高中数学综合解答题200题（附答案解析）

综合解答题200题

一、解答题

已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三个连续的自然数。如果a,b,c能够作为一个三角形的三边

长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。

2、在五棱锥尸-Z8COE中，PA=AB=AE=2,PB=PE=242,BC=DE=\,NEAB=/ABC=NDEA=9Q°.

(1)求证：应_L平面/8C〃£；

(2)求二面角平面角的余弦值.

3、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底

面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=60°,M为PC的中点.

(1)求证：PA//平面BDM；

(2)求直线AC与平面ADM所成角的正弦值.

4、已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±l处取得极值.(I)求函数f(x)的解析式；(II)求证：对于区间［一

1,1］上任意两个自变量的值xi,xz,都有|f(xj—f(x》IW4；(IH)若过点A(1,m)(mW-2)可作曲线

y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

5、如图，在四棱锥尸中，底面ABCD是正方形，侧棱尸刀上底面ABCD,PD-DC,E是PC的

中点，作即J■尸8交PB于点F；(I)证明产4〃平面EDB；(H)证明PB1平面EFD；

6、

己知数列{%}是等比数列，S“是它的前〃项和，若。2^3=2/，且%与2%的等差中项为:，求

4

7、设集合/={x|f<4},8={x［l<—

x+3

⑴求集合加8；

(2)若不等式2f+ax+6Vo的解集为8求a,6的值.

8、设二次函数=+£的图像过原点，g(x)=ax3+/?x-3(x>0),

/(x),g(x)的导函数为y/(x),g/(x),且r(0)=0/(—1)=-2,/(l)=g(l),1(l)=g/(l).

(1)求函数/(x),g(x)的解析式；

(2)求尸(x)=/(x)-g(x)的极小值；

(3)是否存在实常数左和加，使得/(x)NH+加和g(x)WH+〃?？若存在，求出左和〃?的值；若不存

在，说明理由。

9、设函数g(x)=；x3+；ax2+bx+c(a,beH)的图象经过原点，在其图象上一点P(x,y)处的切线的

斜率记为/(x).

(1)若方程/(x)=0有两个实根分别为-2和4,求/,(X)的表达式；

(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求♦+/的最小值.

10、如图所示，将一矩形花坛4?缪扩建成一个更大的矩形

花坛施卯，要求6点在4万上，。点在AV上，且对角线榔过C点，已知力6=3米，49=2米.

(1)要使矩形4野外’的面积大于32平方米，则&V的长应在什么

范围内？

(2)当"V的长为多少时，矩形花坛4仍¥的面积最小？并求出最小值.

Ng-----------|P

11、已知函数/(x)=上型上(。，0)是奇函数，并且函数/(X)的图像经过点(1,3),(1)求实数

x+b

的值；(2)求函数/(x)的值域。

12、设函数/(X)=-gx3+x2+("?2-l)x,其中加>0

(1)求当〃2=1时，曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线的斜率；

(2)求函数/(X)的单调区间与极值；

(3)已知函数”X)有3个不同的零点，分别为0、占、x2,且可<》2,若对任意的xe[x”X2]，

f(x)>/(I)恒成立，求”，的取值范围.

13、

已知函数/(X)=-/+〃x-lnx(tzGR).

(1)当。=3时，求函数/(x)在；,2上的最大值和最小值;

(2)当函数/(x)在单调时，求a的取值范围；

(3)求函数/(x)既有极大值又有极小值的充要条件。

14、已知〃2、R,向量Q=(x,-m)花=((加+l)x,x)。(1)当m>0时，若⑷<|B|,求X的取值范围;

(2)若。石>1-〃?对任意实数x恒成立，求加的取值范围。

15、

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星

期多卖出商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0WxW30)的平方成正比，已知商品单价降低2

元时，一星期多卖出24件。

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数/'(X)；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

16、

已知向量OP=(2cosx+l,cos2x-sinx+l),(?0=(cosx,-l),f(x)=OPOQ

(1)求函数/(x)最小正周期：

(2)当xe0,1,求函数/(x)的最大值及取得最大值时的x；

17、

已知定义在实数集上的函数/"(力=x''(〃eN"),其导函数记为力(X)，且满足

A(X2)2(X|)

/；[ax,+(l-a)x2]^/,

吃一毛其中为常数，MAX?.设函数

g(x)=(x)+mf2(x)-lnf3(x),(weR且m*0)

(I)求实数a的值；

(H)若函数8(对无极值点，其导函数g'(x)有零点，求”的值；

(山)求函数g*)祗d[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.

18、

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20X元;

③电力与机器保养等费用为戈--30X+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数.

(D把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

(H)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价

2

J-x

为Q(x)(元)，且Q(X)=1240-30.试问生产多少件产品，总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销

售额-总的成本)

19、

、cos2x

/(》)=--——

sin(--x)

已知函数

(I)化简函数/(X)的解析式，并求其定义域和单调区间;

C4

f(a)=一

(II)若3,求sin2a的值.

20、.

设数列｛aJ的前〃项积为T”,已知对Vn,meN+,当〃〉团时，总有3•勺…"《>0是常数).

(1)求证：数列｛%｝是等比数列；

(2)设正整数左，m,n(左<〃?<〃)成等差数列，试比较7；七和区,产的大小，并说明理由；

(3)探究：命题p：”对W〃，加eN+，当〃>〃?时，总有a=工",4"-""'"(q>0是常数)”是命题乙

1m

“数列｛a,J是公比为4(4>0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.

21、

已知函数/'(x)=JJcos?x+gsin2x.

(I)求/(x)的最小正周期;

兀兀

（H）求小）在区间-了7上的最大值和最小值•

22、

已知6/G7?,/（x）=x3-ax2-4x+4〃.

（I）/'（一1）=0,求函数/（x）在区间［-2,2］上的最大值与最小值；

（II）若函数/（%）在区间（-8,一2］和［2,+oo）上都是增函数，求实数a的取值范围.

23、

在某校举办的元旦有奖知识问答中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲回答

311

对这道题的概率是甲、丙两人都回答错的概率是一，乙、丙两人都回答对的概率是一.（I）求乙、

4124

丙两人各自回答对这道题的概率；（II）求甲、乙、丙三人同时回答这道题时至少有一人答错的概率.

24、

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量产（。（单位：吨）与上

市时间/（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线力8C3E表示，销售价格。⑺（单位：元/千克）

与上市时间/（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GM?表示（”为顶点）.

（I）请分别写出关于，的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？

（II）图（1）中由四条线段用性拿线围成的平面区域为“，动点P（x,y）在“内（包括边界），求

z=x-5y的最大值；

（III）由（H）,将动点P（xj）所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如

1《2》-3y03类比为14^63）,试列出P（x/）所满足的条件，并求出相应的最大值.

25、

选修4—5:不等式选讲

已知函数/(x)=|3x-6|-|x-4|.

(1)作出函数y=/(x)的图像；

(2)解不等式|3x-6|—年一4|>2》.

26、

设函数/(x)=x(x—Ip,x>0.

(I)求/(x)的极值；

(II)设0<aWl,记/(x)在(0,同上的最大值为E(a),求函数G(a)=土詈的最小值；

(III)设函数g(x)=lnx—2X2+4X+/•为常数)，若使由外・工+加忘/(%)在(0,+8)上恒成立的实

数〃?有且只有一个，求实数加和f的值.

27、

已知向量加=(2sinx,2cosx),n=(V3cosx,cosx),f{x}=m-n-\

⑴求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；

⑵将函数V=/(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的工，把所得到的图象再向左

2

7FTT

平移一单位，得到函数歹=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间［0,一］上的最小值.

68

28、

已知A48C的面积S满足,且4B-4C=-8.

(I)求角4的取值范围；

(II)若函数/(x)=cos2±-2sin2±+3jisin£・cos±,求/(%)的最大值.

4444

29、

X2v2

己知点片,B分别为椭圆c：=3=1（。>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2

ab"

的距离的最大值为啦+1,且"百工的最大面积为1.

（I）求椭圆C的方程。

（ID点”的坐标为（*,o）,过点B且斜率为％的直线£与椭圆。相交于48两点。对于任意的

4

左€凡忘•赤是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

30、如图，在一段笔直的国道同侧有相距120米的A,C两处，点A,C到国道的距离分别是119米、47

米，拟规划建设一个以AC为对角线的平行四边形ABCD的临时仓库，且四周围墙总长为400米，

根据公路法以及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米.若将临时仓库面积建到最

大，该规划是否符合规定？

B

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在/上的四边形电气线路，如图所示.为

充分利用现有材料，边BC,W用一根5米长的材料弯折而成，边掰，4〃用一根9米长的材料弯折而成,

要求N4和NC互补，且AB=BC.

(1)设/6=x米，cos』=f(x),求/'(x)的解析式，并指出x的取值范围；

(2)求四边形/奥面积的最大值.

(第18题图)

32、如图，N8C。是边长为3的正方形，AFHDE,DE=3AF,8E与平面

/BC。所成角为60°.

(I)求证：4CJ•平面80C；

(II)求二面角F-BE-D的余弦值；

(111)设点M是线段BO上一个动点，试确定点〃的位置，使得4M〃平面8E/，并证明你的结论.

33、如图，三棱柱48C-44G中，平面/8C,。、E分别为4与、4%的中点，点尸在棱上,

S.AF=-AB.

(I)求证：EF//平面8Z)C1；

(II)在棱上是否存在一个点G,使得平面EFG将

三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,若存在，指出

点G的位置；若不存在，说明理由.

34、如图，在三棱柱48C-48c中，44，平面ZBC,/I8=ZC=2&，BC=BB,=4,D,E分别为BC,

83,的中点，点〃在棱8G上，且与与G.

(I)求证：平面ACE1平面AQD；

(II)若尸是侧面/8与4上的动点，且W〃平面/CQ.

(i)求证：动点尸的轨迹是一条线段；

(ii)求直线/尸与平面/CQ所成角的正弦值的取值范围.

35、

某日学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表

所示：

月份X12345

y(万盒)44566

(I)该同学为了求出V关于x的线性回归方程夕=公+&,根据表中数据己经正确计算出8=0.6,试

求出4的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；

(II)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从

中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记

小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为求J的分布列和数学期望.

36、若数列｛叫满足匕।=d,其中3为常数，则称数列｛%｝为等方差数列

已知等方差数列｛”“｝满足a„＞0吗=1,%=3。

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)记〃=〃屋，则当实数人大于4时，不等式屹＞〃(4-幻+4能否对于一切的〃eN*恒成立？请说

明理由

37、已知一条曲线C在丁轴右边，C上每一点到点F(l,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1,

(1)求曲线C的方程。

(2)是否存在正数加，对于过点M(加,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有成E而＜0?

若存在，求出加的取值范围，若不存在，请说明理由.

1

38、(1)已知二阶矩阵〃有特征值2=3及对应的一个特征向量4=],并且矩阵"对应的变换将点(-1,2)

变换成(9,15).求矩阵3

(2)已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若曲线C1的极坐标方程为：p=2sin6,曲线C?的

x=2cos0

参数方程为：26(e为参数)，曲线C1与C?交于M,N两点，求M,N两点间的距离.

y=---sinO

I3

(3)不等式++闫2x|+|x-l|对任意实数t恒成立，试求实数x的取值范围.

39、已知数列｛%｝中，q=l,a〃4+|=(g)",(〃eN*)

(1)求证：数列｛g.｝与｛的“-1｝(〃6N*)都是等比数列；

(2)若数列｛4｝前2〃的和为《,,，令々,=(3-邑)・〃・(〃+1),求数列也,｝的最大项.

40、

已知函数/(x)=73sinxcos(x+~)+~-

(I)求函数/(x)的单调递增区间；

(II)己知A48C中，角4民C所对的边长分别为〃，“c,若/(Z)=0,

a=®b=2,求A48C的面积S.

41、

工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相

同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否

合格都将报废.记4表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量.

(I)求报废的合格品少于两件的概率；

(II)求4的分布列和数学期望.

42、

22

已知椭圆。：=+占=1(。>6>0)的离心率为一，其左、右焦点分别为大、尺，点尸是椭圆上一

a~b2

点，且丽・丽=0,|。。|=1(。为坐标原点).

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点S(0,-g)且斜率为人的动直线/交椭圆于48两点，在夕轴上是否存在定点用，使以45

为直径的圆恒过这个点?若存在，求出〃的坐标，若不存在，说明理由.

43、

如图，矩形/BCD中，AB=3,BC=4.E,尸分别在线段SC和2。上，EF//AB,将矩形

4BEF沿EF折起.记折起后的矩形为广，且平面MNEF，平面EC。/7..

(I)求证：NC〃平面"EQ；U

(II)若EC=3,求证：ND1FC；/7s

(川)求四面体NPEC体积的最大值./：

44、如图，从点片(0,0)做x轴的垂线交曲线y=，于点。(0,1),曲线在Q,点处的切线与x轴交于点P2,

再从写做x轴的垂线交曲线于点2,依次重复上述过程得到一系列点：8，。；。2，。2……；匕，2,记P.

(x„,0),Q.(x”,e“")(〃eN*).

(I)求点Q处的切线方程，并指出x“+i与七的关系；

(n)求山0+区匈+忸2|+…+帜@

45、

19.(本题共M分)已知等差数列(%)的公差大于。，且g.%是方程N-14x+45=0的

两根,数列的前n项的和为S*,且2=号(»€?/).

(I)求数列(%).0J的通项公式，

(H)记%=4勾,求致列｛cj的前"项和7；.

46、已知函数/(x)==-------

厂一OX+Q

(1)当0KaK4时;试判断函数/(x)的单调性；

(2)当a=0时，对于任意的xe(l,f],恒有犷⑴一力⑺2/⑴-/。)，求/的最大值.

47、已知数列｛4｝,%=a,且/r+2a„=2"i(〃eN*),

(1)若囚,成等差数列，求实数。的值；(2)数列｛%｝能为等比数列吗？若能,

试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由。

48、如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2。的正方形，周围是四个全等的弓形。己知O

为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分,

OG的延长线交弧AD于点H。设弧AD的长为/,(1)求/关于。的函数关系

44

式；(2)定义比值—OP为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。证明：当角6满足：

TC

，=tan（"R时,招贴画最优美。

49、已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，满足8s“=a『+4a“+3（〃eN*）,且％依

次是等比数列也,｝的前三项。（1）求数列｛4｝及｛〃｝的通项公式；（2）是否存在常数a>0且awl,使

得数列｛%-1。8.4｝（〃€"*）是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

50、

国家教育部、体育总局和共青团中央曾共同号召，在全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万

大中小学生阳光体育运动为此某网站于2010年1月18日至24日，在全国范围内进行了持续一周的在线

调查，随机抽取其中200名大中小学生的调查情况，就每天的睡眠时间分组整理如下表所示：

每天睡眠组中值频率

序号（i）时间频数

（叫）"）

（小时）

—

1[4,5)4.580.04/看入"/

2[5,6)5.5520.26

3[6,7)6.5600.30

4[7,8)7.5560.28

5[8,9)8.5200.10

6[9,10)9.540.02

/输入s/

二^比约是多少？

（I）估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分

(II)该网站利用右边的算法流程图，对样本数据作进一步统计分析，求输出的S的值，并说明S的

统计意义。

51、

已知椭圆C:—+/=1(«>0)的右顶点为A，上顶点为8,直线y=/与椭圆交于不同的两点E,F,

a

若。(x,y)是以EE为直径的圆上的点，当，变化时，。点的纵坐标y的最大值为2.

(I)求椭圆C的方程；

(H)竺(0,痣)且斜率左为的直线/与椭圆。交于不同的两点尸,。，是否存在左，使得向量

而+而与方共线？若存在，试求出左的值；若不存在，请说明理由.

52、已知曲线G：5-+—=1与曲线G：歹=一一1,设点尸J。)(汽>0)是曲线G上任意一点，

直线学+x0x=l与曲线G交于/、8两点.

(1)判断直线与+x0x=l与曲线G的位置关系：

(2)以4、8两点为切点分别作曲线。2的切线，设两切线的交点为〃，求证：点用到直线人：

2x-y-2=0与乙：2x+y+2=0距离的乘积为定值.

53、

13

已知椭圆。的对称中心为原点O,焦点在x轴上，离心率6=5,且点(1,5)在该椭圆上;

(I)求椭圆C的方程;

672

(H)过椭圆C的左焦点片的直线/与椭圆C相交于N,B两点,若A4QB的面积为〒，求圆

心在原点，且与直线/相切的圆的方程.

54、

已知数列｛%｝满足%=3,an+x-3a,,=3"(〃eN*),数列也｝满足“喙；

(I)求证：数列血,｝是等差数列；

(II)设s,,=3+粤+&+…+4,求满足不等式上＜工＜：的所有正整数〃的值.

345n+2128S2n4

55、

已知函数/(x)=(x+l)*,(左为常数，%H0).

(I)当左=1时，求函数/(X)的极值；

(II)求函数/(X)的单调区间.

56、

如图：已知在空间四边形力38中，AB=AC=DB=DC,E为8C的中点.

（I）求证：平面NOE±平面45C；

（II）若力8=5,BC=6,4,求几何体力8c。的体积；

（III）在（H）的条件下，若G为VNa）的重心，试问在线段8C上是否存在点尸，使GF〃平面NOE?

若存在，请指出点尸在8c上的位置，若不存在，请说明理由.

57、

在某次测验中，有5位同学的平均成绩为80分，用当表示编号

为〃（〃=1,2,3,4,5）的同学所得成绩，且前4位同学的成绩如下:

编号“1234

81798078

成绩

（I）求第5位同学的成绩X5及这5位同学成绩的标准差；

2

（注：标准差S=/一［（玉-x）2+（々-x）2H---F（xn-X）J,其中X为XI,X2…X”的平均数）

（II）从这5位同学中，随机地选3名同学，求恰有2位同学的成绩在80（含80）分以上的概率.

58、

对于给定数列｛g｝,如果存在实常数?均使得c.+i=pc“+q对于任意〃eN*都成立，我们称数列

｛c“｝是“K类数列”.

(I)若%=2〃，(=32,nwN*,数列｛%｝、｛4｝是否为“K类数列”?若是，指出它对应的

实常数,若不是，请说明理由；

(II)证明：若数列｛%｝是“K类数列”，则数列｛%+a.+i)也是“K类数列”；

(III)若数列｛氏｝满足q=2,a“+a,+|=3f-2"(〃eN"),，为常数.求数列｛4｝前2012项的和.并

判断｛a,J是否为"K类数列”，说明理由.

59、

甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：

甲乙

18

600244

230

(I)求乙球员得分的平均数和方差；

(II)分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率.

(注：方差s2=U(x「a+(x2—a+…+(居一三丹

n

其中尤为玉，…%的平均数)

60、分别以双曲线G:土一匕=1的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C。

169

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点P的坐标为(0,3),在y轴上是否存在定点M,过点M且斜率为k的动直线/交椭圆于A、

B两点，使以AB为直径的圆恒过点P,若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

61、甲乙两个学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区六校

联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分

布统计表如下：

甲校：分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

频数34815

分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

乙校：

频数130,80)£80,90)390,100)2100,110)

频数1289

(I)计分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]算x，y

的值。

频数1010y

~71六

(II)若'「1乂J仪后、1规定

考试成绩在［120,150］内为优秀，请分别估计两个学校数学成优秀绩的

优秀率。

非优秀

由以卜编注和抿埴与右而2X2利摩夫.并判断恳否有90%

的把握认为两个学校的数学成绩有差异。总il-

参考数据与公式:

2

由列联表中数据计算长2=n(ad-be)

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表

P(K>k0)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

62、如图,正方形N5CD所在的平面与ACQE所在的

平面相交于CD,AE±平面CDE，且4E=3,48=6.

(1)求证：Z8_L平面

⑵求点£到正方形/8CD所在平面的距离；

(3)求多面体/8C0E的体积.

E

D

BC

63、

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该

数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.

(I)若数列｛4｝既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；

(II)已知数列｛%｝是首项为2,公方差为2的等方差数列，数列｛〃｝的前〃项和为S”，且满足

a,,1=2n+'b„.若不等式＞加对V〃eN*恒成立，求机的取值范围.

64、某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游

线路.

(1)求甲,乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率.

(2)某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览,20分钟后游览结束即离

去.求两个旅游团在该著名景点相遇的概率.

65、

2011年3月20日，第19个世界水日，主题是：“城市水资源管理”；2011年“六・五”世界环境日中

国主题：“共建生态文明，共享绿色未来”.活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况，随机对10〜

60岁的人群抽查了〃人，调查的每个人都同时回答了两个问题，统计结果如下：

(I)世界环境日中国主题世界力k日主题若以表中

的频率近回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率似看作各

年龄段回[10,20)30a300.5答活动主

题正确的概率，规定

[20,30)480.8300.5

回答正确世界环境

[30,40)360.6480.8

日中国主题的得20

[40,50)200.524b

元奖励，回答正确世

[50,60]120.6100.5

界水日主题的得30

元奖励.组织者随机请一个家庭中的两名成员(大人42岁，孩子16岁)回答这两个主题，两个主题能否

回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；

(II)求该家庭获得奖励为50元的概率.

66、设”是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换.

(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；

v.22

(2)求逆矩阵"T以及椭圆一+工=1在"T的作用下的新曲线的方程.

49

67、

已知函数/(x)是定义在［—e,O)U(O,e］上的奇函数，当xe(0,e］时，/(x)=ax+Inx(其中e是

自然对数的底数，a&R).

(1)求/(x)的解析式；

(2)设a=-l,g(x)=----,求证:当xc(O,e］时，/(x)<g(x)+L恒成立；

x2

(3)是否存在负数。，使得当xw(O,e］时，/(x)的最大值是一3?如果存在，求出实数a的值；如

果不存在，请说明理由.

68、

数列｛a｝满足：

"q+(〃-1)42+~+2《1+%=(4]+…+4+1"=1,2,3,…，).

(1)求％的通项公式；

(2)若”=-("+Da”,试问是否存在正整数左，使得对于任意的正整数"，都有成立？证

明你的结论.

69、

如图一，平面四边形48C。关于直线NC对称，4=60。,/。=90。，。=2.

把沿8。折起(如图二)，使二面角力一8。-。的余弦值等于半.对于图二，完成以下各小题:

(1)求4,。两点间的距离；

(2)证明：NC_L平面8C。；

(3)求直线力C与平面480所成角的正弦值.

A

D

70、

已知向量m=(sin/,；)与〃=(3,sin/+Jicos/)共线，其中A是A48C的内角。

(1)求角A的大小；

(2)若BC=2,求A48c面积S的最大值.

71、已知函数/(x)=log(I(x+l)-log(;(l-x)(a>0且aWl).

(1)求/(x)的定义域；

(2)判断/(x)的奇偶性并予以证明:

72、已知函数/(》)=/一2奴+3/-1(。>0,0M》41),求/(x)的最大值和最小值.

73、

已知等比数列｛%｝的公比为q,S”是｛q,｝的前〃项和。

⑴若q=l,q>\,求lim巴■的值；

…sn

⑵若卬=1,|7|<1.S“有无最值？并说明理由。

⑶设4=；,若首项《和£都是正整数，，满足不等式：|，-63|<62,且对于任意正整数〃有9<S“<12

成立，问：这样的数列｛%｝有几个？

74、

叙述双曲线的定义，并建立适当的直角坐标系推导其标准方程.

75、已知/(%)=。区,其中向量a=(2cosx,-J5sin2x),b—(cosx,l)(x£R)

(I)求f(x)的周期和单调递减区间；

(II)在4ABC中，角A、B、C的对边分别为,/(4)=-1,a=币,AB»AC=3,求边

长b和c的值(b>c)。

76、已知数列｛/(〃)｝的前〃项和为S“，且S“=〃2+2〃.

(I)求数列｛/(〃)｝通项公式；

(II)若q=/(l),%+1='/'(a“)(〃eN*),求证数列｛a“+l｝是等比数列，并求数列｛q｝的前"项

和小

77、已知tan。=2

.71八、

⑴求tan(--^)的值;

(2)求cos2夕的值.

78、已知数列｛a；｝为等比数列，a3=18,a6=486,对于满足OWkvlO的整数k,数列bib,……b",由

[a.(1<n<10-Z:)

b„确定，且记T=ab+a2b2+…+aiobio.

U…(10-左

(1)求数列伯口的通项公式；

(2)当k=3时,求产一二3辂一芸的值

79、已知AABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量加二(。,6),

〃二(sin5,sin/),0=(6-2,。-2).(1)若用〃〃，求证：AABC为等腰三角形;

一—兀

(2)若加_L夕，边长c=2,角C=，求AABC的面积.

3

80、

已知MP22)是给定的某个正整数，数列｛%｝满足：％=1,(攵+1)4+|=p6—p)%，其中

左=1,2,3,…，。-1.

(I)设。=4,求出,。3，。4；

(II)求q+a,+%+…+a「.

81、

口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球,

就停止取球，记取球的次数为X.

(I)若取到红球再放回，求X不大于2的概率；

(II)若取出的红球不放回，求X的概率分布与数学期望.

-14

82、求矩阵/=./的特征值和特征向量.

26

83、

已知函数/(x)=xlnx.

(I)求函数/(x)的单调递减区间；

(II)若/(》)？-》2+办一6在(0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围;

(III)过点4(一e二,。)作函数y=/(x)图像的切线，求切线方程.

84、A题

如图，NP4。是直角，圆0与AP相切于点T,与AQ相交于两点B,C«求证：BT平分NO氏4

cos(X-sina

B题若点A(2,2)在矩阵"=.对应变换的作用下得到的点为B(-2,2),求矩

sinacosa

阵M的逆矩阵

C题在极坐标系中,A为曲线p?+2pcose-3=0上的动点,B为直线pcose+psin6-7=0上的动点,

求AB的最小值。

。题

已知％,名…%,都是正数，且外…％=1，求证：(2+a,)(2+a2)•••(2+an)>3"

85、

设数列｛%｝的前n项和为S“，己知5日=?邑+4(0国为常数，〃6”)，eg%=2g=L%=q-3P

(1)求P,q的值；

(2)求数列｛4｝的通项公式；

S加2〃

(3)是否存在正整数m,n,使.匚〃-〈寸二成立?若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m,

2m+l

n)；若不存在，说明理由。

86、

现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利

用率为100%,不考虑焊接处损失。如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面,

用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3)

(1)求出x与y的关系式；

(2)求该铁皮盒体积V的最大值；

87、

33、

已知矩阵/=,若矩阵/属于特征值6的一个特征向量为a=,属于特征值1的一个特