浙江专用2025版高考数学新增分大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1空间几何体的结构三视图和直观图讲义含解析

PAGEPAGE16§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.了解简洁组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3.了解三视图和直观图间的关系，驾驭三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查依据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征有两个面相互平行且全等，其余各面都是平行四边形．每相邻两个四边形的公共边都相互平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不肯定相等延长线交于一点侧面形态平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面绽开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.概念方法微思索1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示不肯定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．什么是三视图？怎样画三视图？提示光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．(√)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(6)菱形的直观图仍是菱形．(×)题组二教材改编2．[P19T2]下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍旧相等B．相等的线段在直观图中仍旧相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍旧平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能变更，而线段的平行关系不变．3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写全部正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案A解析由三视图学问知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形．5．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()答案C解析此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.6．(2024·浙江诸暨中学期中)边长为2eq\r(2)的正方形，其水平放置的直观图的面积为()A.eq\f(\r(2),4)B．1C．2eq\r(2)D．8答案C解析正方形的边长为2eq\r(2)，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系为eq\f(S直观图,S原图)＝eq\f(\r(2),4)，故直观图的面积为8×eq\f(\r(2),4)＝2eq\r(2).7．(2024·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3D．2答案B解析先画出圆柱的直观图，依据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面绽开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．|ON|＝eq\f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，∴|MN|＝eq\r(|OM|2＋|ON|2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故选B.题型一空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，依据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二简洁几何体的三视图命题点1已知几何体识别三视图例1(2024·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.命题点2已知三视图，推断简洁几何体的形态例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱答案B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．命题点3已知三视图中的两个视图，推断第三个视图例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不行能是该锥体的俯视图的是()答案C解析A，B，D选项满意三视图作法规则，C不满意三视图作法规则中的宽相等，故C不行能是该锥体的俯视图．思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)留意视察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．(2)还原几何体．要熟识柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先揣测，还原，再推断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．跟踪训练1(1)(2024·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A．①② B．①④C．②③ D．②④答案B解析P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.(2)(2024·宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为eq\f(8,3)，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P—ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C.题型三空间几何体的直观图例4已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案eq\f(\r(2),2)解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图．因为OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线．跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A．2＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．8＋4eq\r(2)答案D解析由已知直观图依据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为eq\f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq\r(2)，故选D.1．在一个密闭透亮的圆柱筒内装肯定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形态不行能是()A．圆面 B．矩形面C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形态不行能是梯形面，故选C.2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起协助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析正视图应当是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应当是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应当是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.3．用随意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体肯定是()A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案C解析截面是随意的且都是圆面，则该几何体为球体．4．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不行能是()答案C解析若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不行能为C，故选C.5．(2024·丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是()答案B解析从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线．故选B.6．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图明显不符合要求，故选D.7．(2024·台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为()A．18eq\r(6) B．18eq\r(3)C．18eq\r(2) D.eq\f(27,2)eq\r(2)答案C解析设侧视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3eq\r(2).所以侧视图的面积为S＝3eq\r(2)×6＝18eq\r(2).故选C.8．用一个平面去截正方体，则截面不行能是()A．直角三角形 B．等边三角形C．正方形 D．正六边形答案A解析用一个平面去截正方体，则截面的状况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不行能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不行能是直角梯形；③截面为五边形时，不行能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．9．(2024·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C．3D．2eq\r(3)答案C解析在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1—MNB1，故通过计算可得D1B1＝2eq\r(2)，D1M＝B1N＝eq\r(5)，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．答案2eq\r(2)解析因为直观图的面积是原图形面积的eq\f(\r(2),4)倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2eq\r(2).11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案1解析如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是eq\f(1,2)a2，故面积的比值为1.12．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，依据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不肯定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由题意可以推断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14.我国古代数学家刘徽在学术探讨中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证明自己的揣测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻