绵阳市高中第一次诊断考试数学试题

绵阳市高中第一次诊断考试数学试题一、选择题。1．设复数=1-，则复数1+在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设随机变量～N（μ，1），若不等式-≥0对任意实数都成立，且p（>a）=，刚μ的值为A．0B．1C．2D．3χ+χ+（χ≠0）0（χ=0）3.已知=则下列结论成立的是A．在=0处连续B．=2C．=0D．=04．若曲线=++1在=1处的切线与直线2++1=0平行，则实数的值等于A．-2B．-1C．1D．25．等比数列中，已知=1，则1g+1g的值等于A．-2B．-1C．0D．26．函数=（≥2）的值域为A．≠1且B．＜≤2C．＜＜2D．≤27．设集合A=＞1，≤0，B=＞1，若AB，则实数的取值范围是A．[-1，0]B．[-1，0]C．（-1，0）D．（-，-1）8．某班有男生30人，女生20人，从中任选5名同志组成城市绿色交通协管服务队，那么按性别分层抽样组成这个绿色服务队的概率为A．B．C．D．9．设数列：1，1+，1++，……，1+++……+，……的前项和为，则（-2）的值为A．2B．0C．1D．-2-2ax(χ≤1)loga2χ（＞1）10．设函数（其中＞0且≠1），若=-，则值为-2ax(χ≤1)loga2χ（＞1）A．1B．C．3D．11．给出下列命题：①设是定义在（-，）（＞0）上的偶函数，且（0）存在，则（0）=0.②设函数是定义的R上的可导函数，则函数.的导函数为偶函数.③方程=2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根.A．①②③B．①②C．②③D．①③12．函数=的最小值与最大值之和为A．4B．3C．2D．1二、填空题13．函数的反函数为。14．若函数=.在R上单调递增，则实数的取值范围是。15．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩（5分制），统计如下表，则这100人成绩的方差为。成绩（分）543210人数502510100516．下列命题中，正确的是。（写出所有正确命题的序号）①在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5。②设是等比数列的前项和，则公比是数列，，成等差数列的充分不必要条件。③若数列满足=2，，则。④在数列中，若，都是正整数，且=，，4，5，…，则称为“绝对差数列”，若一个数列为“绝对差数列”，则此数列中必含有为零的项。三、解答题17．已知数列的前n项和为Sn＝2n+1―n―2，集合A＝，B＝。求：（1）数列的通项公式；（2）A∩B18．设集合M＝，N＝，现从集合A中随机抽取一个数a，从集合B中随机抽取一个数b.（1）计算a≥1或b≥1的概率；（2）令=a·b，求随机变量的概率分布和期望。19．设f（）=+2.（1）求f（χ）的表达式。（2）设函数g(χ)=aχ-+f(χ),则是否存在实数a，使得g（χ）为奇函数？说明理由；χeax（0＜χ＜1）χeax（0＜χ＜1）2χ+1（χ≥1）20.定义在（0，+∞）上的函数f(χ)=（其中e为自然对数的底数）。（1）若函数f(χ)在χ=1处连续，求实数a的值。（2）设数列的各项均大于1，且an+1=f（2an-1）-1，a1=m，求数列的通项公式。21．已知数列的前n项和为Sn，a1=1，（Sn-1）an-1=Sn-1an-1(n≥)（1）求数列的通项公式；（2）设bn=an2，数列的前n项和为Tn，试比较Tn与2-的大小；（3）若＞-+loga（2a-1）（其中a＞0且a≠1）对任意正整数n都成立，求实数a的取值范围。22．设函数f(χ)=aχ-ln（χ+1）a+1（χ＞-1，a∈R）（1）设a＞0，χ＞0，求证：f(χ)＞-χ；（2）求f（χ）的单调递增区间；（3）求证：（n为正整数）。高中2011级第一次诊断性考试数学（文科）参考解答及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DABBCBACDCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．f-1(x)=e2x（x∈R）14．≤a≤15．1.816．①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（1）频数4，频率0.27；………………6分如图所示为样本频率分布条形图．…10分（2）∵0.17+0.27=0.44，∴任意抽取一件产品，估计它是一级品或二级品的概率为0.44．……………12分频率频率一级品二级品三级品次品产品等级0.20.118．（1）∵数列{an}的前n项和为Sn=2n+1－n－2，∴a1=S1=21+1－1－2=1．……1分当n≥2时，有an=Sn－Sn-1=（2n+1－n－2）－[2n－（n－1）－2]=2n－1．……4分又∵n=1时，也满足an=2n－1，∴数列{an}的通项公式为an=2n－1（n∈N*）．……6分（2）∵，x、y∈N*，∴1+x=1，2，3，6，于是x=0，1，2，5，而x∈N*，∴B={1，2，5}．……9分∵A={1，3，7，15，…，2n－1}，∴A∩B={1}．………………12分19．（1）∵=，∴（x＞0）．……………3分（2）∵g（x）=ax2+2x的定义域为（0，+∞）．∵g（1）=2+a，g（－1）不存在，∴g（1）≠－g（－1），∴不存在实数a使得g（x）为奇函数．……5分（3）∵f（x）－x＞2，∴f（x）－x－2＞0，即+x－2＞0，有x3－2x2+1＞0，于是（x3－x2）－（x2－1）＞0，∴x2（x－1）－（x－1）（x+1）＞0，∴（x－1）（x2－x－1）＞0，∴（x－1）（x－）（x－）＞0，∴结合x＞0得0＜x＜1或．因此原不等式的解集为{x｜0＜x＜1或．……12分20．（1）∵f（1）=0，∴9+3a=0，∴a=－3．………………4分（2）f（x）=（3x）2+a·3x．令3x=t，则1≤t≤3，g（t）=t2+at，对称轴t=．……6分i）当1≤－≤3，即－6≤a≤－2时，y(t)｜min=g(－)=，此时．ii）当－＞3，即a＜－6时，g(t)在[1，3]上单调递减，∴g(t)｜min=g（3）=3a+9，此时x=1．…10分综上所述，当a＜－6时，f（x）｜min=3a+9；当－6≤a≤－2时，f（x）｜min=．……12分21．（1），∴f′(x)=3x2－x－2，由f′(x)＞0得或x＞1，∴增区间为，（1，+∞），减区间为．……4分（2）f′(x)=3x2－2x－2=0，得x=（舍去），x=1．又f(0)=5，f(1)=，f(2)=7，所以f(x)｜max=7，得k＞7．……8分（3）f′(x)=3x2－2mx－2，其图象恒过定点（0，－2），由此可知，3x2－2mx－2=0必有一正根和一负根，只需要求正根在（0，1）上，∴f′(0)·f′(1)＜0，∴m＜．……12分22．（1）∵（Sn－1）an－1=Sn－1an－1－an，∴（Sn－Sn－1－1）an－1=－an，即anan－1－an－1+an=0．∵an≠0，若不然，则an－1=0，从而与a1=1矛盾，∴anan－1≠0，∴anan－1－an－1+an=0两边同除以anan－1，得（n≥2）．又，∴{}是以1为首项，1为公差为等差数列，则，．……4分（2）∵bn=an2=，∴当n=1时，Tn=；……………5分当n≥2时，．……8分（3），∴．设g（n）=，∴，∴g(n)为增函数，从而g(n)｜min=g（1）=．……10分因为g(n)对任意正整数n都成立，所以，得loga（2a－1）＜2，即loga（2a－1）＜logaa2．①当a＞1时，有0＜2a－1＜a2，解得a＞且a≠1，∴a＞1．②当0＜a＜1时，有2a－1＞a2＞0，此不等式无解．综合①、②可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．………………高中2011级第一次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DABBCBACDCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．f-1(x)=e2x（x∈R）14．a≤015．1.816．①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（1）∵数列{an}的前n项和为Sn=2n+1－n－2，∴a1=S1=21+1－1－2=1．……1分当n≥2时，有an=Sn－Sn-1=（2n+1－n－2）－[2n－（n－1）－2]=2n－1．……4分而当n=1时，也满足an=2n－1，∴数列{an}的通项公式为an=2n－1（n∈N*）．……6分（2）∵，x、y∈N*，∴1+x=1，2，3，6，于是x=0，1，2，5，而x∈N*，∴B={1，2，5}．……9分∵A={1，3，7，15，…，2n－1}，∴A∩B={1}．……12分18．∵︱x︱＜3，∴－3＜x＜3．又x为偶数，∴x=－2，0，2，得N={－2，0，2}．……2分（1）设a≥1对应的事件为A，b≥1对应的事件为B，则P(a≥1或b≥1)=．或P(a≥1或b≥1)=P(A)+P(B)－P(A·B)=．或利用对立事件解答，P(a≥1或b≥1)=1－P(a＜1且b＜1)=．∴a≥1或b≥1的概率为．……6分（2）x=a·b的可能取值有－6，－4，－2，0，2，4，6．x－6－4－20246P……9分Ｅx=－6×+（－4）×+（－2）×+0×+2×+4×+6×=0．……12分19．（1）∵=，∴（x＞0）．……………3分（2）∵g（x）=ax2+2x的定义域为（0，+∞）．∵g（1）=2+a，g（－1）不存在，∴g（1）≠－g（－1），∴不存在实数a使得g（x）为奇函数．……6分（3）∵f（x）－x＞2，∴f（x）－x－2＞0，即+x－2＞0，有x3－2x2+1＞0，于是（x3－x2）－（x2－1）＞0，∴x2（x－1）－（x－1）（x+1）＞0，∴（x－1）（x2－x－1）＞0，∴（x－1）（x－）（x－）＞0，∴结合x＞0得0＜x＜1或．因此原不等式的解集为{x｜0＜x＜1或．……12分20．（1）∵函数f(x)在x=1处连续，f（1）=2×1+1=3，∴，3=ea，∴a=ln3．……5分（2）∵对任意n有an＞1，∴f(2an－1)=2(2an－1)+1=4an－1，于是an+1=f（2an－1）－1=（4an－1）－1=4an－2，∴an+1－=4（an－），表明数列{an－}是以a1－=m－为首项，4为公比的等比数列，于是an－=（m－）·4n－1，从而an=（m－）·4n－1+．……12分21．（1）∵（Sn－1）an－1=Sn－1an－1－an，∴（Sn－Sn－1－1）an－1=－an，即anan－1－an－1+an=0．∵an≠0，若不然，则an－1=0，从而与a1=1矛盾，∴anan－1≠0，∴anan－1－an－1+an=0两边同除以anan－1，得（n≥2）．又，∴{}是以1为首项，1为公差为等差数列，则，．……4分（2）∵bn=an2=，∴当n=1时，Tn=；当n≥2时，.……8分（3），∴．设g（n）=，∴，∴g(n)为增函数，从而g(n)｜min=g（1）=．……10分因为g(n)对任意正整数n都成立，所以，得loga（2a－1）＜2，即loga（2a－1）＜logaa2．①当a＞1时，有0＜2a－1＜a2，解得a＞且a≠1，∴a＞1．②当0＜a＜1时，有2a－1＞a2＞0，此不等式无解．综合①、②可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．……12分22．（1）设g(x)=f(x)+x，则g′(x)=f′(x)+1=．∵a＞0，x＞0，∴g′(x)=＞0，于是g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=f(0)+0=0，f(x)+x＞0在x＞0时成立，即a＞0，x＞0时，f（x）＞－x．