导数培优专题端点效应凹凸反转指数找基友【原卷】

【导数培优专题：端点效应+凹凸反转】题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：端点效应（必要性探路）】知识讲解知识讲解端点效应的定义端点效应是指在处理含参不等式恒成立问题时，通过分析函数在区间端点处的取值情况，对参数的取值范围进行初步的限定，进而缩小参数的讨论范围，简化问题的一种方法。解题思路1.初步判断当遇到形如“在区间$[a,b]$上，不等式（或）恒成立，求参数的取值范围”的问题时，首先考虑端点值。将区间端点和代入不等式中，得到关于参数的初步条件。例如，若不等式在$[m,n]$上恒成立，则先计算和，解出参数的一个初步取值范围。2.必要性探路通过端点值得到的参数范围，只是不等式恒成立的必要条件。接下来需要证明在这个初步范围内，不等式在整个区间上确实恒成立，也就是进行充分性的验证。 求导分析函数单调性：对函数求导，得到，通过分析导数的正负来确定函数的单调性。若，则函数在相应区间上单调递增；若，则函数在相应区间上单调递减。 确定函数最值：根据函数的单调性，确定函数在区间$[a,b]$上的最值。如果函数单调递增，则最小值为，最大值为；如果函数单调递减，则最小值为，最大值为。 验证充分性：在初步得到的参数范围内，判断函数的最值是否满足不等式条件。若满足，则说明在这个参数范围内不等式恒成立，此时就是参数的取值范围；若不满足，则需要进一步缩小参数范围进行讨论。3.特殊情况处理有时候，通过端点效应得到的初步范围可能并不准确，或者函数在端点处的情况比较特殊，需要特殊处理。 端点处导数为零：若，则需要进一步分析函数在端点附近的高阶导数情况，判断函数的凹凸性等性质，以确定函数在端点附近的变化趋势。 分段讨论：当函数的单调性在区间内发生变化时，可能需要对区间进行分段讨论，分别确定每一段上函数的单调性和最值情况例题精选例题精选【例题1】（2024·广东江苏·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．【例题2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．【例题3】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．相似练习相似练习【相似题1】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；【相似题2】（2020·全国I卷·高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【题型2：凹凸反转】知识讲解知识讲解凹凸反转的定义凹凸反转是解决导数中一类不等式恒成立问题的有效方法。当直接处理不等式（或）恒成立问题比较困难时，可以尝试将不等式变形为的形式，使得函数为凸函数，函数为凹函数，然后分别研究这两个函数的最值情况，通过比较它们的最值来解决不等式恒成立问题。解题思路1.不等式变形对于给定的不等式（或），将其移项变形为（或）的形式，其中和是通过合理拆分和得到的，并且要使得为凸函数，为凹函数。判断函数凹凸性的方法是对函数求二阶导数： 若函数的二阶导数，则函数是凸函数。 若函数的二阶导数，则函数是凹函数。2.分别求最值 求凸函数的最小值：对求一阶导数，令，求出可能的极值点。再通过分析在极值点两侧的正负性，确定的单调性，进而求出在给定区间上的最小值。 求凹函数的最大值：对求一阶导数，令，求出可能的极值点。同样分析在极值点两侧的正负性，确定的单调性，从而求出在给定区间上的最大值。3.比较最值比较和的大小： 如果，那么不等式在给定区间上恒成立。 如果，那么不等式在给定区间上恒成立。例题精选例题精选【例题1】设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x1)+2.(1)求

(2)证明:【例题2】已知函数，直线与曲线相切.（1）求实数的值；（2）若函数与在其公共定义域内满足，则称与存在临界线.证明：与存在临界线.相似练习相似练习【相似题1】设函数，证明.【相似题2】设函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立．【题型3：指数找奇偶对数单身狗】知识讲解知识讲解1.基本概念指数找基友：在处理含有指数函数的导数问题时，常常将指数函数与其他函数相乘或相除，构造出一个新的函数，使得求导后的式子更加简洁，便于分析函数的单调性、极值等性质。例如，对于函数，对其求导可得，这样可以利用恒大于的性质，通过分析的正负来确定的单调性。对数单身狗：当遇到含有对数函数的导数问题时，尽量将对数函数单独放在一边，构造出形如或等形式的函数。这样做的目的是避免对数函数与其他函数相乘或复合后求导过于复杂，方便后续对函数进行分析和求解。2.解题思路指数找基友 第一步：观察式子：分析题目中给出的函数表达式，看是否存在指数函数与其他函数的组合形式，如果没有，考虑能否通过变形构造出这样的形式。 第二步：构造函数：根据需要，将指数函数与合适的函数进行组合，构造出便于求导和分析的新函数。例如，若原函数为，可构造，这样求导后可以利用的性质进行分析。 第三步：求导分析：对构造后的函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性、极值等情况，进而解决问题。如对求导得，然后分析的正负来确定的单调性。对数单身狗 第一步：分离对数：观察函数表达式，将对数函数与其他函数尽可能地分离开来。例如，对于函数，可以考虑将其变形为，使对数函数与其他部分相对独立。 第二步：构造函数：根据分离后的形式，构造合适的函数。比如对于，可设，然后单独研究的性质。 第三步：求导分析：对构造的函数求导，通过导数研究其单调性、极值等。对求导得，根据的正负确定的单调性，进而分析原函数的性质，解决相关问题，如求函数的最值、判断函数的零点个数等。例题精选例题精选【例题1】（2018·全国II卷·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.