湖北省十堰市房县一中2025年高考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省十堰市房县一中2025年高考数学模拟试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−4x−5≤0}，集合B={x||x−4|≤1}，则A∩B=A.(3,5) B.[3,5) C.[4,5] D.[4,5)2.已知a，b∈R，下列选项中，使ab>0成立的一个充分不必要条件是(

)A.a>0或b>0 B.a>10且b>2

C.a，b同号且不为0 D.a+b>0或ab>03.已知数列{an}为递增数列，前n项和Sn=nA.(−∞,2] B.(−∞,2) C.(−∞,0] D.(−∞,0)4.已知sinα=255,α为钝角，tanA.57 B.−57 C.75.已知函数f(x)=lnx,x>0ex+32,x≤0，若关于x的方程A.(32,+∞) B.(−∞,32]∪(6.已知a，b均为正数，且a+2b=1，则2a+4a+bbA.11 B.13 C.10 D.127.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为BC1和C1D1的中点，P为线段BD1上的动点，Q为上底面A1B1C1D1内的动点，下列判断正确的是(

)

①三棱锥P−BA.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若满足|MA.34 B.33 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A−，B−分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是(

)A.P(B|A)+P(B−|A)=1

B.P(B|A)+P(B|A−)=0

C.若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)

D.10.已知A(1,−4)，M，N是抛物线C：y2=2px上三个不同的点，C的焦点F是△AMN的重心，则(

)A.C的准线方程是x=−4 B.过C的焦点的最短弦长为8

C.以MN为直径的圆与准线相离 D.线段MN的长为1911.如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上n级台阶的方法数为an，则下列结论正确的有(

)A.a6=13 B.an+2=an三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(x−12x2)n的二项展开式中只有第513.设x=θ是函数f(x)=3sinx−cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ=14.如图，一块边长为10m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为______m3．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足an(2Sn−an)=n,n∈16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=12BC=1，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；

(2)试求BF的长，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为45°17.(本小题12分)

甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n(n∈N∗)次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为Xn，甲盒中恰有2个黑球的概率为pn，恰有3个黑球的概率为qn．

(1)求p1，q1；

(2)设cn=pn18.(本小题12分)

已知函数f(x)=e2x+(2−2a)ex−a(2x+1)，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设g(x)=mx−lnx+1，若a=1，且对任意x1∈R，19.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率为2，过C上的动点M作曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A和B，△ABM的面积为3316．

(1)求曲线C的方程；

(2)如图，曲线C的左顶点为D，点N位于原点与右顶点之间，过点N的直线与曲线C交于G、R两点，直线l过N且垂直于x轴，直线DG、DR分别与l交于P、Q两点，若O

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：x−4x−5≤0⇔(x−4)(x−5)≤0x−5≠0⇔4≤x<5，

|x−4|<1⇔−1<x−4<1⇔3<x<5，

所以A=[4,5)，B=[3,5]，

所以A∩B=[4,5)．

故选：D．

解不等式确定集合A2.【答案】B

【解析】解：对于A：a>0或b>0不能够推出ab>0，故a>0或b>0不是ab>0的充分条件，故A错误，

对于B：a>10且b>2，能够推出ab>0，ab>0不能够推出a>10且b>2，故a>10且b>2，是ab>0的充分不必要条件，故B正确，

对于C：a，b同号且不为0⇔ab>0，故a，b同号且不为0是ab>0的充要条件，故C错误，

对于D：a+b>0或ab>0与ab>0互相推不出，故a+b>0或ab>0与ab>0是既不充分也不必要条件，故D错误．

故选：B．

根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．3.【答案】B

【解析】解：当n=1时，a1=S1=1+1+λ=2+λ，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+n+λ−(n−1)2−(n−1)−λ=2n，

因为an+1−an=2>0，(n≥2)，

所以当n≥2时，数列{an}为递增数列，

若数列{an}为递增数列，

只需a2>a4.【答案】D

【解析】解：∵sinα=255,α为钝角，

∴cosα=−1−sin2α=−1−(255)2=−5.【答案】C

【解析】解：关于x的方程m−f(x)=0有两个不同的实数根，

即y=m与y=f(x)有两个不同的交点，

作函数y=m与函数y=f(x)的图象如下，

结合图象知，

当y=m与y=f(x)有两个不同的交点时，32<m≤52；

故选：C．

两个实数根可化为函数y=m与函数y=f(x)6.【答案】A

【解析】解：2a+4a+bb=2(a+2b)a+4a+bb=3+4(ba+a7.【答案】A

【解析】解：如图(1)所示：

因为点E为BC1的中点，又由F是C1D1的中点，所以EF/​/BD1，

又点P为BD1上的动点，所以点P到直线EF的距离等于点E到BD1的距离，

所以点P到直线EF的距离等于点C1到直线BD1的距离的一半，

因为正方体的棱长为4，可得C1D1=4,BC1=42,BD1=43，

因为C1D1⊥面BB1C1C，且BC1⊂面BB1C1C，所以C1D1⊥BC1，

可得点C1到直线BD1的距离为4×4243=463，所以点P到直线EF的距离263，

所以△EFP的面积为S△EFP=12×23×263=22，

由B1E⊥BC1，C1D1⊥B1E，且BC1∩C1D1=C1，

所以B1E⊥平面EFP，且B1E=22，

所以三棱锥P−B1EF的体积为VP−B1EF=VB1−EFP=13×22×22=83，所以①正确；

建系如图(2)所示：

则D(0,0,0)，B(4,4,0)，8.【答案】B

【解析】解：如图，

由|MF2|+|MN|+|NF2|=4a|MF2|+|NF2|=2|MN|，得到|MN|=4a3，

设|MF2|=4a3−d，|NF2|=4a3+d，

在△MF2N中，由余弦定理得，

(4a3−d)2+(4a3+d)2−(4a3)2=2(4a39.【答案】AC

【解析】解：P(B|A)+P(B−|A)=P(AB)+P(AB−)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；

当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A−)=2P(B)≠0，故B错误；

当A，B是相互独立事件时，P(AB)=P(A)P(B)，

∴P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；

∵A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式得P(B|A)=0，

而P(B)∈(0,1)，故D错误．10.【答案】AC

【解析】解：已知A(1,−4)是抛物线C：y2=2px上的点，

则16=2p，

即抛物线方程为y2=16x，

对于A，由抛物线方程为y2=16x，

则F(4,0)，准线方程是x=−4，故A正确；

对于B，当过抛物线的焦点且与x轴垂直时弦长最短，

把x=4代入y2=16x，

得|y|=8，

所以此时弦长为16，

故B错误；

对于C，D，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

又A(1,−4)，F(4,0)，

由重心的坐标公式得x1+x2+13=4y1+y2−43=0，

即x1+x2=11y1+y2=4，

所以MN的中点坐标为(112,2),|MF|+|NF|=11.【答案】ABD

【解析】解：对于B选项：由于到第n+2级阶梯有两种方法：从第n+1级阶梯上一级台阶或者从第n级阶梯上两级台阶，

因此由题意有an+2=an+an+1，故B选项正确；

对于A选项：显然a1=1，a2=1+1=2，又结合B选项分析可知an+2=an+an+1，

所以a3=2+1=3，a4=3+2=5，a5=5+3=8，a6=8+5=13，故A选项正确；

对于C选项：由A、B选项分析可知a1=1，a2=1+1=2，a3=2+1=3，a4=3+2=5，

a5=5+3=8，a6=8+5=13，a712.【答案】−7

【解析】解：因为(x−12x2)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，

所以n2+1=5⇒n=8，

二项式(x−12x2)8的通项公式为Tr+1=C8r⋅x13.【答案】−2【解析】解：f′(x)=3cosx+sinx，

∴f′(θ)=3cosθ+sinθ=0，∴tanθ=−3．

∴sin2θ+2cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θcos2θ+sin14.【答案】1000【解析】解：设正四棱锥的底面边长为2x，则高为25−x2，

∴该容器的体积V=43x225−x2=4312x15.【答案】(1)解：正项数列{an}，其前n项和Sn满足an(2Sn−an)=n,n∈N∗．

可得Sn=12(an+nan)，

当n=1时，S1=12(a1+1a1)【解析】(1)当n≥2时，利用an=Sn−Sn−1，可得16.【答案】证明见详解；

当BF=2−102时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为【解析】解(1)证明：

∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，

∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

∵AE⊂平面PAB，

∴AE⊥BC，∵PA=AB，E为线段PB的中点，

∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面PBC．

(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(12,0,12)，

∴AE=(12,0,12)，PC=(1,2,−1)，PD=(0,2,−1)，

设F(1,λ,0)(0≤λ≤2)，∴AF=(1,λ,0)，

设平面AEF的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，

则n⋅AE=0n⋅AF=0，∴x1+z1=0x1+λy1=0，

令y1=1，则x1=−λz1=λ，

∴n=(−λ,1,λ)，

设平面PCD的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，

则m⋅PC=0m⋅PD=0，17.【答案】解：(1)由题可知：p1=23⋅23+13⋅13=59，q1=13⋅23=29；

证明：(2)n次操作后，甲盒有一个黑球的概率P(Xn=1)=1−pn−qn，由全概率公式知：

P(Xn+1=2)=P(Xn=1)P(Xn+1=2|Xn【解析】(1)交换后甲盒有2黑球，说明两个盒子相互交换1个白球或者交换1个黑球，若交换后甲盒有3黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；

(2)根据全概率公式进行求解；

(3)根据(2)的结论和期望公式进行求解即可．

本题主要考查了全概率公式，考查了期望的定义，属于中档题．18.【答案】当a≤0时，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；

[1e【解析】解：(1)f′(x)=2e2x+(2−2a)ex−2a=2(ex+1)(ex−a)，

①当a≤0时，因为ex>0，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；

②当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna，

由f′(x)>0⇒x∈(lna,+∞)，