广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

2024—2025学年度高一年级3月联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】利用扇形的面积公式结合给定条件求解半径即可.【详解】设该扇形的半径为，因为某扇形的面积为，圆心角为，所以，解得，故C正确.故选：C2.设命题，函数为奇函数，则：A.，函数为偶函数B.，函数为偶函数C.，函数不为奇函数D.，函数不为奇函数【答案】D【解析】【分析】利用的定义求解即可.【详解】若命题，函数为奇函数，则为，函数不为奇函数，故D正确.故选：D3.已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的模长公式求出模长，数量积的坐标表示求出数量积，再利用夹角公式并结合夹角的范围求解夹角即可.【详解】因为，所以，由向量模长公式得，，由向量夹角公式得，因为，所以，故A正确.故选：A4.已知锐角满足．则（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式对给定条件化简，再结合换元法求解即可.【详解】因为，所以，因为是锐角，所以，令，则，解得或，当时，不符合题意，故舍去，当时，符合题意，故B正确.故选：B5.已知函数的值域为，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质建立方程得到，再结合得到，最后再求解目标式的值即可.【详解】因为，所以，则，因为函数的值域为，所以，此时，因为，所以，解得，则，故C正确.故选：C6.记的内角的对边分别为．已知，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可.【详解】因为，所以，则，即，得到，即，则，即，由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确.故选：B7.已知某种计算机程序处理数据量为的数据时，处理时间为（单位：），其中均为常数．当时，；当时，，则约为（）（附：）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【答案】C【解析】【分析】利用给定数据代入公式得到，再代入到中结合参考数据求出结果即可.【详解】由题意得当时，，将其代入公式得到，而当时，，将其代入公式得到，两个式子作比得，化简得，因为，所以，解得，则代入可得，因为，所以，故C正确.故选：C8.已知平面向量满足，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明，再给出的例子，即可得到的最小值为.【详解】①由于，故所以.这就得到，故.②另一方面，对，，，原条件全部满足，此时.综合①②两方面，可知的最小值为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设计一款平面游戏，玩家可以控制角色以或的方向运动，角色会沿该方向自发前进．角色活动区域在一块正方形区域内，将角色视为一点，每当角色触碰到正方形区域边缘时便会沿反方向按原路返回，已知角色可以运动到正方形区域内的任一位置，若修改玩家控制角色时的运动方向，则修改后角色依然可以运动到正方形区域内的任一位置的方向有（）A.和的方向 B.和的方向C.和的方向 D.和的方向【答案】AD【解析】【分析】根据题意，符合条件的两个方向相反即可，再结合共线向量的基本定理判断即可.【详解】根据题意，符合条件的两个方向相反即可，对于A选项，因为，故和的方向相反，A满足条件；对于B选项，设与共线，则存在，使得，可得，则、共线，矛盾，故与不一定共线，B不满足条件；对于C选项，设和共线，则存在，使得，所以，，则、共线，矛盾，故和不一定共线，C不满足条件；对于D选项，因为，所以，和的方向相反，D满足条件.故选：AD.10.已知函数，则（）A.的定义域为 B.为奇函数C.在内单调递减 D.【答案】AD【解析】【分析】令分母不为解出定义域判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，举反例判断C，利用函数的运算性质判断D即可.【详解】对于A，令，解得，则的定义域为，故A正确，对于B，因为，所以，得到为偶函数，故B错误，对于C，因，，所以，则在内不可能单调递减，故C错误，对于D，因为，所以，，则，故D正确.故选：AD11.记的内角、、的对边分别为、、．已知，则（）A.B.CD.若、、均为正整数，则周长的最小值为【答案】BC【解析】【分析】求出角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可判断A选项；利用正弦定理化简得出，求出的范围，可判断B选项；由，可得出，再利用余弦定理可判断C选项；分析得出，对的取值进行分类讨论，结合确定的取值，列出关于、的方程组，解出、的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，在中，由，解得，所以，，A错；对于B选项，，则，故，B对；对于C选项，由B选项可知，，所以，，由余弦定理可得，故，C对；对于D选项，由C选项可知，，可得，所以，，因为，则，可得，因为、、均为正整数，且，即，则，①当时，则，此时，整数不存在；②当时，则，所以，整数，则，可得，由，解得，，此时，；③当时，则，则整数，则，可得，由，解得，不合乎题意；④当时，则，则或，若，则，可得，由，解得，，此时，；若，则，可得，由，解得，不合乎题意；⑤当时，，则或，若，则，可得，由，解得，不合乎题意；若，则，可得，由，解得，不合乎题意；⑥当时，由，则，，此时，，即，此时，.综上所述，若、、均为正整数，则周长的最小值为，D错.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数在定义域内单调递增，则___________．【答案】##【解析】【分析】利用幂函数的性质建立方程求解参数，再结合幂函数的单调性取舍即可.【详解】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，解得或，当时，，由幂函数性质得在定义域内单调递减，不符合题意，当时，，由幂函数性质得在定义域内单调递增，符合题意.故答案为：13.已知平面向量，，且，则的最小值为_______．【答案】##【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示可得出，即可得出，考查，结合基本不等式可求得的最小值.【详解】因为平面向量，，且，则，即，所以，，若取最小值，必有，此时，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故当时，，故的最小值为.故答案为：.14.在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为___________．【答案】##0.5【解析】【分析】分析题干可知当最大且最小时，取得最小值，由此可算得答案.【详解】由题意可知当最大且最小时，最小，因为，所以最大为，此时，且此时最小为，此时，若，则且，此时，故的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知为一组基底向量，其中．（1）探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由；（2）若与共线，求的值．【答案】（1）共线，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数关系即可.（2）利用给定条件结合不共线建立方程组，求解参数即可.【小问1详解】因为，所以由平面向量的加法法则得，因，所以，即，故三点共线.【小问2详解】若与共线，则，得到，而为一组基底向量，则不共线，得到，解得或.16.记的内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.【小问1详解】在中，由正弦定理及，得，又在中，，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】在中，由余弦定理可知，又∵，∴，解得或（舍去），故面积为.17.已知函数．（1）用定义法证明在上的单调性；（2）若函数，且在区间上的最小值为，求．【答案】（1）证明见详解；（2）或．【解析】【分析】（1）任取且，然后利用作差法比较的大小即可判断函数的单调性；（2）由已知，对的取值进行分类讨论，结合复合函数的单调性，判断函数的最小值，得到关于的方程，解出即可.【小问1详解】在上单调递减，证明如下：任取且，所以，，，则，所以，即，所以在上单调递减.【小问2详解】当时，在上单调递减，由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以时，函数取得最小值，即，解得；当时，在上单调递增，由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以时，函数取得最小值，即，解得；综上所述，在区间上的最小值为，则的取值为或．18.如图，已知半径为2扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．（1）求的取值范围；（2）当为的中点时，用表示；（3）若，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可.（2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可.（3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可.【小问1详解】如图，设，连接，而，因为，故，所以的取值范围为．【小问2详解】因为为的中点，所以，由平面向量加法法则得，则在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，得到，故，将代入，得．【小问3详解】因为，，所以，又由（2）知，故，则，因为，所以当且仅当时，取得最大值1，故的最大值为．19.已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，设，若对于任意的，均有，则称是等和积函数．（1）若是等和积函数；（i）证明：；（ii）证明：；（2）若是等和积函数，证明：函数在上至少有1350个零点．【答案】（1）（i）证明见详解；（ii）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）（i）由是等和积函数，得，即可判断；（ii）由（i）代换可得，两式相减，化简可证；（2）利用，求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在上至少有一个解，结合