高三数学二轮复习教案

高三数学二轮复习教案

学校：寿县迎河中学

汇编：龙如山

第一部分：三角问题的题型与方法

一、考试内容

角的概念的推广，角度制与弧度制；随意角的三角函数，单位圆中的三角函数

线，同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=l,sina/cosa=tana,tanacot

a=l,正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余

弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=Asin（3x+小）的

图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角

形解法举例。

二、考试要求

1.理解随意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2.驾驭随意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切的定义，驾驭同解三角函

数的基本关系式，驾驭正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.驾驭两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，驾驭二倍角的正弦、余弦、

正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦

函数、余弦函数和函数丫=八51,11（3*+11））的简图，理解A、3、力的物理意义。

三、复习目标

1.娴熟驾驭三角变换的全部公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规运用

方法等.

2.熟识三角变换常用的方法一一化弦法，降嘉法，角的变换法等.并能应用这

些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.

3.驾驭三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些

实际问题.

4.娴熟驾驭正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它探讨

复合函数的性质.

5.娴熟驾驭正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形态、

6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换探讨函数图象的变

更.

四、双基透视

1.三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换；

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式；

三角代换是以三角函数的值域为依据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三

角式，然后再运用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决.

2.三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要留意三角形自

身的特点.

(1)角的变换

因为在aABC中，A+B+C=n,所以

sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC.

A+BCA+B,CA+BC

sm---=cos-;cos---=sjn-;tan---=cot-

222222

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理.

面积公式：S=-aht=-absinC=r♦p=Jp(p-a)(p-b)(p-c).其中

r为三角形内切圆半径，p为周长之半.

■f-14r=八ABBCCA

*(3)对任忠2\期。/而5•tan—+tan—>tan—+ttan-•tan—

乙444乙乙

在非直角aABC中，tanA+tanB+tanC=tanA,tanB,tanC.

(4)在AABC中，熟记并会证明:

ZA,ZB,NC成等差数列的充分必要条件是NB=60

△ABC是正三角形的充分必要条件是NA,ZB,NC成等差数列且a,b,c成等

比数列.

3.斜三角形中各元素间的关系：

如图6-29,在AABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边.

(1)三角形内角和：A+B+C=n.

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

「^='^=’一=2R(7?为外接圆半径)

sinAsin5sinC

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两

边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a'=方+-2bccosA,

方=1+a?—2cacosB,

c2=a2+g—2a/?cosC.

4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个

内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未图6-29

知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、

角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面

两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是

斜三角形，则称为解斜三角形.

解斜三角形的主要依据是：

设△49C的三边为a、b、c,对应的三个角为/、B、C.

(1)角与角关系：A+B+C=n,

(2)边与边关系：a+6>c,b+c)a,c+a'>b,a—b<c,

b-c<a,c-a>b.

(3)边与角关系：

正弦定理—=—=^=27?(7?为外接圆半径).

sinAsinBsinC

余弦定理c-a+l}—2bccosC96-a+c—2accosB,a-2bccos4

它们的变形形式有：a=27?sin/,—=cosA=+C，2

sin3b2bc

(4)面积公式：

=—ah=—bh,=—ch=—absinC=—acsinB=—bcsinA.

S△A2a2〃2c222

解斜三角形的常规思维方法是：~~

(1)已知两角和一边(如/、B、C),由4+*C="求C,由正弦定理求a、b.

(2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求。边；再应用正弦定理先

求较短边所对的角，然后利用/+6+。=〃，求另一角.

(3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、/),应用正弦定理求6,由/+加

〃求C,再由正弦定理或余弦定理求。边，要留意解可能有多种状况.

(4)已知三边a、b、c,应余弦定理求4B,再由Z+6+C=)，求角C.

五、思想方法

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)常值代换：特殊是用"1"的代换，如rcos?9+sir]20=tanx•cotx=tan45°

等。

(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项：

sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=l+cos2x；配凑角：a=(a+0)—B,0=々+乃

a一°星

丁等。

(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。

(5)引入协助角。asin0+bcos9=-\la2+Z?2sin(0+^z>),这里协助角o所在象

h

限由a、b的符号确定，0角的值由tan0=—确定。

a

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，变更运算结构，使等式两边化为同

一形式。

(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调

性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

(1)发觉差异：视察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)找寻联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。.

六、范例分析

例1、已知tan6=J^,求(1)c°s"+sin"；(2)$11126一$1116储0$61+2<：0$26的值.

cos。一sin0

I+sin。

解：⑴cosd+sine==l+tand=l+Vi=32四;

cos6+sin8sin。1-tan0

iA-----

cos。

⑵s/-2,oE［黑R产9

sin20sin0

cos?。cos。*_2-血+2_4-后

sin2012+13

^+1

cos20

说明：利用齐次式的结构特点(假如不具备，通过构造的方法得到)，进行弦、切互

化，就会使解题过程简化。

JTjJT

例2：已知函数丁=51口2%+25111%5111(5-1)+351112(《--X).

(1)若tanx=L,求y的值；(2)若xe［0,工］,求函数单调区间及值域.

2-2

解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=^2sin(2x+—)+2.......3分(这一步至关重要,

"4

解题确定要留意)

sin2x+2sinxcosx+3cos2x_tan2x+2tanx+317

⑴y=.225分

sinx+cosxtan2x+lT

⑵在［0,&］上单调递增，在［工，勺上单调递减.2分

882

所以，当x=J时，%=2+虚；当x=g时，Jmin=1.故y的值域为口,2+伪.

82

2分

例3：已知函数/(x)=6sin(s:+0)—cos(ox+?)(0<夕〈兀，/>0)为偶函数，且

71

函数y=/(X)图象的两相邻对称轴间的距离为(I)求/的值；(II)将函数

y=/(x)的图象向右平移色个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减

6

区间.

解(1)/(x)=>/3sin(6t>x+^)-cos(<z>x+(p)

与sin(ox+°)一；cos(ox+(p)

=2=2sin18+°-弓

因为/(%)为偶函数，所以对%wR,/(-%)=/(%)恒成立,

贝!!sin(-6t)x+^--)=sin[s+o一6

6

71+cosssin[71+coscoxsin{(p-^

即一sins:cos中一飞sinscos中一%

一:•)=().因为刃且71

整理得sinoxcos0>0,XGR,所以cos(p=0.

71

又因为0<0〈兀，故夕一巴=巴,所以/(x)=2sinCOXH---=2coso尤・

2

由题意得」=兀，所以刃=2.故/(%)=2cos2%.因此/障=2cos'=J^.

(II)将/(X)的图象向右平移N个单位后，得到了X

所以g(x)=/|X=2cos

当2左兀W2x—巴W2E:+兀(左wZ),即左兀++如(左wZ)时,

g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为kn+~,kn+—(左eZ).

63

12

例4已知AABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,cosA=—。

13

(I)求AB・AC；(II)若c—>=1,求a的值。

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，

利用余弦定理解三角形以及运算求解实力.

【解题指导】(1)依据同角三角函数关系，由cosA="得sinA的值，再依据AABC

13

面积公式得历=156；干脆求数量积ARAC.由余弦定理/=〃+/—2bccosA,代

入已知条件0一匕=1,及4:=156求a的值.

12IV2-51

解：由cosA=—,得sinA=Jl—(一)2=—.又一Z?csinA=30,/.be=156.

13V13132

12

(I)AB-AC=bccosA=156x—=144.

13

12

(II)a2=b2+c2-2bccosA=(c-Z?)2+2Z?c(l-cosA)=l+2-156-(l--)=25,：.

a=5.

【规律总结】依据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求儿的值，考虑已知AABC

17

的面积是30,cosA=—,所以先求sinA的值，然后依据三角形面积公式得尻的值.

13

其次问中求a的值，依据第一问中的结论可知，干脆利用余弦定理即可.

其次部分：不等式问题的题型与方法

一、考试要求

1.理解不等式的性质及其证明。

2.驾驭两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，

并会简洁的应用。

3.驾驭分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式。

4.驾驭简洁不等式的解法。.

二、复习目标

1.在娴熟驾驭一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，驾驭其它的一

些简洁不等式的解法.通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的实

力以及计算实力；

2.驾驭解不等式的基本思路，即将分式不等式、确定值不等式等不等式，化归为整

式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；

3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法等），使学生

较敏捷的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题；

4.通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明

不等式的实力；

5.能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题.

6.通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、

解析几何等各部分学问中的应用，深化数学学问间的融汇贯穿，从而提高分析问题

解决问题的实力.在应用不等式的基本学问、方法、思想解决问题的过程中，提高

学生数学素养及创新意识.

三.双基透视

1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论

依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要擅长把它们有

机地联系起来，相互转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通

过换元，可将较困难的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数、数形

结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运

用图解法可以使得分类标准明晰.

2.整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的

性质及函数的单调性，将分式不等式、确定值不等式等化归为整式不等式（组）是解

不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函

数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们有机地联系起来，相互转

化和相互变用.

3.在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较困难

的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、

形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通

过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的

解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.

4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）

一变形一推断符号（值）.

5.证明不等式的方法敏捷多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合实力、

正逆思维等，将会起到很好的促进作用.在证明不等式前，要依据题设和待证不等

式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算，将待

证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明

显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果

索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合运用分析综合法,

两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.

6.证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基

本方法.要依据题设的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证

法中的推理思维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点.

7.不等式这部分学问，渗透在中学数学各个分支中，有着特别广泛的应用.因此不

等式应用问题体现了确定的综合性、敏捷多样性，这对同学们将所学数学各部分学

问融会贯穿，起到了很好的促进作用.在解决问题时，要依据题设的结构特点、内

在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范

围特别广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的探

讨，函数单调性的探讨，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析

几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着亲密的联系，很多问题，最终

都可归结为不等式的求解或证明。

8.不等式应用问题体现了确定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立

不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式

求函数的最值时，要特殊留意“正数、定值和相等”三个条件缺一不行，有时须

要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步骤：1°审题，

2。建立不等式模型，3。解数学问题，4。作答。

四、留意事项

L解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简洁的一元一次不等式

(组)或一元二次不等式(组)来求解，。

2.解含参数不等式时，要特殊留意数形结合思想，函数与方程思想，分类探讨思

想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种，既要留意到各种证法的适用范围，又要留意在驾驭

常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要留意调整放缩

的度。

4.依据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

五、范例分析

例1.己知三个不等式：①|2x—4|<5—x②Y------>1@2x2+mx-l<0

(1)若同时满意①、②的X值也满意③，求m的取值范围；

(2)若满意的③x值至少满意①和②中的一个，求m的取值范围。

分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含确定值不等的解法，以及数形结合思

想，解本题的关键弄清同时满意①、②的x值的满意③的充要条件是：③对应的方程

的两根分别在(-8,0)和[3,依)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不行分

的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。

解：记①的解集为A,②的解集为B,③的解集为C。

解①得A=(-1,3)；解②得B=[0』)u(2,4],;.ACB=[0』)D(2,3)

(1)因同时满意①、②的x值也满意③，AnBcC

设/。)=2/+7磔:+1,由/(x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于3

-1<0

时,即可满意Ac8=,<X上

3m+17<03

(2)因满意③的尤值至少满意①和②中的一个，.•.CGA。3,而A。3=(-1,4]

因

此］.•.方程2/+蛆-1=0小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而

31

/(4)=4/77+31>0,解之得——<m<1

说明：同时满意①②的x值满意③的充要条件是：③对应的方程2x2+mx-l=0的两根

分别在（-8,0）和［3,+8）内，因此有f（0）<0且f⑶W0,否则不能对AAB中的

全部x值满意条件.不等式和与之对应的方程及图象是有着密不行分的内在联系的，

在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系.

例2已知点（1,是函数/（%）=优（a>0,且awl）的图象上一点，等比数列｛许｝的

前"项和为/（〃）-c,数列｛2｝（4>0）的首项为c,且前〃项和S”满意S”一

=（北2）.

（1）求数列｛凡｝和｛2｝的通项公式；（2）若数列｛」一｝前"项和为T"，问T,〉”史

b"2009

的最小正整数”是多少？

【解析】⑴Q/⑴=a=g,"X）=U

i-12

=/(l)-c=--c,a2=[/(2)-c]-[/(l)-c]=--

%=[〃3)—c]—"⑵—c]=后.

又数列｛%｝成等比数列，«i=y=^-=-|=1-c，所以。=1；

-27

又公比普W，所以L翡）=-2出心*；

QSn-九=（底—£7胸+£7）=收+反（心2）

又包>0，£>0，二后―历=1；

2

数列｛£｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，S=l+（"l）xl=w，Sn=n

2

当“22,bn=Sn-Sn_x=rr-（77-1）=2/7-1；

:.b=2n—l(neN*)；

1-K+1

(2)Tn=——i—--l—--hL+

她b力3她42+i1x33x55x7(2n-l)x(2n+l)

111111111

+—+K+-

2VI235257212"一12n+l

11-£n

22n+l

「幽得心侬'满意〃黑的最小正整数为血

2n+l20099

第三部分：数列问题的题型与方法

一、考试内容

数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式,

等比数列前n项和公式。

二、考试要求

1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种

方法，并能依据递推公式写出数列的前几项。

2.理解等差数列的概念，驾驭等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公

式解答简洁的问题。

3.理解等比数列的概念，驾驭等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公

式解决简洁的问题。

三、复习目标

1.能敏捷地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式

解题；

2.能娴熟地求一些特殊数列的通项和前“项的和；

3.使学生系统驾驭解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在

解题实践中的指导作用，敏捷地运用数列学问和方法解决数学和实际生活中的有关问

题；

4.通过解决探究性问题，进一步培育学生阅读理解和创新实力，综合运用数学

思想方法分析问题与解决问题的实力.

5.在解综合题的实践中加深对基础学问、基本技能和基本数学思想方法的相识,

沟通各类学问的联系，形成更完整的学问网络，提高分析问题和解决问题的实力.

6.培育学生擅长分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高

学生用函数的思想、方程的思想探讨数列问题的自觉性、培育学生主动探究的精神和

科学理性的思维方法.

四、双基透视

1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.

2.推断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n三2的随意自然数，验证-a”(%/%_])为同一常数。

(2)通项公式法：

①若a*=。]+(n-l)d=+(n-k)d,则｛4｝为等差数列；

②若%="1产=外尸，则｛%｝为等比数列。

(3)中项公式法：验证24.1=4+°1=都成立。

3.在等差数列｛%｝中，有关Sn的最值问题一一常用邻项变号法求解：

a.2。

(1)当。】〉0,水0时，满意1心“$°的项数m使得厂取最大值.

4so

(2)当a】〈0,d〉0时，满意la-*i-1；1的项数m使得外取最小值。

在解含确定值的数列最值问题时，留意转化思想的应用。

4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、留意事项

1.证明数列｛。“｝是等差或等比数列常用定义，即通过证明明包-%=%-%7或

3包=&而得。

anan-\

2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有

时敏捷地运用性质，可使运算简便。

3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

4.留意一些特殊数列的求和方法。

5.留意s“与。”之间关系的转化。如：

,%=%+工(%一%).

〔s“一s,T，n>2k=2

六、范例分析

例1.已知数列｛%｝中，S"是其前〃项和，并且S“+i=4a“+2(〃=l,2,-),q=l,

⑴设数列么=%+「2%(〃=1,2,……),求证：数列囚｝是等比数列；

⑵设数列g=墨,(〃=1,2,……)，求证：数列｛%｝是等差数列；

⑶求数列｛%｝的通项公式及前〃项和。

分析：由于｛b,｝和｛c“｝中的项都和｛a“｝中的项有关，｛a“｝中又有S'+『4a”+2,可由

S„+2-S用作切入点探究解题的途径•

解：⑴由S“M=4a”+2,S„+2=4a„+1+2,两式相减，得SjT加=4(a油-a“)，即

a“+2=4a“+|-4a“.(依据b„的构造，如何把该式表示成b“+］与b”的关系是证明的关键,

留意加强恒等变形实力的训练)

aa+2-2a“+|=2(a”+］-2a,),又b“=a,+「2a“，所以b,+］=2b“①

已知S2=4a1+2,ai=l,aj+a2=4a；+2,解得a2=5,b1-a2-2a1-3②

由①和②得，数列｛b“｝是首项为3,公比为2的等比数列，故b“=3・2"T.

(2)因为％=^(nWN),所以c/i-c.=流・方.•蒜

3.3

■------■一

2**14•

又％=故数列5)是百项为］公差是J的等差数列.

31

(3)因为‘=皆,又［=；11-：,所以费・与-1ali=(3nJ)

♦

当nN2时，S,=4a,T+2=2"T(3n-4)+2；当n=l时，Si=ajl也适合上式.

综上可知，所求的求和公式为S“=2"T(3n-4)+2.

说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，

求数列通项与前九项和。解决本题的关键在于由条件=4%+2得出递推公式。

2.解综合题要总揽全局，尤其要留意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,

在后面求解的过程中适时应用.

例2：数列｛。“｝满意：%=1,an+1=2an-rr+3n｛n&N*^o

(1)是否存在常数X、〃，使得数列｛q+zLl+zm｝是等比数列.若存在，求出

4、〃的值；若不存在，说明理由.

(2)设bn=---,-----r\n-—i,n=4i+dz.+4j+…+2n，证明：当n>2时，

cin-\-n—2

6n5

(n+l)(2n+l)<n<3*

2

解：(1)设an+1=2an-n+3n可化为。用+2(〃+1)2+〃(〃+1)=2(%+4/+〃川)，

即an+i=2an+/ln2+(//-2A)n-A-//（2分）

故2=—1,//-22=3,—2—4=0解得2=_1,〃=1（2分）

2

an+1=2an-n+3n可化为。向一(〃+1『+(”+1)=2(a“一〃2十几)(1分)

又q—F—lwO（6分）

故存在使得数列｛q+4/+〃几｝是等比数列（2分）

2

（2）证明：由（I）得—n+〃=an=2”T+—〃

厂（8分）Y4422

故'"=消』-.....Z-<(2分)

4〃4M2—12〃-12〃+1

2_22_2)(22、

n>2,S〃=l\+b2+b3T----\-bn<1+++•••+

3-55~72n—12〃+l

1225

=1+--------<-现证s>6n(n>2)

32n+l3n(n+l)(2n+l)

当n=2时5=/7,+/?,=!+-=-,而6n_12_454

44(n+l)(2«+l)3x55?41

故n=2时不等式成立……（12分）当n》3时，由d=二＞111

n〃(扑+1)nn+1

得

n

1__L1I口上

S“=4+仿+/+…+2+1_1++•••+=1-----=----，且由

2334n几十ln+1n+1

n6n

2n+l>6>1>-1>-----,/.S>（5分）

2n+lnn+1(川+1)(2几+1)

例2设G，C2，・，G，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在X轴的正半轴上，且

都与直线y=^x相切，对每一个正整数”，圆C"都与圆C“M相互外切，以乙表示C“的

半径，已知匕｝为递增数列.（I）证明：&｝为等比数列；（II）

设6=1,求数列｛巴｝的前"项和.

r„

【命题意图】本题考查等比列的基本学问，利用错位相减

法求和等基本方法，考察抽象概括实力以及推理论证实力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设G的圆心为（4,0）,得4=2/,同理得

4^=2*],结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即匕｝

中9+1与7的关系，证明｛9｝为等比数列；（2）利用（1）的结论求匕｝的通项公式，

代入数列2，然后用错位相减法求和.

解：（1）将直线丫=走彳的倾斜角记为，则有tane=N,sin6=」，

332

设「的圆心为（4,0）,则由题意得知人=L得4=2%同理

42

4+1=24+],从而％+]=%+1+%+]=2勺+],将4=2勺代入，

解得

故院|为公比q=3的等比数列。

(口)由于1=1,q=3,故勺=31,从而三=11*3~,

rn

记Sn=^+2+…+仪,则有

Gr24

2

Sn=1+2*3^+3*3-+……〃*3-"

s

首=1*3%2*3/+……+(1)*3~+〃*3-"

①—②，得

9Q

7=1+3-1+3-2+...+3j—3T

3

1-3-"33

222

3

Q139一(2〃+3)*3「"

.-.5„=---(«+-)*3^

"4224

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何学问，并结合图形，

得出关于数列相邻项氏与。川之间的关系，然后依据这个递推关系，结合所求内容变

形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与

等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和S“乘以公比，然后错位相减解决.

数列是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要

的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维实力，解决问题的实力，试题

大多有较好的区分度。有关数列的试题常常是综合题，常常把数列学问和指数函数、

对数函数和不等式的学问综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学

归纳法综合在一起。探究性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴

含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类探讨等重

要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是

现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

第4部分：立体几何问题的题型与方法

一、考试内容：

1.平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。

2.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直

线的距离。

3.直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，

斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角。

4.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的

判定与性质。

5.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球的体积与表面积。

二、考试要求

(1)驾驭平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，

能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够依据图形想象它们

的位置关系；

(2)了解空两条直线的位置关系，驾驭两条直线平行与垂直的判定定理和性质定

理，驾驭两条直线所成的角和距离的概念；

(3)了解空间直线和平面的位置关系，驾驭直线和平面平行的判定定理和性质定

理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，驾驭斜线在平面上的射影、直线和

平面所成的角、直线和平面的距离的概念；

(4)了解平面与平面的位置关系，驾驭两个平面平行的判定定理和性质定理。驾

驭二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，驾驭两个平面垂直的判定定

理和性质定理。

(5)了解棱柱的概念，驾驭棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

(6)了解棱锥的概念，驾驭正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

(7)了解球的概念，驾驭球的性质，驾驭球的表面积、体积公式。

三、复习目标

1.在驾驭直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间

的位置关系)的基础上，探讨有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判

定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和驾驭相关公理、

定理的内容和功能，并探究立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的

过程中提高逻辑思维实力、空间想象实力及化归和转化的数学思想的应用.

2.在驾驭空间角（两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角）

概念的基础上，驾驭它们的求法（其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个

三角形内通过计算求出它们的大小）；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩

固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，驾驭作平行线（面）和垂直线（面）

的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象实力、逻辑推理

实力及运算实力.

3.通过复习，使学生更好地驾驭多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够敏

捷运用到解题过程中.通过教学使学生驾驭基本的立体几何解题方法和常用解题技

巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题实力.

4.在学生解答问题的过程中，留意培育他们的语言表述实力和“说话要有依据”

的逻辑思维的习惯、提高思维品质.使学生驾驭化归思想，特殊是将立体几何问题转

化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象实力、推理实力和计算实力.

5.使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够娴熟地运用分

割与补形求体积，提高空间想象实力、推理实力和计算实力.

四、留意事项

1.须明确《直线、平面、简洁几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。

2.与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是

指''二平面没有公共点由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间

三个几何元素）间”没有公共点”时，它们间的关系均称为“相互平行”。要擅长运

用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。

3.留意两个平行平面的画法一一直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面

的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写

法一议，即将“平面。平行于平面夕”，记为“c〃夕

4.空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。

5.三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。

它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，

面面角作平面角”而达到化归目的；

7.有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平

面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、

点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离

有时用“体积法”来求。

五、范例分析

例1如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF〃AB,EF，FB,

ZBFC=90°,BF=FC,H为BC的中点，

（I）求证：FH〃平面EDB；（II）求证：AC

，平面EDB；（III）求四面体B—DEF的体积；

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面

垂直、

第（19）题图

面面垂直的推断与证明，考查体积的计算等基础

学问，同时考查空间想象实力、推理论证实力和运算实力.

【解题指导】(1)设底面对角线交点为G,则可以通过证明EG〃FH,得FH〃平面EDB；

(2)利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FHL平面ABCD,得FHJ_BC,FH±AC,

进而得EG±AC,AC,平面EDB；(3)证明BFL平面CDEF,得BF为四面体B-DEF

的高，进而求体积

⑴证：设AC与8。交于点G,贝4G为AC的中点，连EG,GH,由于“为3C的中点，故

GH//-AB,

=2

又所//-AB,.■泗边形EFGH为平行四边形

=2

EG//FH,而EGu平面EDB,FH//平面EDB

(Ft)证：由四边形ABCD为正方形，有AB_LBC。

又EF〃AB,二EF±BC»而EFLFB,EF_L平面BFG,..EFLFH

:.^±FH又BF=FG,笈为8册中点，FH±BC.

FH_L平面/CD

FH±AC又FH11EG,ACLEG,5LACA.BD,EGnBD=G

AC_L平面班8

(III)解:•••EF_L砥,NBFC=900,;.(尸_L平面8邱.

8F为四面体B-DE确高，y,BC=AB=2,:.BF=FC=^2

%加=状*1*应*应=：

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论

是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的推断与性质.解决这类问题，通常利用

线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体

积.

例2：一个简洁多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为

1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点//

(1)求证：PB〃平面ACE；//

(2)求证：PCLB。；//

(3)求三棱锥C-PAB的体积.N--------1N--------1

主视图侧视图

证明：(1)