四川省绵阳市高中2022级第三次诊断性考试数学试题及答案（A卷）

绵阳市高中2022级第三次诊断性考试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BABCDACC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解1）设数列公比为q，5成等差数列得：4a4=4a3+a5， 3分:4a3q=4a3+a3q2，即：q2-4q+4=0，可得q=2， 数列{an}的通项公式为：an=2n； 2n-12n-12444 444=2n+2n-3+2n-6 =2n(1+2-3+2-6+ +23-3n)···························································9分分数学参考答案及评分标准第1页共8页∵函数f(x)在x=1处取得极值． ff(x)单调递增；ff(x)单调递减；················································5分ff(x)单调递增，············································6分∴f(x)的极小值为f(2)=4ln2-8-m；···············································7分数学参考答案及评分标准第2页共8页17．解1）梯形ABCD中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，记D1A1∩FE=M，CB∩FE=N，=上CFN，··············∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合，··································3分=M，所以A1，B，D1，C四点共面；·································4分（2）∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面A1EFD1∩面BEFC=EF，D1F丄EF，∴D1F⊥面BEFC，则D1F⊥面CF，····················································5分易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．·······························6分（3）∵平面EFP丄面A1BCD1，记面EFP∩面A1BCD1=l，在平面EFP内过点E作直线m⊥l，又∵EF丄面D1FC，∴D1C丄EF，且EF面EFP，m面EFP，则FB=(，2，0)FP=(0)，··不妨设平面BFP的法向量为n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量为m=(0，0，1) 数学参考答案及评分标准第3页共8页又解得b=，··································································2分（2）方法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OT=8可得：分又点T在双曲线C上，则EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),2)易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，由韦达定理可得分代入②式得分解得：即，此时y1y2<0，则直线l1与双曲线C右支有两个交点，即直线l1方程为···························································10分方法二：易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，设直线l1方程为x=t1y+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，数学参考答案及评分标准第4页共8页由韦达定理可得分 ,·································································7分代入双曲线C的方程可得 或········································································9分当时，直线l1与双曲线的渐进性平行，不符合题意，:直线l1方程为···························································10分（3）设直线l1方程为x=t1y+2，直线l2方程为x=t2y+2，，································11分则当且仅当t1=时取等号)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，同理可得分EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)|y2EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),1)y2|，数学参考答案及评分标准第5页共8页EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)由韦达定理可得同理可得代入③得：MR.NR.PR.QR=(1+t1)(1+t2)y|1y2y3y4|=(1+t1)(1+t2)|2.2|2t112t21EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up7(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(3),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(6),7)t))·························································14分令则f在区间[6，10)上单调递增，···········································································16分方法二当且仅当t1=，时，等），数学参考答案及评分标准第6页共8页19．解1）当n=3时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有种行驶路线；从(2，1)行驶到(3，3)时，共有种行驶路线；·································2分（2i）方法一：除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点．∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个−1的序列a1，a2，…,a6．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即．EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(3),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),6)从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总数也为5种．方法二：当n=4时，巴士总共有CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(4),8)=70种行驶路线，····························5分除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，设经过格点C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件C，D，E，则经过格点C的路线总数为W(C)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)×CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(3),6)=40种，经过格点D的路线总数为W(D)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),4)×CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),4)=36种，经过格点E的路线总数为W(E)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(3),6)×CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)=40种，经过格点C与格点D的路线总数为W(CD)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)×CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)×CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),4)=24种，EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),4)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(2),4)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up4(1),2)因此经过格点C或格点D或格点E的路线总数为：W(CUDUE)=W(C)+W(D)+W(E)-W(CD)-W(CE)-W(DE)+W(CDE)=60，8分用韦恩图可如上图表示，（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)，假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际