2025年统计学专业期末考试题库-基础概念题精讲与巩固

2025年统计学专业期末考试题库——基础概念题精讲与巩固考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、概率论与数理统计基础知识要求：掌握概率论的基本概念、数理统计的基本方法，能够进行基本的概率计算和参数估计。1.下列哪些事件是随机事件？（1）掷一枚硬币，得到正面。（2）随机选取一个数，得到3。（3）太阳从西边升起。（4）任意抛掷一枚骰子，得到6。2.设事件A和事件B相互独立，则下列哪些结论成立？（1）P(A∩B)=P(A)P(B)（2）P(A∪B)=P(A)+P(B)（3）P(A|B)=P(A)（4）P(AB)=P(A)P(B)二、离散型随机变量要求：理解离散型随机变量的概念，掌握概率分布列、期望、方差等基本性质，能够计算随机变量的概率和分布。3.设随机变量X的分布列为：|X|1|2|3||----|----|----|----||P|0.1|0.2|0.7|求：（1）随机变量X的期望；（2）随机变量X的方差；（3）随机变量X取值为2的概率。4.设随机变量X～B(3,0.5)，求：（1）随机变量X取值为2的概率；（2）随机变量X的期望；（3）随机变量X的方差。三、连续型随机变量要求：理解连续型随机变量的概念，掌握概率密度函数、期望、方差等基本性质，能够计算随机变量的概率和分布。5.设随机变量X的概率密度函数为：f(x)={3x^2,0≤x≤1{0,其他求：（1）随机变量X的期望；（2）随机变量X的方差；（3）随机变量X取值在0到0.5之间的概率。6.设随机变量X～N(μ,σ^2)，其中μ=2，σ=1，求：（1）随机变量X取值在1到3之间的概率；（2）随机变量X的期望；（3）随机变量X的方差。四、参数估计要求：掌握点估计和区间估计的基本方法，能够根据样本数据估计总体参数。7.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从总体中抽取了一个样本容量为n=16的简单随机样本，样本均值为10，样本方差为4。求：（1）总体均值μ的95%置信区间；（2）总体方差σ^2的90%置信区间。8.设总体X服从二项分布B(n,p)，从总体中抽取了一个样本容量为n=30的简单随机样本，样本成功次数为x=18。求：（1）总体成功概率p的95%置信区间；（2）总体方差np(1-p)的90%置信区间。五、假设检验要求：理解假设检验的基本原理，掌握单样本和双样本的t检验、F检验等基本方法，能够进行假设检验。9.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，从总体中抽取了一个样本容量为n=20的简单随机样本，样本均值为10，样本标准差为2。假设总体均值μ=9，进行单样本t检验，显著性水平α=0.05，求：（1）检验统计量；（2）拒绝域；（3）检验结果。10.设两个总体X和Y分别服从正态分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，从两个总体中分别抽取了样本容量为n1=15和n2=20的简单随机样本，样本均值分别为x̄1=10和x̄2=12，样本标准差分别为s1=2和s2=3。假设σ1^2=σ2^2，进行双样本t检验，显著性水平α=0.05，求：（1）检验统计量；（2）拒绝域；（3）检验结果。六、回归分析要求：理解回归分析的基本概念，掌握线性回归模型的建立、参数估计和假设检验，能够进行线性回归分析。11.设某城市居民年消费支出（Y）与年收入（X）之间的关系如下：Y=2.5X+5根据样本数据，建立线性回归模型，求：（1）回归系数b和a的估计值；（2）回归方程的标准误差；（3）模型的拟合优度R^2。12.设某产品产量（Y）与投入的劳动力（X）之间的关系如下：Y=3X^2-2X+4根据样本数据，建立二次回归模型，求：（1）回归系数b1、b2和a的估计值；（2）回归方程的标准误差；（3）模型的拟合优度R^2。本次试卷答案如下：一、概率论与数理统计基础知识1.（1）（2）是随机事件，因为掷硬币得到正面和随机选取一个数得到3都是可能发生也可能不发生的事件。而太阳从西边升起是不可能发生的事件，掷一枚硬币得到正面和随机选取一个数得到3是随机事件。2.（1）（4）成立。因为事件A和事件B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)P(B)，P(AB)=P(A)P(B)。而P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。二、离散型随机变量3.（1）随机变量X的期望E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.7=2.3。（2）随机变量X的方差Var(X)=(1-2.3)^2×0.1+(2-2.3)^2×0.2+(3-2.3)^2×0.7=0.91。（3）随机变量X取值为2的概率P(X=2)=0.2。4.（1）随机变量X取值为2的概率P(X=2)=3×(0.5)^2×(1-0.5)^2=0.375。（2）随机变量X的期望E(X)=np=3×0.5=1.5。（3）随机变量X的方差Var(X)=np(1-p)=3×0.5×(1-0.5)=0.75。三、连续型随机变量5.（1）随机变量X的期望E(X)=∫(0to1)3x^2dx=[x^3]from0to1=1。（2）随机变量X的方差Var(X)=∫(0to1)(3x^2-1)^2dx=[x^4-2x^2+1]from0to1=0。（3）随机变量X取值在0到0.5之间的概率P(0≤X≤0.5)=∫(0to0.5)3x^2dx=[x^3]from0to0.5=0.125。6.（1）随机变量X取值在1到3之间的概率P(1≤X≤3)=∫(1to3)(2/√(2π))e^(-((x-2)^2)/(2×1^2))dx。（2）随机变量X的期望E(X)=μ=2。（3）随机变量X的方差Var(X)=σ^2=1。四、参数估计7.（1）总体均值μ的95%置信区间为：(10-1.96×(4/√16),10+1.96×(4/√16))=(9.2,10.8)。（2）总体方差σ^2的90%置信区间为：(4/16-1.645×(4/√16),4/16+1.645×(4/√16))=(0.8,4.2)。8.（1）总体成功概率p的95%置信区间为：(18/30-1.96×(√(18/30)×(1-18/30)/30),18/30+1.96×(√(18/30)×(1-18/30)/30))=(0.48,0.72)。（2）总体方差np(1-p)的90%置信区间为：(18/30×(1-18/30)/30-1.645×(√(18/30)×(1-18/30)/30),18/30×(1-18/30)/30+1.645×(√(18/30)×(1-18/30)/30))=(0.05,0.23)。五、假设检验9.（1）检验统计量t=(10-9)/(2/√20)=1.5。（2）拒绝域为：t<-1.96或t>1.96。（3）检验结果：因为1.5不落在拒绝域内，所以不能拒绝原假设，即总体均值μ=9。10.（1）检验统计量t=[(x̄1-x̄2)-(μ1-μ2)]/√[(s1^2/n1)+(s2^2/n2)]=0.4。（2）拒绝域为：t<-1.96或t>1.96。（3）检验结果：因为0.4不落在拒绝域内，所以不能拒绝原假设，即两个总体均值相等。六、回归分析11.（1）回归系数b=2.5，a=5。（2）回归方程的标准误差=√[1/n+(x̄-X̄)^2/SXX]=√[1/16+(10-10)^2/20]=√[1/16]=0.25。（3）模型的拟合优度R^2=1-(SSres/SStot)=1-[(10-2.5×10-5)^2/20]/[(10-2.5×10)^2/16+(2.5×10-5)^2/16]=0.9375。12.（1）回归系数b1=6，b2=-2，a=4。（2）回归方程的标准误差=√[1/n+(x̄-X̄)^2/S