六章微分方程模型

第六章微分方程模型第1页一、经济增加模型第2页发展经济、提升生产力主要有以下伎俩：增加投资、增加劳动力、技术革新.本节模型将首先建立产值与资金、劳动力之间关系，然后再研究资金与劳动力最正确分配，使投资效益最大，最终讨论怎样调整资金与劳动力增加率，使劳动生产率得到有效增加.第3页1.Douglas生产函数用分别表示某一地域或部门在时刻产值、资金和劳动力，相互关系为⑴其中为待定函数，对于固定时刻上面函数简记为第4页现来探讨函数详细表示式，引入记号分别表示每个劳动力产值和投资。有以下假设：伴随增加而增加，但增加速度递减。从而能够假设为⑵第5页函数满足上面要求，常数可看成是技术作用。将上面形式代入到⑴中，即：⑶由⑶式知函数有以下性质：⑷第6页⑷式详细意义是：产值是资金和劳动力递增函数，但增加率逐步下降（即加速度为负数）.（见前图）记表示单位资金创造产值（又称为对资金边际产值）；表示单位劳动力能创造产值（又称为对劳动力边际产值）.则从⑶式得到⑸第7页⑸详细意义是：是资金在产值中占有份额，是劳动力在产值中占有份额。所以大小直接反应了资金、劳动力二者对于创造产值轻重关系。⑶式是经济学中著名Cobb-Douglas生产函数，更普通形式是第8页2.资金与劳动力最正确分配本段依据⑶式讨论，怎样分配资金与劳动力，使生产创造效益到达最大。假定资金来自贷款，利率为每个劳动力都要支付工资因而总效益为则对应问题转化为资金与劳动力分配百分比（即每个劳动力占有资金），使效益为最大。⑹第9页此问题由微分法可得到（为一个求极值问题）。在⑹式两边对求导，并令其为零，则有⑺再由⑸式；可得到此即为资金与劳动力最正确分配。⑻第10页例取则由关系得第11页3.劳动生产率增加条件衡量经济增加指标：总产值和每个劳动力产值这个模型讨论就是满足什么条件才能使保持增加？第12页假设1.投资增加率与产值成正比，百分比系数2.劳动力相对增加率为常数注：这两个条件数学表示式分别为：⑼第13页方程⑼解为将代入得到又因再由⑼式，两边求导,得比较上面两个式子，就有第14页此方程为Bernoulli方程，其解为⑽其中以下依据⑽式来研究保持增加条件。第15页1)增加由条件及得其中以⑽代入，可知条件等价于第16页⑾注意到上式右端大于所以当（即劳动力不降低）时，上式总成立；而当时，上式成立条件是此说明在劳动力降低条件下，产值只能在短时间内增长，同时注意到，若⑿第17页则不存在这么时间。2)增加由条件得再由知因为：第18页所以当时，该条件成立，而当时，此条件等价于此条件意义是:劳动力增加率小于初始投资增加率.第19页二、香烟过滤嘴作用问题烟草企业普遍地在香烟尾部装上一截过滤嘴，不过过滤嘴作用有多大，和使用材料有什么直接关系？在这一段中，我们建立对应数学模型来详细讨论这个问题。第20页分析吸烟时毒物吸入人体过程大致为：因为毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行，在穿行过程中又部分地被未点燃烟草和过滤嘴吸收而沉淀下来，剩下进入人体。被烟草吸收而沉淀下来那一部分毒物，当香烟燃烧到那里时候又经过烟雾部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直到香烟燃烧到过滤嘴处为止。第21页在整个过程中，原来分布在烟草中毒物除了进入空气和被过滤嘴吸收一部分外，剩下全部被人体吸入.第22页模型假设

1.烟草和过滤嘴长度分别是，毒素（毫克）均匀地分布在烟草中，密度为2.点燃处毒物随烟雾进入空气和沿烟草穿行数量百分比是3.未点燃烟草和过滤嘴对烟雾穿行毒物吸收率分别是常数第23页4.烟草沿香烟穿行速度是常数香烟燃烧速度是常数且将一支烟吸完后毒物进入人体总量记为常识告诉我们，量与过滤嘴吸收率、烟草中毒物初始含量相关，所以降低含量及降低烟雾在香烟总穿行速度都是降低吸入量有效方法。第24页模型建立设在时刻及处点燃香烟，为此建立对应坐标系统：吸入毒物量由毒物穿过香烟流量确定，后者又与毒物在烟草中密度相关，为此定义函数：毒物流量表示在时刻时单位时间经过香烟截面处毒物量；第25页毒物密度表示时刻截面处单位长度烟草中毒物含量。假如知道了流量函数，吸入毒物流量就是处流量在吸一支烟时间内总和。即下面分4个过程来计算值。⑴第26页1.在瞬间由烟雾携带毒物在单位时间内经过处数量由假设4知在香烟点燃处静止不动。记考查所对应一段香烟，毒物经过和处流量分别是和则依据守恒定律，这两个流量之差等于这一段未点燃烟草或过滤嘴毒物吸收量，由假设2及4，有第27页其中是烟雾穿过长度为这一段香烟所需要时间，令则有微分方程：⑵在处点燃烟草单位时间内放出毒物量记作第28页依据假设1、3、4，则可得微分方程2初始条件为求解微分方程⑵。首先由方程及初始条件方程通解为再由初始条件得从而得到方程解为⑶第29页对于方程及初始条件一样可得方程解为第30页即方程解能够表示为⑷第31页2.在香烟燃烧任何时刻求毒物在单位时间内通过数量因为在时刻时，香烟燃至处，记此时点燃烟草在单位时间放出毒物量为则仿1可得⑸⑹第32页3.确定因为在吸烟过程中，未点燃烟草不停得吸收烟雾中毒物，所以毒物在烟草中密度由初始值逐步增加。考查烟草截面处于时间内毒物密度增量依据守恒定律它等于在单位长度烟雾中毒物被吸收部分，由假设4，则有第33页令并将⑸、⑹代入得方程此方程为偏微分方程，该方程解为第34页⑼其中（由假设2）第35页4.计算将⑼代入⑺中，得⑽最终将⑽代入⑴式作定积分得：⑾第36页为便于对结果分析，将上式写成⑿记则⑿式可写成⒀式即是我们需要最终，该式表示了吸入量与等原因之间关系。第37页结果分析1.与烟草含毒物量、毒物随烟雾沿香烟穿行百分比成正比。能够构想为将毒物集中在处，则吸入量为2.因子表达了过滤嘴对降低毒物进入人体作用，提升过滤嘴长度及吸收率降低穿行速度也可降低吸入量。第38页3.因子表示是未点燃烟草对毒物吸收而起到降低作用。依据实际数据有则第39页4.比较为了比较过滤嘴作用，取两支香烟作比较，两支香烟长度均为一支带过滤嘴，长度为吸入量分别为则有可见只要过滤嘴就表达了对应作用。第40页第41页三、烟雾扩散和消失问题提出一颗炮弹在平原上爆炸，放出烟雾以爆炸点为中心向四面快速扩散，形成一个近似于圆形不透光区域。因为这个这个区域逐步增大，其边界逐步明亮起来，不透光区域逐步变小，最终烟雾完全消失。本节建立一个对应数学模型来描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与哪些原因相关。第42页问题分析爆炸引发烟雾传输能够看成是无穷空间由瞬时点源造成扩散过程。能够用二阶抛物型偏微分方程描述烟雾浓度改变规律。整个建模过程应该包含能够：烟雾浓度改变规律；穿过烟雾光强度改变规律，仪器区分亮暗灵敏度描述；不透光区域边界改变过程等。第43页模型假设1.炮弹爆炸看作是在空中某一点向四面等强度地瞬时释放烟雾，烟雾在空间扩散，不计风力和大地影响；2.烟雾传输遵从扩散定律：即单位时间经过法向面积流量与它浓度成正比；3.光线穿过烟雾时其强度因为烟雾吸收而降低,单位距离上光强相对降低许与烟雾浓度成正比,没有烟雾第44页大气对光线吸收作用忽略不记；4.在烟雾扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观察仪器标准光强保持不变，对于穿过烟雾而进入仪器光强观察结果只有亮暗之分，仅当时观察结果为量。称为仪器灵敏度。第45页建模将爆炸时刻记为爆炸点设为坐标原点。在时刻时空间中任一点烟雾浓度记为由假设2，单位时间经过单位法向面积流量⑴其中是扩散系数，负号表示由浓度高向浓度低地方扩散。设空间区域体积为包围曲面为外法向量为则在时间区间内，经过第46页流量为⑵而烟雾增量为⑶由质量守恒定律，知由高斯公式，有第47页由积分中值定理得：⑷⑸再由假设1，初始条件为在坐标原点点源函数，记为第48页其中表示烟雾总量，是单位强度点源函数。方程⑸解为方程讲解明：在任何时刻烟雾浓度函数等值面为球面而且当时，⑹第49页2.穿过烟雾光强改变规律考查沿一定方向穿过烟雾光线，此方向长度坐标记为烟雾浓度为光强为由假设3，则有是烟雾对光线吸收系数，光线未进入烟雾时强度记作即⑺则方程⑺在条件⑻下解为⑻第50页⑼第51页3.仪器灵敏度与不透光区域边界注意到，烟雾浓度在空间中是连续改变，穿过烟雾而进入仪器光强也是连续改变，之所以会观察到烟雾扩散时不透光区域边界有一个先大后小、最终消失过程，是因为仪器观察结果只有亮暗之分。亮暗分界限由灵敏度决定。由假设4仅当观察结果为亮。⑽第52页由假设3，光强穿过没有烟雾大气时其衰减能够忽略，因而无须对它与直接进入仪器标准光强加以区分，从而⑽式中光强能够由⑼式进行计算。为方便起见，取沿着轴光线，不妨设光源（太阳）在处而仪器在处，则⑽能够写成⑾第53页因为等值面为球面，所以仪器观察到投影在平面上不透光区域边界是圆周，记作其中圆半径由⑾式确定.第54页4.不透光区域边界改变规律对⑾式取对数，并利用一次近似则⑾式可化为于是不透光区域边界由确定，将⑹式中代入上式并进行积分,并⑿⒀第55页利用公式可得以代入上式,有⒁⒂第56页结果分析由⒂式可大致画出函数曲线,而且能算出当时不透光区域半径到达最大当⒃⒄第57页时,即此时烟雾完全消散.⒃,⒄式表明与烟雾施放量和烟雾对光线吸收系数成正比,与扩散系数和系统灵敏度成反比.再从最终两式能够得到此说明当知道后,可预测烟雾完全消失时刻第58页四、万有引力发觉历史背景15世纪下半叶开始,欧洲商品经济繁荣促进了航海事业发展.哥伦布新大陆发觉,麦哲伦环球远航,引发了社会普遍关注.当初远洋航船方位全考星球位置来确定.在强大社会需要推进下,天文观察准确程度不停提升.在大量实际观察数据面前,一直处于天文学统治地位“地心说”开始摇动了.第59页波兰天文学家哥白尼在天文观察基础上,冲破宗教统治和“地心说”束缚,提出“日心说”.这是天文学乃整个科学一大革命.不过因为历史条件和科学水平限制,哥白尼理论还有些缺点.他接收了圆周运动是最完美天体运动形式概念,认为行星绕太阳运行轨道是圆形.意大利物理学家伽利略不但用观察方法证实了哥白尼学说,而且用试验方法发觉了落体定律和惯性原理,揭示了物体在不受阻扰时作匀速直线运动规律.第60页德国天文学家、数学家开普勒在第谷.布拉赫对于行星运动大量观察资料基础上用数学方法研究发觉,火星实际位置与按哥白尼理论计算位置相差8弧分.经过对观察数据长久深入分析,开普勒终于归纳出著名所谓行星运动三大定律:即各颗行星分别在不一样椭圆轨道上绕太阳运行,太阳位于这些椭圆一个焦点上;每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过第61页面积是一个常数;各颗行星运行周期平方与其轨道长半轴3次方