求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不

等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

44>0o/(x).g(x)>0

g(x)

(“<或W”时同理)

/(x)>°

----------2Uv

g(x)-lg(x)wO

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

(1)7f(x)>a(a>0)=，")

J(x)>a

⑵<ci(a>0)<=><i

/(X)<a-

/U)>0

或/⑴2。

⑶"(x)>g(x)g(x)>0[g(x)<0

J(x)>[g(x)?

/U)>0

⑷"(x)<g(x)o〈g(x)>0

J(X)<[g(X)F

/W>0

(5)"(x)>Jg(x)o-g(x)N0

/(x)>g(尤)

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求

解

了指数不等式的解法：

⑴当a>1时，af(x)>agW=/'(x)>g(x)

⑵当0<a<1时,afM>agM=f(x)<g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

/W>o

⑴当a>1时，log./(x)>log.g(x)o<g(x)>0

/(x)>gCr)

/U)>0

⑵当0<a<1时,log,f(x)>log“g(x)=«g(x)>0

|/(x)<g(x)

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

a(a>0)

⑴定义法:

-a(a<0)

⑵平方法：|/(x)|<|g(x)|of-(x)<g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：

0|JC|<a<=>-a<x<a(«>0);

②W2a。x2a或x<-a(a>0);

③|/(x)区g。)o-g(x)</(x)<g(x)(g。)2。)

④|/(x)|>g(x)=/(x)>g(x)映<x)<-g(x)(g(x)>0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如公2+汝+00且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类

讨论的标准有：

⑴讨论a与。的大小；

⑵讨论△与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式以2+区+。>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:

①当a=0时=>/?=(),0();

②当awO时

A<0.

⑵不等式a?+笈+。<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:

①当a=0时=>b-0,c<0;

a<0

②当a工0时=>«

A<0.

⑶f（x）<a恒成立<=><a;

/（无）<a恒成立=/（x）max<a;

⑷/（x）>a恒成立o/（x）1n>a；

/（x）>a恒成立<=>/（x）min>a.

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点的坐标代入Ar+为+C后所得

的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点

（面,%）（如原点），由Aro+B）b+C的正负即可判断出加+B）'+C>（）（或<°）表

示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据Ax+B），+C>0（或<0）,观察B的符号与不等式开口的符号，

若同号，Ax+8），+C>0（或<（））表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上

方的区域.

即：同号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数z=瓜+S，为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数z=Ax+By（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的

最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代

入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的

那个数为目标函数z的最小值

法二：画一一移一一定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线/o：Ax+8y=O,

平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解

(x,y);第四步，将最优解(x,y)代入目标函数z=Ax+By即可求出最大值或最小

值.

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：y=-«x+三，三为直线的纵截距.

BBB

①若B>0,则使目标函数z^Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z

取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若8<0,则使目标函数z=Ax+By所表示直线的纵截距最大的角点处，z

取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，2取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：

①“截距”型：z=Ar+By;

②“斜率”型：z=»或z=T：

xx-a

③“距离”型：Z=f+/或Z=G+y2；

z=(x-a)?+(y-b)2或z=^/(x-a)2+(y-b~)2.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，

从而使问题简单化.

选修4-5不等式选讲

基础知识•自主学习

［要点梳理知识回顽埋清教材

1.两个实数大小关系的基本事实

a>g>；a=b岩；a<b<^.

2.不等式的基本性质

(1)对称性:如果公山,那么________；如果________,那么cob.BPa>bo__

(2)传递性:如果a>b,b>c,那么_______.

(3)可加性：如果。>6,那么____________.

(4)可乘性:如果。>中,c>0,那么________；如果c<0,那么_________

(5)乘方：如果a>b>0,那么a"________bn{nGN,n>l).

(6)开方：如果”>b>0,那么缶y[h(nGN,n>l).

3.绝对值三角不等式

(1)性质1：\a+b\^.

(2)性质2：同一向<.

性质3：W|a-.

4.绝对值不等式的解法

⑴含绝对值的不等式因与x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

M<a

W>a

(2)欣+目Wc(c>0)和(c>0)型不等式的解法

①|ar+<co；

②|办+臼三co.

(3)\x-a\+\x-b\^c和仇一”|+仅一6|Wc型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

5.基本不等式

(1)定理：如果〃，bCR,那么。2+。222。方，当且仅当。=/?时，等号成立.

(2)定理(基本不等式)：如果“，h>0,那么等、版当且仅当_______时，等号成

立.也可以表述为：两个的算术平均它们的几何平均.

(3)利用基本不等式求最值

对两个正实数x,y,

①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；

②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最值.

6.三个正数的算术一几何平均不等式

(1)定理如果4,b,C均为正数，那么“+：+'玉瓦当且仅当_________时，等号

成立.

即三个正数的算术平均它们的儿何平均.

(2)基本不等式的推广

对于〃个正数⑶，的…，如，它们的算术平均它们的几何平均，即…+即

勺042…斯,

当且仅当________________时，等号成立.

7.柯西不等式

⑴设a,b,c,d均为实数，则(°2+/)(/+冷》(℃+她2,当且仅当以/=乩时等号成立.

(2)设a”az，az，…，a,„b\,ht，h3,…，儿是实数，则(/+应3---1■屈)曲+优H----1"居汾(a自

+a262H---Ha滴”)2,当且仅当"=0(i=1,2,―,〃)或存在一个数使得出=的(，=1,2,…,

")时，等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式：设a,少是两个向量，则|a/|W|a|W，当且仅当/?是零向量，或

存在实数%,使a=3时，等号成立.

8.证明不等式的方法

(1)比较法

①求差比较法

知道a>b^a—b>0,a<b^a—b<0,因此要证明a>b,只要证明即可，这种方法称

为求差比较法.

②求商比较法

由表1且a>0,b>0,因此当a>0,4»0时要证明。>匕，只要证明即可，这

种方法称为求商比较法.

(2)分析法

从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的，直到将待证不等式归结为一个已成

立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.

(3)综合法

从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式

成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.

(4)反证法的证明步骤

第一步：作出与所证不等式的假设；

第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明

原不等式成立.

(5)放缩法

所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地,以利于化简，并使它与不

等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立.

(6)数学归纳法

设｛凡｝是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P(或Po)成立；(2)在假设

以成立的前提下，推出以+1也成立，那么可以断定｛P.｝对一切自然数成立.

|夯基释疑夯实基础突破疑难

1.不等式|2x—1|一|x—2|<0的解集为.

2.不等式l<|x+l|<3的解集为.

3.(•福建改编)设不等式|x-2&3WN*)的解集为A,且养A,券A.则〃的值为.

/7

4.已知4、b、m均为正数，且T则M、N的大小关系是________.

M=b,b+m

5.设£1=币一巾,b—y[()—y[5,c=市一加，则a,b,c的大小关系为.

题型分类♦深度剖析

题型一含绝对值的不等式的解法

例1(•课标全国)已知函数_/(x)=k+a|+|x—2|.

(1)当a=—3时,求不等式23的解集；

(2)若人x)W|x—4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

思维升华解绝对值不等式的基本方法：

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不

等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.

跟踪训练1已知函数y(x)=|x—a|.

(1)若不等式式x)W3的解集为{x|-1WXW5},求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数"?的取值范围.

题型二柯西不等式的应用

例2己知3/+2丫2辽6,求证：2x+yW，TL

思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配;奏，转化为符合柯西不等式条件的

式子，二维形式的柯西不等式(42+人)(。2+屋)》(改+庆/)2,当且仅当ad=6c时等号成立.

跟踪训练2若3元+4y=2,试求『+V的最小值.

题型三不等式的证明方法

例3已知b,c£（0,+°°）,且a+O+c=l,

求证：（1）（5-1>q一1>（：一1）28；

（2h/^+福+正〈小.

思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们

是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所

以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互

转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.

设a,b,c>0,Kah+hc+ca=\.

求证:（l）a+/j+c2小；

⑵潴+状+书》小（犯+福+6

思想与方法

绝对值不等式的解法

典例:（10分）解不等式W+ll+lx—1]23.

思维启迪本题不等式为|x-a|+|x-b|）c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、

分区间（分类）讨论法和图象法.

规范解答

解方法一如图所示，设数轴上与一1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和

为2,因此区间上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点4,到A,B两点的

距离和为3,4对应数轴上的乂

[4分]

3

-1-x~\~1-x—3,得x=­y

同理设3点右侧有一点8到A,8两点距离之和为3,囱对应数轴上的乂・・・工-1+不一（一

3

1）=3.；・元=2.

从数轴上可看到，点A,卅之间的点到A,8的距离之和都大于3；点4的左边或点明的

右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.［8分］

3-3

-

所以原不等式的解集是（一8,--U+8向

2210

_

方法二当xW-l时，原不等式可化为

3

一（x+1）—（x—1）23,解得：xW—1［3分］

当一14V1时，原不等式可以化为

x+1一（工一1）23,即223.不成立，无解.［6分］

当时，原不等式可以化为

x+1+x—1N3.所以x>|.［9分］

综上，可知原不等式的解集为卜IxW

方法三将原不等式转化为|x+1|+|大一1|-320.

构造函数y=|x+l|+|x—1|-3,

-2x—3,xW—1；

即y=<—1，-la<l;B分］

2x—3,

作出函数的图象，如图所示：

函数的零点是一3家53-

33

--

从图象可知,22

即|x+l|+|x—1|-320.

3-

U

所以原不等式的解集为（-8,2--5，+8）口0分］

_

温馨提醒这三种方法是解|x+a|+|x+旬2c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特

殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并

准确找出零点.

思想方法•感悟提高

方法与技巧

1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式

（组）进行求解.

含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x—a|+|x-'b|>小或|x

一d|+|x一旬〈根为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

2.不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法.

3.柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法（或判别式法）等，

参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明

不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段

改变题设条件，以利于应用柯西不等式.

失误与防范

1.理解绝对值不等式的几何意义.

2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.

3.利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式

的特征.

4.注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.

A组专项基础训练

1.己知集合A={x£R||x+3|+|x-4|<9},8={xeR|x=4/+]—6,re（O,+^）],求集合

AQB.

2.（・江苏）已知。2比>0,求证：2〃3一"22"2—。2b.

3.若〃、b、c均为实数，且〃=，-2>+去&=y2—2z+^,c=z?—2x+*.求证：。、〃、c中

至少有一个大于0.

4.（•课标全国H）设〃、b、c均为正数，且o+〃+c=l,证明：（l）〃A+Z?c+acwg；（2玲++

+1

a

5.设不等式|2x-1|<1的解集为M.

(1)求集合M;

⑵若a,bEM,试比较ab+1与a+6的大小.

6.(・辽宁)已知函数兀r)=|x—a|,其中”>1.

(1)当“=2时，求不等式兀r)24一|x—4|的解集；

(2)已知关于x的不等式|/(2x+a)—4x)|W2的解集为{x|lWxW2},求a的值.

B组专项能力提升

1.若“GN*,S"=N1X2+12X3T--N〃(〃+1),求证：，。；.

2.(•课标全国I)已知函数段)=|2xT|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)当〃=—2时，求不等式y(x)<g(x)的解集；

(2)设°>一1,且当xe-f.{J时，於)Wg(x),求“的取值范围.

3.(•福建)已知函数/)=m-|x-2|,mGR,且(+2)20的解集为

⑴求机的值；

(2)若a,b,cWR-,且；+表+(=m，求证：a+2Z?+3c》9.

4.设a,b,c为正实数，求证：/+/+5+abc》2小.

答案

要点梳理

1.a—b>0a—b=Oa—b<0

2.(\)b<ab<ah<a(2)〃>c(3)a+c>b+c(4)ac>bcac<hc(5)>(6)>

3.WM+\b\(2)\a+b\\a\~\b\\a\+\b\

4.(l){x|一00或无V—〃}

{x|x£R且xWO}R

(2)①一②2c或ax~\~b&—c

5.(2)2a=b正数不小于(即大于或等于)

(3)①尸y大②x=y小

6.(1)2a=h=c不小于

(2)不小于2ai=a2=---=an

8.(\)®a-b>0②|>1(2)充分条件

(4)相反(5)放大或缩小

夯基释疑

1.{x|-l<x<l}2.(-4,-2)U(0,2)

3.14.M〈N5.a>b>c

题型分类•深度剖析

—2x+5,xW2,

例1解(1)当“=—3时，段)=<1，2<x<3,

,2x—5,x23.

当xW2时，由式x)》3得一Zv+523,解得xWl；

当2a<3时，/外23无解；

当x23时，由力>)23得2%—523,解得x24.

所以大x)》3的解集为{x|xWl或x24}.

(2次。W|x-41alx-4|-|x-2|2|x+a|.

当xe[l,2]时，\x-4\-\x-2\^\x+a\

<=>4—x—(2—x)2b+a|o—2—a.

由条件得一2-aWl且2—a，2,即一3WaW0.

故满足条件的。的取值范围为[-3,0].

跟踪训练1解方法一(1)由./(x)W3得|x-a|W3,解得a-3WxWa+3.

又已知不等式於)W3的解集为国一lWx<5},

a-3=—\9

所以"3=5,解得“二Z

(2)当。=2时，兀0=以一2],设g(x)=/㈤+4+5),

—2x—1,x<—3,

于是g(x)=|x-2|+|x+3|="5，-3WxW2,

、2x+1,x>2.

所以当欢一3时，g(x)>5；

当一3这xW2时,g(x)=5；

当x>2时，g(x)>5.

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若«x)+./(x+5)2"2,即g(x)2"对一切实数x恒成立，则加的取值范围为(-8,5].

方法二(1)同方法一.

(2)当〃=2时，J(x)=\x-2\.

设ga)=/u)+yu+5).

由仇一2|+|工+3|2|。一2)-3+3)|=5(当且仅当一3・无在2时等号成立)，得g(x)的最小值为

5.

从而，若«r)+y(x+5)2/w,即g(x)2相对一切实数x恒成立，则，〃的取值范围为(-8,5].

例2证明由于2尤+尸金

由柯西不等式(4仍1+“2岳产<(曷+尾)(房+虎)得

71

(2x+y>W跖产+(g)21(3f+2y2)

4111

<(W+7)X6=N~X6=11,

32o

・，・|2x+y|W*\/TT,.•.2x+yW*\/71.

跟踪训练2解由柯西不等式(32+49(『+卡)2(3工+4y)2,①

4

得25(/+)2)24,所以/+尸2万.

不等式①中当且仅当]时等号成立，f+丁取得最小值,

3上+4y=2,x=25y

由方程组1x_y解得

3=4，8

产西

因此当>=袅寸，r+y2取得最小值，最小值为余.

例3证明(l)Va,b,c£(0,+<«),

a~\~b^2\[ab9b+c^2y[bc,c+a^2\[cat

(卜川-1)《-1)

(Z?+c)(〃+c)(a+b)

abc

与L,=8.

⑵•・・〃，b,ce(o,+8),

.\a+b^2y[ab,b+c^2y[bc9c+a22\[^i,

2(a+b+c)^2-\[ab+2y[bc+2y[ca,

两边同加Q+6+C得

3(a+b+c)^a+b+c+2y[ab+2y[bc+2y[ca

=(W+筋+必产

又a+h+c=1,/.(y/a+yfh+y[c)2^1：3,

.\y]a+y[h+y[c^yf3.

跟踪训练3证明(1)要证〃+6+c，小，

由于mb,c>0,因此只需证明(〃+b+c)223.

即证：储+〃+廿+2(乃+机、+M)，3,

而ab+bc+ca=1,

故需证明：层+庐+/+2(ab+be+cd)23(ab+he+cd).

艮口证：cr+tr+c^^ab+bc+ca.

“2+届庐+/d+次

而这可以由ab+bc+ca^-—+-—+—5—=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成

立)证得.

.•.原不等式成立.

(2)出+忠+/

在(1)中已证a+b+c2本.

因此要证原不等式成立，只需证明六》历+也+,•

即证ay[bc+by/ac+c\/ab^1,

艮口证a\[bc+b\[ac+c\[ab^ab+bc+ca.

而crjbc=ylab-ac^：^^ae,

1—ab-Vbc1—hc+ac

etc'.2，cyJabW—2—•

crjbc+by/ac+c\[ab^ab+bc+ca(a=Z?=c=号■时等号成立).

...原不等式成立.

练出高分

A组

1.解|x+3|+|x—4|W9,

当x<-3时，-x-3—(x-4)W9,

即一4Wx<—3；

当一3WxW4时，x+3-(x-4)=7W9恒成立；

当x>4时，x+3+x—4W9,

即4<xW5.

综上所述，4={R-4WxW5}.

又•.•x=4f+；—6,ZG(O,+°°),

x>4/--—6=—2,当时取等号.

：.B={x\x^-2],

.,.An8={x|-2WxW5}.

2.证明2/-b3-(lab1-a2h)=2a(〃-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-与(a+b)(2a

+b).

因为所以a—b20,a+b>0,2a+b>0,

从而(〃一6)(a+b)(2a+b)N0,即2/—〃，2aB—crh.

3.证明假设a、b、c都不大于0,

即a这0,bWO,cWO,所以〃+b+cWO.

而a+b+c=g-2y+?+

(y2_2z+§+(z2—2x+1)

=(A2—2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+n

22

=(x-1)+(}^—l)+(z—1)2+TT—3.

所以a+Z?+c>0,这与〃+Z?+cWO矛盾，故〃、b、c中至少有一个大于0.

4.证明(1)由次+序22〃6,从+/22bc,H+cPezac得

cr-^b^-^cr^ah+hc+ca.

由题设得(a+b+c)2=1,

即a1+b1+c1+2ah+2hc+2ca=\.

所以3(R?+/?C+CQ)W1,

即ab+bc+ca^：^.

Wb2c2

(2)因为石+力22m—+c^2b,"+a，2c,

〃2於廿

故石+]+£+(〃+〃+c)22(〃+b+c),

〃262/

即X+于小+c.

所哈生源

5.解⑴由口一1|<1得一1<2工一1<1,解得0<x<L

所以M={RO<xvl}.

(2)由(1)和〃，可知0<〃<1,0<〃<1.

所以("+1)—(〃+力=3—1)3—1)>0.

故ab~\~\>a~\-b.

6.解(1)当。=2时，

—21+6,xW2,

共用+仅一4|=，2,2<x<4,

、2x—6,x24.

当x<2时，由“x)24—|x—4|得一2x+624,解得xWl；

当2<x<4时，段)24一|%—4|无解;

当x24时，由y(x)24—|x—4|得2x—624,解得x25；

所以«r)24一仅一4|的解集为{x|xWl或x25}.

(2)记/?。)=/(〃+〃)一%)，

—2a,xWO,

贝〃(x)="4x—2m0VxVa,

2a,x^a.

.〜GF。-1一一。+1

由|/z(x)|W2,解付2WxW“2.

又已知|〃(幻|<2的解集为{犬|1Wx<2},

a~\

T-=1,

,于是4=3.

a+I

{2=2,

B组

1.证明Vn(»+l)>n2,

,,,n(n+1)

Sn>1+2+…+〃=2'

r।；—n+n+l2n+1,1

又yjn(n+l)<豆=-5-=n+/,

S〃<(1+；)+(2+；)+•,,+(〃~\~2)

n(n+1)7:n2+2n(〃+

=-2-+]=2~~<""2-'

当a=~2时，不等式7U)<g(x)化为|2x—l|+|2x—2|—x—3<0.

设函数)，=由一1|+3一2|一1一3,

~5x,x<2，

则y--x-2,拄=1,

、3x—6,x>\,

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x6(0,2)时，y<0,

所以原不等式的解集是口|04<2}.

(2)Va>—1,则一畀,

：.tf(x)=\2x-l\+\2x+a\

—4x+\~aG<-9

=<a+1(一9局

[4x+a-1

当一/g时，j(x)=a+\,

即〃+々%+3在不£—2,，上恒成立.

a4

]+3,即

4-

-

・・・。的取值范围为(3-

-

3.(1)解因为yu+2)=机一㈤，

兀x+2)20等价于国《九

由|x|Wm有解，得小20,且其解集为

｛川一.

又|尢+2)20的解集为［―1,1］,故m=1.

(2)证明由⑴知!+/+*=1，

又。，6,cGR',由柯西不等式得a+2/?+3c=(a+2b

+拜总)1.

iii3H_i~r

4.证明因为m儿c是正实数，由算术一几何平均不等式可得本+3+323弋方令会,

即3+E+*急

1113

所以7+"+/+"历》东+乃仁

而焉+跟》27急abc=2小,

当且仅当a=b=c且出?。=小时，取等号.

所以点+表+3+欣"小.

复习课

提纲挈领复习知识

整合•网络构建］

，对称性a>?>=a

传递性b.}K>C=C>I;

加（减）<JL>F-a-；:>h-i：.a—»£>?>—<,

乘（除）a>b,4:>()=■ar>hr.i〃>b.iVO=〃，Vb(.

不等式的基本性质，工一.、

乘方：a»CQ”>?（〃GN,G2）

开方：">b>0=石>麻区、•，拉2）

相加：<£>h,；>d=a-rrZ>b-rd

相乘：c>£>0,U>06bd

不等式'定理1：J-京》2aMa./<R）（当且仅当a=b时,等号成立）

基本不等式

定理2：十］>J茄（当且仅当〃=方时,等号成立）

不

等产》加（CrER-.当且仅当"=2’时.等号成立）

式

和

绝三个正数的算术一几何平均不等式<推广:生

—・,、“1,“2，…，a“£R—，当且仅当

对

值

/时•等号成立）

不

等

:定理1：a—al+：?）.（当且仅■当a■。时•等号成立）

式

绝对值三角不等式<定理2:a-r.&a-1>—1—；•（当且仅当（g—1,）QL42。时•等号成立）

推论：a—b&a-h&n—h

绝对值不等式<'>“型

.1.'<〃型

,、,,j分区间（分类）讨论法

CJ.T—卜》；：型1

绝对值不等式的解法<一，解法〈数形结合法

a/r十上4；：型

、,.几何法

knl+Lrf型।

.­>—«1+I.T-bWr：型.

警示•易错提醒］

1.不等式性质的两个易错点.

⑴忽略不等式乘法中“大于0”这一条件.

⑵求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误.

2.应用基本不等式求最值的三个注意点.

（1）“一正”：各项或各因数都是正数.

（2）“二定”：积（或和）为定值.

（3）“三等”：等号成立的条件.

3.绝对值不等式的两个注意点.

（1）解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去

掉绝对值符号.

（2）在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，

分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形.

总结归纳专题突破

专题一基本不等式的应用

在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从

题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法.常用的方

法有“加一项、减一项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等.

例1］已知求函数y=,二;的最小值.

X2-2*+2(x-1)

''2x—22(x—1)4.（*T）+占Ri,

当且仅当x-l=±j,即x=2时，等号成立,

所以当x=2时，y有最小值，最小值为1.

归纳升华

1.利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，

“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值,

若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件,

若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值.

2.基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基

本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往

需要拆添项或配凑因式（一般是凑和或积为定值的形式），构造出基本

不等式的形式再进行求解.

1Q—

变式训练］已知x>0,y>0,且;+;=1,求x+y的最小值.

Xy

19

解：法一：因为x>0,j>0,-+-=1,

“y

"学+1022

所以x+y=L(x+y)=g+孤+y)=3

4-10=6+10=16,

y9x19

当且仅当上="，且,+?=1,

xyxy，

所以当x=4,y=12时，x+y有最小值为16.

1Q

法二：因为由1+;=1得(工一1)。-9)=9(定值),

*y

且x>0,j>0,

所以x>l,y>9,

所以x+y=(x—1)4~(y—9)+1022)(x—1)(j—9)+10=16,

x-l=v-9,

当且仅当,、，、时，等号成立,

(X-1)(j—9)=9

所以x+y有最小值为16.

专题二绝对值三角不等式的应用

绝对值三角不等式指的是旧|一网区|。土"W|a|+|b|.这是一类特殊

的不等式,它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关

系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明.

例2］求函数y=|x-2|+|x+5|的最小值.

解：j=|x—2|+|x+5|^|(x—2)—(x+5)