江苏省苏州市工业园区南京航空航天大学苏州附属中学唯亭校区2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

南航苏州附中唯亭校区2024-2025学年第二学期高一年级三月阳光测试数学一、单选题1.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法法则计算．【详解】；；；．故选：B．2.如果函数的图象关于点中心对称，那么的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称中心列方程，解方程即可.详解】由题意得，解得，所以的值可以是.故选：D.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解.【详解】，故选:A．4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】由已知可得，解得，所以，，故.故选：D.5.下列选项中，值为的是（）A.2sinsin B.－cos215°C.＋ D.cos72°·cos36°【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式和辅助角公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，＝＝，故C错误；对于D，＝＝＝，故D正确.故选：D.6.已知函数，下列说法正确的是（）A.若函数周期为4，则B.当时，函数的对称轴为C.若函数在单调，则有最大值2D.若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则【答案】C【解析】【分析】利用周期公式计算可得A错误，再由对称轴方程可判断D错误，由余弦函数单调性计算可得C正确，根据平移规则可判断D错误.【详解】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误；对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误；对于C，当时，，所以，若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确；对于D，先向右平移个单位长度可得，再横坐标变为原来的3倍可得，若能得到函数，可得，此时无解，即D错误.故选：C7.下列命题：①若，则或②的充要条件是且③若，，则；④起点相同的单位向量，终点必相同其中，真命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误；对于②，当时也满足且，故错误；对于③，当时，满足，但不一定成立；对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误.故真命题的个数是0个.故选：A8.已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】解方程得到的零点，然后列不等式求解.【详解】，令，即，则，整理得，因为时函数恰有3个零点，所以，解得，所以正整数的取值可以是5、6.故选：A.二、多选题9.函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（）A.B.C.的零点形成的集合为D.的单调递减区间为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解.【详解】对于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正确；对于B，因为，所以，又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确；对于C，由选项A和B得，令得，，所以，故C错误；对于D，令，解得，所以当时，单调递减，故D正确.故选：ABD.10.下列选项正确的是（）A.若，则B.若．且，则C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断.【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确；对选项B，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故B正确；对选项C，，，故C错误；对选项D，，，故D正确．故选：ABD.11.已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误.【详解】作出函数的图象，如图：令，得或或，由存在实数满足，得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确；由与关于对称，得，B正确；由，得，即，则，整理得，C正确；，由图象得，于是，即，因此，A错误.故选：BCD【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.三、填空题12.在平行四边形中，．设，请用表示_______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算计算.【详解】.故答案为：.13.若，则__________.【答案】##0.28【解析】【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可.【详解】令，则，所以.故答案为：.14.近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒．【答案】①.②.4【解析】【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；（2）解不等式即得.【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，风车转动一圈为秒，则角速度，如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，以为始边，为终边的角不妨取，那么经过（秒）后，运动到点，于是，以为始边，为终边的角为，由三角函数定义知，则，所以.（2）令，所以,所以.当时，，所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.故答案为：；.四、解答题15.已知，且均为锐角.（1）求的值；（2）求的值；（3）求值.【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解.（2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解（3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正切公式即可得解.【小问1详解】由，可得，解得.【小问2详解】.【小问3详解】，因为，所以，又因为均为锐角，所以，而，所以，故，所以，所以.16.已知函数的最小正周期为．（1）求．（2）在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间．【答案】（1）（2）图象见解析，【解析】【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可；（2）利用五点法画图，然后写单调区间即可.【小问1详解】由题意得，又，所以，，则.【小问2详解】因为，所以，列表如下：画出函数在区间上的图象如下：所以图象在上的单调递减区间为.17.已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为．（1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．（2）设，若恒成立，求实数c的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可；（2）利用换元法得到的最大值，即可得到的范围.【小问1详解】,因为为奇函数，所以，解得，又，所以，因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，所以，解得，所以，由题意得，当时，，则，所以的值域为.【小问2详解】，令，则，所以当时，取得最大值，最大值为，因为恒成立，所以，所以的最小值为.18.已知函数,的最小正周期为.(1)求的单调增区间;(2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围;(3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)或;(3)存在,.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简得，再利用周期公式求得的值，从而得到的解析式，再利用整体代入求单调区间；（2）方程;在上有且有一个解,转化为函数与函数只有一个交点；（3）由(1)可知,则；实数满足对任意,都存在,使得成立，即成立，再将问题转化为恒成立问题.【详解】(1)函数∵最小正周期为.∴,∴.那么的解析式令得:∴的单调增区间为.(2)方程;在上有且有一个解,转化为函数与函数只有一个交点.∵,∴因为函数在上增,在上减,且，∴或,所以或.(3)由(1)可知,∴.实数满足对任意,都存,使得成立.即成立令设,那么∵,∴,可得在上恒成立.令,其对称轴，∵上,∴①当时,即,,解得;②当,即时,,解得;③当,即时,,解得;综上可得,存在,可知的取值范围是.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、三角函数的图象、不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.19.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴.（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值.（3）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式；（2）首先求函数，利用函数单调性求参数的取值范围.（3）先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数求参.【小问1详解】由条件