高三数学复习教案

第一章集合与常用逻辑用语

第1-2课时集合的概念

课前•考点引领八人：

考情分析考点新知

了解集合的含义；体会元素与集合的“属

于"关系；能用自然语言、图形语言、集

学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.

合语言（列举法或描述法）描述不同的数学

学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.

对象或数学问题；了解集合之间包含与相

集合含义中掌握集合的三要素.

等的含义；能识别给定集合的子集；了解

④不要求证明集合相等关系和包含关系.

全集与空集的含义.

修回归教材

lltl|<>l'UIA（XAI------------------------------

1.（必修1P10第5题改编）已知集合人=m+2,2m2+m},若3£A,贝Um=.

答案：一5

解析：因为3WA,所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3,即m=l时，2m2+m=3,此

3

时集合A中有重复元素3,所以m=l不合题意，舍去；当2m2+m=3时，解得m=-］或m

=1（舍去），此时当m=—|时，m+2=,W3满足题意.所以m=一,.

2.（必修1P7第4题改编）已知集合{a|04a<4,aGN},用列举法可以表示为.

答案：{0,1,2,3}

解析：因为aGN,且04a<4,由此可知实数a的取值为0,1,2,3.

（）（）

3.必修1P17第6题改编）已知集合人=［1,4,B=-8,a,B,则aC.

答案：［4,+°°）

解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知.

4.（原创）设集合A={x|x=5-4a+a2,aSR},B={y|y=4b2+4b+2,bSR},则A、B的关系

是.

答案：A=B

解析：化简得A={X|X21},B={y|y21},所以A=B.

5.（必修1P17第8题改编）满足条件{1}1M1{1,2,3}的集合M的个数是.

答案：4个

解析：满足条件加M*{1,2,3}的集合M有{1},口，2},{1,3},{1,2,3},共4个.

、知识清单

1.集合的含义及其表示

(1)集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.其中集

合中的每一个对象称为该集合的元素.

(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性.

⑶集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法.

(4)集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类

可分为点集、数集等.应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集

的情形.

⑸常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N+；整数集记作Z；有理数

集记作Q;实数集记作R;复数集记作C.

2.两类关系

⑴元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系.

⑵集合与集合之间的关系

①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集,

记为AiB或B»A,读作“集合A包含于集合B"或"集合B包含集合A".

②真包含关系：如果AiB,并且AwB,那么集合A称为集合B的真子集，读作"集合A真包

含于集合B"或"集合B真包含集合A”.

③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元

素都是A中的元素，则称这两个集合相等.

⑶含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n—1个，非空子集共有2n—1个，

非空真子集有2n—2个.

、课中•技巧点拨八’

1•

精隆

题型1正确理解和运用集合概念

例1已知集合人=仅忖*2—3x+2=0,aGR}.

(1)若A是空集，求a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；

⑶若A中至多有一个元素，求a的取值范围.

9

解：⑴若A是空集，则△=9-8a<0,解得a>£.

O

(2)若A中只有一个元素，则A=9—8a=0或a=0,解得a=£或a=0；当a=£时这个元素是

42

3；当a=0时，这个兀素是

9

(3)由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是aq或a=0.

O

备选变式(教师专享)

已知aVl时，集合[a,2—a]中有且只有3个整数，则a的取值范围是.

答案：一kaVO

解析：因为aU,所以2-a21,所以1必在集合中.若区间端点均为整数，则a=O,集合中

有0,1,2三个整数，所以a=0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2—2a<4,

解得一l<a<0,此时，集合中有0,1,2三个整数，-1。<0适合题意.综上，a的取值范围是

—l<a<0.

变式训练

k1]k1

设集合M=jx|x=5+予k6Zj,N={x|x=z+],kez},则MN.

答案：真包含于

题型2集合元素的互异性

例2已知a、b《R,集合A={a,a+b,1},B=1b,po},且B,B，A,求a-b的值.

解：,:A1B,B1A,A=B.

b

■:aWO,/.a+b=O,即a=—b,，；=—1,

a

；・b=l,a=—1,a—b=—2.

备选变式(教师专享)

已知集合人={&,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若八=8,则c=.

1

答案：一5

解析：分两种情况进行讨论.

①若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得a+ac2—2ac=0.

当a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aw。，c2—2c+l=0,即

c=l.但c=l时，B中的三元素又相同，此时无解.

②若a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得2ac2—ac—a=0.

,:aWO,2c2—c—1=0,即(c—D(2c+l)=0.

LU1

又CAl,故C=—

变式训练

集合A=1a,p1|,集合B={a2,a+b,0},若人=8,求a2013+b2014的值.

解：由于axO,由二=0,得b=0,则八=相，0,1},B={a2,a,0}.

a

由A=B,可得a2=l.又a2#a,则awL则a=­L

所以a2013+b2014=-l.

题型3根据集合的含义求参数范围

例3集合A={x|—2<x<5},集合B={x|m+l<x<2m—1}.

(1)若.A,求实数m的取值范围；

(2)当xGR时，没有元素x使xGA与XGB同时成立，求实数m的取值范围.

解：⑴当m+l>2m—l,即m<2时，B=正满足B1A；

f[m+l>—2,

当m+142m—l即mN2时，要使A成立，则彳解得24mV3.

l2m—1<5,

综上所述，当m43时有B】A.

(2)因为x£R,月.A={x|-24x45},B={x|m+l<x<2m—1},又没有元素x使x£A与x—B同

时成立，则

①若B=正，即m+—得mV2时满足条件；

、,[m+l<2m—1,

②若B。用，则要满足条件「、解得m>4.

m+l<2m—1,

或、-c无解•

2m—IV—2,

综上所述，实数m的取值范围为mV2或m>4.

备选变式(教师专享)

已知集合A={y|y=-2x,x£[2,3]},B={x|x2+3x—a2-3a>0}.若A】B,求实数a的取值

范围.

解：由题意有A=[—8,—4],B={x|(x—a)(x+a+3)>0}.

①当a=一|时，B={x[x£R,x^—|j,所以A，B恒成立；

②当a<一"|时，B={x|x<a或x>—a—3}.因为A，B,所以a>—4或一2—3<—8,解得a>—4

3

或a>5(舍去)，所以一4<a<—5；

3

③当a>—/时，B={x|x<—a—3或x>a}.因为AB,所以一2—3>—4或a<—8(舍去)，解得

3

—2<a<l.

综上，当AiBB寸，实数a的取值范围是(一4,1).

新题推荐

----------------------■-

1.设集合A={x|x<2},B={xk<a},且满足A真包含于B,则实数a的取值范围是

答案：(2,十8)

解析：利用数轴可得实数a的取值范围是(2,+8).

2.已知集合人={1,2,3,4,5},8={仅，丫)/〃人,丫6人=一丫一人},则B中元素的个数为

答案：10

解析：B中所含元素有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,

3),(5,4).

3.若xGA,则qCA,就称A是"伙伴关系集合"，集合M=1-1,0,2,31的所有非空子

集中具有伙伴关系的集合的个数是.

答案：3

解析：具有伙伴关系的元素组是一1；1,2,所以具有伙伴关系的集合有3个：{一1},《，2,

[-1,2}.

4.已知全集U=R,集合M={x|-24x—142}和N={x|x=2k-1,k=l,2,…}的韦恩(Venn)

图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有个.

答案：2

解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M={x|-14X43},得McN

={1.3},有2个.

5.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|adP,bGQ},若P={0,2,5},Q

={1.2,6},则P+Q中元素的个数为.

答案：8

解析：⑴；P+Q={a+b|a《P,bGQ},P={0,2,5},Q={1,2,6},当a=0时,a

+b的值为L2,6；当a=2时，a+b的值为3,4,8；当a=5时，a+b的值为6,7,11,

，P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},P+Q中有8个元素.

一3精品题库(教师三享)

1.已知A={x|x2-2x-340},若实数aWA,则a的取值范围是,

答案：[—1,3]

解析：由条件，a2—2a—3<0,从而aW[—1,3].

a,plk也可表示为{a2,a+b,0},则a2013+

2.现有含三个元素的集合，既可以表示为

b2013=.

答案：一1

解析：由已知得?=0及awO,所以b=0,于是a2=l,即a=l或a=-1,又根据集合中元素

的互异性可知a=l应舍去，因此a=-l,故a2013+b2013=(-：l)20：13=-l.

3.已知集合A={x[(x-2乂x-(3a+l)]<0},

,x—a1

B=1xx-(a2+l)<Or

⑴当a=2时，求AcB；

⑵求使B真包含于A的实数a的取值范围.

解:(1)AcB={x|2Vx<5}.

(2)B={x|a<x<a2+1}.

①若a=/时，A=压，不存在a使A；

②若a>§时,2WaW3；③若时，—l<a<—

故a的取值范围是一5_|"2,3］.

4.已知A=｛a+2,(a+l)2,a2+3a+3｝且1CA,求实数a的值.

解：由题意知：a+2=l或(a+l)2=l或a2+3a+3=l,

，a=-l或一2或0,根据元素的互异性排除一1,-2,

/.a=0即为所求.

❷|疑难指津//

1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法

表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分｛x|y=f(x)｝、｛y|y=f(x)｝、｛(x,y)|y=f(x)｝

三者的不同.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互

异性.

2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解题时，若未明确说明集合非空

时，要考虑到集合为空集的可能性.例如：AB,则需考虑人=和AH两种可能的情况.

3.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是

用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.

4.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化

为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.

［备课札记］

第3-4课时集合的基本运算

课前•考格引领hA

考情分析考点新知

①在给定集合中会求一个子集的补集，补集

理解两个集合的交集与并集的含义；会求两

的含义在数学中就是对立面.

个简单集合的交集与并集，理解给定集合的

②会求两个简单集合的交集与并集；交集的

一个子集的补集的含义；会求给定子集的补

关键词是"且"，并集的关键词是"或

集，会用韦恩图表示集合的关系及运算.

③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运

算；对于数集有时也可以用数轴表示.

嚓回归教材

UUIGUIJIAOVAI-

1.（原仓|J）集合M={mGZ|—3cm<2},N={nGZ|11MW3},则McN=.

答案：{-1,0.1）

解析：M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},所以MCN={-1,0,1）.

2.（必修1P17第13题改编）A、B是非空集合，定义AxB={x|xGAUB,且JAAB}.若人=仅|丫

=AJX2-3X},B={y|y=3x},则AxB=.

答案：（一8,3）

解析：A=（—8,0）U[3,+°°）,B=（0,+°°）,AUB=R,AOB=[3,+°°）.所以AXB=（一

°0,3）.

3.（必修1P10第4题改编）已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=[x]x=Uw，x、n^z],

则CUA=.

答案：{0}

解析：因为A=郎仔x、n£z1,当n=0时，x=-2；当n=l时不合题意；当n=2

时，x=2；当n=3时;x=l；当n24时，x‘Z；当n=—l时，x=-1；当nV—2时，x’Z.

故人={-2,2,1,-1}.又U={-2,-1,0,1,2},所以CUA={0}.

4.（必修1P14第8题改编）设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则CU（AnB）

答案：{1,4,5）

解析：AnB={2,3},所以CU（AcB）={L4,5}.

5.（必修1P17第6题改编）已知A={1,2,3},B={xGR|x2-ax+l=0,aGA},则AnB=B时，

a=.

答案：1或2

解析：验证2=1时8=满足条件；验证2=2时8={1}也满足条件.

、知叫清单

1.集合的运算

(1)交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作AnB,即

AnB={x|xWA且xWB}.

(2)并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作AUB,

即AUB={x|xeA或xGB}.

⑶全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个

全集，通常用U来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.

(4)补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集

(或余集),记作CSA,即CSA={x|xWS,但x'A).

2.常用运算性质及一些重要结论

(1)AnA=A,AA/E—/E,AC1B=BCA；

(2)AUA=A,AU^=A,AUB=BUA；

(3)An(CUA)=田,AU(CUA)=U；

⑷ACB=AUA1B,AUB=AUB1A；

⑸CU(AnB)=(CUA)U(CUB),［U(AUB)=(CUA)n(CUB).

［备课札记］

课中•技巧点拨

一1”一

|精选

题型1集合的运算

例1若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则(CUM)n(CUN)=.

答案:{5,6}

解析：MUN={1,2,3,4),

(CUM)n(CUN)=CU(MUN)={5,6}.

变式训练

若全集U={1,2,3,4,5,6},MAN=N,N={1,4},试求满足条件的集合M的个数.

解：由MnN=N得N.

含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6

个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个.

因此，满足条件的集合M有1+4+6+4+1=16个.

题型2求参数的范围

例2设关于x的不等式x(x—a—l)<O(aWR)的解集为M,不等式x2—2x-3v0的解集为N.

⑴当a=l时，求集合M；

(2)若MUN=N,求实数a的取值范围.

解：⑴当a=l时，由已知得x(x—2)<0,

解得0<xV2.所以M={x|0<x<2}.

(2)由己知得N={x|-14xS3}.

①当aV-l时，因为a+l<0,所以M={x［a+l<x<0}.

由MUN=N,得MN,所以-14a+lV0,解得一2WaV-l.

②当a=-1时，M=田，显然有MN,所以a=-1成立.

③当a>-l时，因为a+l>0,所以M={x|O<x<a+l}.

因为N,所以0<a+E3,解得一lVaC.

综上所述，实数a的取值范围是［-2,2］.

变式训练

已知A={x|ax-l>0},B={x|x2-3x+2>0}.

(1)若AnB=A,求实数a的取值范围；

⑵若AnCRBW正，求实数a的取值范围.

解：(1)由于B,由题意知B={x|x>2或x<l}.若a>0,贝ijx>［》2,得0<ag；

11

若a=0,则人=比，成立；若a<0,则根据数轴可知均成立.综上所述，a<5.

aZ

1

(2)CRB={x|l<x<2},若a=0,则人=比，不成立；若a<0,则xV;VI,不成立；若a>0,

d

1111

则x>>由W<2得.综上所述，a>r.

adZZ

题型3集合综合题

b

例3已知f(x)=x+［—3,xe［l,2］.

⑴当b=2时，求f(x)的值域；

(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M,最小值为m,且满足M-m“，求b的取值范围.

2

解：(1)当b=2时，f(x)=x+q—3,xC［l,2］.

因为f(x)在口，/］上单调递减，在［啦，2］上单调递增，

所以f(x)的最小值为f(巾)=2巾—3.

又小)=f(2)=0,

所以f(x)的值域为［2吸一3,0］.

(2)①当0Vb<2时，f(x)在口,2］上单调递增,

则m=b—2,M=|-l,止匕时M-m=-¥+124,得仅一6,与0cb<2矛盾，舍去；

②当24bV4时，f(x)在［1,俳］上单调递减，在［怖，2］上单调递增，所以M=max{f⑴，f(2)}

=b-2,m=f(M)=2毋一3,则M-m=b-2Vb+l>4,得(的-1)224,解得b>9,与2sb

<4矛盾，舍去；

bb

③当b24时f(x)在［1,2］上单调递减，则M=b—2,01=5—1,此时M—01=5—1“，得b210.

综上所述，b的取值范围是［10,+-).

备选变式(教师专享)

设集合A={x|x2—2x+2m+4=0},B={x|x<0}.若ACBH比，求实数m的取值范围.

解：(解法1)据题意知方程x2—2x+2m+4=0至少有一个负实数根.

设M={m|关于x的方程x2-2x+2m+4=0两根均为非负实数},

△=4(—2m—3)>0

则〈xl+x2=2>0,解得一2—|.

lxlx2=2m+4>0

/.M={m_2<m<—Ij.

设全集U={m|A20}=[mm<—,

/.m的取值范围是CUM={m|m<—2}.

(解法2)方程的小根x=l-^/-2m-3<0

Dyj—2m—3>1—2m—3>1m<—2.

(解法3)设f(x)=x2—2x+4,这是开口向上的抛物线.因为其对称轴x=l>0,则据二次函数性

质知命题又等价于f(0)<C)Dm<—2.

\新题推蒋

1.设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若AnB={2},则AUB=.

答案：{1，2,5)

解析：由题意知log2(a+3)=2,得a=l,b=2,则AUB={1,2,5).

2.已知全集U=(-8,3],A=[-l,2),则CUA=.

答案：(-8,-1)U[2,3]

解析：利用数轴可得CUA=(—8,-1)U[2,3].

3.如图，已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,

3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为.

百)

答案：{2,8}

解析：阴影部分表示的集合为AnCn(CUB)={2,8}.

4.已知集合P={(x,y)|x+y=0},Q={(x,y)|x—y=2},则QnP=.

答案：{(1,-1)}

解析：时x+解y=0,得二fx=l7,由于两集合交集中元素只有一个点，故QCP=3F

5.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|xdP,且xQ},如果P={x|log2x<l},Q={x||x

-2|<1},那么P-Q=.

答案：{x|0<xil}

解析：由Iog2x<l,得0<x<2,所以P={x[0<x<2}；

由|x-2|<l,得l<x<3,所以Q={x[l<x<3}.

由题意，得P-Q={x|0<x41}.

一/精品题库(教帅互事)

1.设全集U=MUN={1,2,3,4,5},MC1[UN={2,4},贝UN=

答案：{1,3>5}

解析：画出韦恩图,可知N={1,3,5).

2.设全集为R,集合A={x|xR或x26},B={x|-2<x<9}.

(1)求AUB,(CRA)nB；

(2)已知C={x[a<x<a+1},若ciB,求实数a的取值范围.

解:(1)AUB=R,CRA={X|3<X<6},

/.(CRA)nB={x|3<x<6}.

⑵：C={x[a<x<a+1},且B,

,JaZ-2,

・,|a+l<9.

/.所求实数a的取值范围是一2益48.

3.设全集l=R,已知集合乂=3(x+3)2<0},N={x|x2+x—6=0}.

(1)求(CIM)nN；

(2)记集合A=(CIM)nN,已知集合B={x|a—lSx45—a,aSR},若BUA=A,求实数a的取值

范围.

解：(1)：M={x|(x+3)2W0}={—3},

N={x|x2+x—6=0}={—3,2},

/.[lM={x|x£R且XH-3},

J(QM)cN={2}.

⑵A=(CIM)nN={2},

AUB=A,；.BA,；.B=田或B={2},

当8=压时，a-l>5-a,a>3；

a—1—2

当B={2}时,ka=2：解得㊀二二

综上所述，所求a的取值范围为{a|a23}.

4.设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+l|+a—l)(aVl)的定义域为A,集合B={x|cosnx=l},若

(CUA)cB恰好有2个元素，求a的取值集合.

解：|x+l|+a—l>oU|x+l|>l-a,

当时，1—a>0,x>—a或x〈a—2,

/.A=(-8,a-2)U(—a»+°°).

cosnx=l,/.nx=2kn,/.x=2k(k@Z),

/.B={x|x=2k,kEZ}.

当a<l时，[UA=[a—2,—a]在此区间上恰有2个偶数.

a<l,

/.<aW—aV2—2<a<0.

—4<a—2<—2

❷I疑难指津〃

1.集合的运算结果仍然是集合.进行集合运算时应当注意：

⑴勿忘对空集情形的讨论；

⑵勿忘集合中元素的互异性；

⑶对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；

⑷对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.

2.在集合运算过程中应力求做到"三化”

（1）意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象（数集、点集，图形等）是表

示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？

⑵具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求

出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.

⑶直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形

结合思想解决问题.

第5-6课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

乂

课前•考星引领八八1

考情分析考点新知

会分析四种命题的相互关系.

了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会判断必要条件、充分条件与充要条件.

理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了能用"或""且""非"表述相关的数学内容（真

解逻辑联结词"或""且""非"的含义；了解全称量值表不做要求）.

词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题能用全称量词与存在量词叙述简单的数学

的否定的意义.内容.

⑤能正确地对含有一个量词的命题进行

否定.

哮回归教材

H（HGt>IJIA<KAI------------------------------

1.（选修11P20第4（1）题改编）命题“若a、b、c成等比数列，则ac=b2”的逆否命题是

答案:若acwb2,则a、b、c不成等比数列

2.（选修11P20第6题改编）若命题p的否命题为q,命题q的逆否命题为r,则p与r的关系是

答案：互为逆命题

3.（选修11P20第7题改编）已知p、q是r的充分条件，r是s的充分条件，q是s的必要条件,

则S是p的条件.

答案：必要不充分

4.（原创）写出命题"若x+y=5,则x=3且y=2"的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的

真假.

答案：逆命题：若x=3且y=2,则x+y=5.是真命题.

否命题：若x+yx5,则xw3或y#2.是真命题.

逆否命题：若xx3或yx2,则x+y#5.是假命题.

5.下列命题中的真命题有.（填序号）

①，xWR,x+-=2；

②$xGR,sinx=-l；

③"xCR,x2>0：

④"x£R,2x>0.

答案：①②④

解析：对于①，x=l时，x+：=2,正确；对于②，当*=\~时，sinx=-1,正确；对于③,

x=0时，x2=0,错误；对于④，根据指数函数的值域，正确.

6.命题p：有的三角形是等边三角形.命题㈱p：.

答案：所有的三角形都不是等边三角形

7g5清单

i.四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若P，则q

逆命题若q，则p

否命题若非P，则非q

逆否命题若非q,则非p

(2)四种命题间的逆否关系

⑶四种命题的真假关系

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

2,充分条件与必要条件

(1)如果pDq,那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)如果pDq,且qp,那么称p是q的充要条件，记作pUq.

(3)如果pDq,qD/p,那么称p是q的充分不必要条件.

⑷如果qDp,pDq，那么称p是q的必要不充分条件.

(5)如果pD/q,且qD/p,那么称p是q的既不充分也不必要条件.

3.简单的逻辑联结词

⑴用联结词"且"联结命题P和命题q,记作pAq,读作“p且q”.

⑵用联结词"或"联结命题p和命题q,记作pVq,读作"p或q".

(3)对一个命题p全盘否定记作㈱p,读作"非p"或"p的否定

(4)命题pAq,pVq,p的真假判断

pAq中p、q有一假为假，pVq有一真为真，p与非p必定是一真一假.

4,全称量词与存在量词

⑴全称量词与全称命题

短语"所有""任意""每一个"等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号""x”表示.

含有全称量词的命题，叫做全称命题.

全称命题"对M中任意一个X,有p(x)成立"可用符号筒记为"xWM,p(x),读作“对任意x属于

M,有p(x)成立

(2)存在量词与存在性命题

短语"有一个""有些""存在一个"等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号"$x”表

示.

含有存在量词的命题，叫做存在性命题.

存在性命题"存在M中的一个X,使p(x)成立"可用符号简记为$xdM,p(x),读作“存在一个x

属于M,使p(x)成立

5.含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

n

x£M,p(x)Sx£M,0p(x)；

$x£M,p(x)"xGM,0P(x).

［备课札记］

、课中•技巧点拨八：

AW，，r

国提精选

题型1否命题与命题否定

例1(1)命题“若a>b,则2a>2b-l”的否命题为；

⑵命题："若x2+x-m=0没有实根，则mSO"是(填"真"或"假")命题；

⑶命题p：”有些三角形是等腰三角形”，则0P是.

答案：(1)若asb,则2aW2b—1(2)真(3)所有三角形都不是等腰三角形

解析：(2)很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m=0时显然方程有根，其实不然，由

111

x2+x—m=0没实根可推得m<一］,而｛mlmv—Q是｛m|m40｝的真子集，由m<一1可推得mWO,

故原命题为真，而它的逆否命题"若m>0,则x2+x-m=O有实根”显然为真，其实用逆否命

题很容易判断它是真命题.

(3)0P为"对任意xCA,有p(x)不成立"，它恰与全称性命题的否定命题相反.

变式训练

把下列命题改写成"若p则q"的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.

(1)正三角形的三个内角相等；

(2)已知a、b^c、d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.

解：(1)原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.

逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形.

否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.

逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形.

(2)原命题：已知a、b、c、d是实数，若@=1>,c=d,则a+c=b+d.

逆命题：已知a、b、c^d是实数，若a+c=b+d,则a=b且c=d.

否命题：已知a、b、c>d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+cwb+d.

逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a+crb+d,则a与b,c与d不都相等.

题型2充分必要条件

例2已知p：x2—8x—20<0,q：x2—2x+l—m2^0(m>0),若。p是0q的必要不充分条件,

求实数m的取值范围.

解：0p：x2-8x-20>0,得xV-2或x>10,

设A={x|x<—2或x>10},

°q：x2—2x+l—m2>0,得xVl—m,或x>l+m,

设B={x|x<l—m或x>l+m}.

・・・0P是0q的必要非充分条件，

1—m<—2.

B真包含于A,即Dm29.

l+m>10

•••实数m的取值范围为m>9.

备选变式(教师专享)

下列四个结论正确的是.(填序号)

①“xWO"是"x+|x|>0"的必要不充分条件；

②已知a、bGR,则"|a+b|=|a|+|b|"的充要条件是ab>0；

③“a>0,且A=b2-4ac40"是"一元二次不等式ax2+bx+c20的解集是R"的充要条件；

④“xWl"是“x2Wl”的充分不必要条件.

答案：①③

解析：①因为由xwO推不出x+|x|>0,如x=-l,x+|x|=0,而x+|x|>0xWO,故①正

确；因为a=0时，也有|a+b|=|a|+|b|,故②错误，正确的应该是"|a+b|=|a|+|b|"的

充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x=-l时，有x2=l,故④错误，

正确的应该是“XH1"是"X2W1”的必要不充分条件.

题型3全称命题与存在性命题的否定

例3命题"所有不能被2整除的整数都是奇数"的否定是.

答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数

备选变式(教师专享)

若命题改为"存在一个能被2整除的整数是奇数"，其否定为.

答案：所有能被2整除的整数都不是奇数

题型4求参数范围

例4已知命题p：方程a2x2+ax—2=0在[―1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不

等式x2+2ax+2a40,若命题"p或q"是假命题，求实数a的取值范围.

解：由a2x2+ax—2=0,得

(ax+2)(ax—1)=0,

21

显然axO,x=一;或x=：.

33

21

*/xe[-i,1],故：W1或二<1,

dd

J|a|21.

由题知命题q〃只有一个实数x满足x2+2ax+2a<0\

即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，

••△=4a2—8a=0,••a=0或a=2,

**.当命题"p或q"为真命题时|a|21或a=0.

V命题〃p或q”为假命题,

a的取值范围为{a|—l<a<0或0<a<1}.

备选变式(教师专享)

已知命题p：函数y=loga(l—2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a—2)x2+2(a—2)x—

4<0对任意实数x恒成立.若pVq是真命题，求实数a的取值范围.

解：:命题p：函数y=loga(l—2x)在定义域上单调递增，，0<a<l.

又命题q：不等式(a—2)x2+2(a—2)x—4<0对任意实数x恒成立，

a—2<0,

BP-2<a<2.

A=4(a-2)2+16(a-2)<0,

•/pVq是真命题，

:.a的取值范围是一2<a«2.

新题推荐

-----------■-

命题"所有能被2整除的数都是偶数"的否定是

答案：存在一个能被2整除的数不是偶数

2.设a、B为两个不同的平面，直线|ia,贝『1_1旷是"0(_1旷成立的条件.

答案：充分不必要

解析：根据定理知由l_LB可以推出a，B.反之不成立，仅当I垂直于a、B的交线时才成立.

3.“若a+b为偶数,则a、b必定同为奇数或偶数"的逆否命题为.

答案：若a、b不同为奇数且不同为偶数，则a+b不是偶数

_____1

4.已知命题pl：函数y=ln(x+Ml+x2),是奇函数，p2：函数y=x2为偶函数，则下列四个

命题：

①plVp2；②plAp2；③(0pl)Vp2；④pl/\(0p2).

其中，真命题是.(填序号)

答案：①④

解析：由函数的奇偶性可得命题pl为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得

②③为假，①④为真.

一/糖品题库(教帅互事)

1

1.若a、b为实数，则〃0<ab<l〃是〃bq”的条件.

a

答案：既不充分也不必要

11

解析：0<ab<l,a、b都是负数时，不能推出bq；同理bq也不能推出0<ab<l.

3a

2.在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为

f(p),已知命题p：“若两条直线11：alx+bly+cl=0,12：a2x+b2y+c2=0平行,则alb2一

a2bl=0”.那么f(p)=.

答案：2

解析：若两条直线11：alx+bly+cl=O与12：a2x+b2y+c2=0平行，则必有alb2—a2bl=0,

但当alb2-a2b1=0时，直线11与12不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但

其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式

的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)=2.

3.设命题p：关于x的不等式2|x-2|<a的解集为；命题q：函数y=lg(ax2—x+a