江西省南昌市2025届高三（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页江西省南昌市2025届高三（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设α，β为两个不同的平面，则α//β的一个充分条件是(

)A.α内有无数条直线与β平行 B.α，β平行于同一个平面

C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一个平面2.已知复数z满足iz=3+4i，则|z|=(

)A.2 B.2 C.5 D.3.已知集合A={x||x−1|<3},B={x|y=x2−4}A.[2,4] B.[2,4) C.[−2,4) D.(−∞,4)4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，2acosC+2ccosA=3a，则a=(

)A.2 B.3 C.43 D.5.如图是江西省博物馆中典藏的元青白釉印花双凤纹碗，高5.7cm，口径19cm，若将该碗的内表面近似于一个球面的一部分，则这个球的半径近似于(

)A.9.6cm

B.9.8cm

C.10.2cm

D.10.8cm6.已知α、β终边不重合，sinα−3cosβ=sinβ−3cosα，则tan(α+β)=(

)A.32 B.23 C.437.将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数y=1x，“对勾”函数y=x+1x，“飘带”函数y=x−1x等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转而得.现将双曲线C1：x2A.233 B.213 8.已知函数f(x)满足f(x−y)f(y)=2f(x)，f(x)≠0且f(1)=4，则f(2−x)+f(x)的最小值为(

)A.4 B.22 C.8 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是(

)A.a=0.08 B.估计准确率的30%分位数为90%

C.估计准确率的平均数为90% D.估计准确率的中位数为92.5%10.已知f(x)=x3+ax2+bx−2.不等式f(x)<2的解集为{x|x<1A.函数f(x)的极大值点为1

B.函数f(x)的对称中心为(−1,0)

C.过点(−1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切

D.当−2<x<−1211.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：y22+sinx=1就是其中之一，下列选项中关于曲线CA.当x∈[−8,8]时，曲线C与x轴有4个交点

B.曲线C的图象关于x=π2对称

C.当x∈[0,π2]时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值小于72

D.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=2x,(x≥0)x+2,(x<0)，若f(a)=4，则a=13.已知向量a=(1,−2)，a⋅b=5，则14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品，则不同的取法数有______种.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的正方形，BC1=27,AB=216.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=4x，过点D(4,0)作斜率大于0直线l与曲线C交于A、B两点.原点O关于AB的对称点为记为M点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当M在抛物线C上时，求△ABM的面积．17.(本小题15分)

为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是23；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是14，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是12．

(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；

(2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；

(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X18.(本小题17分)

已知f(x)=xax−ex+1(a>1)．

(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当a≥e时，求证：f(x)≥0；

(3)19.(本小题17分)

对于共k项的等差数列{an}(公差不为0)各项重新排列得到新数列{bn}，若{bn}中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列{bn}是等差数列{an}的“无均数列”．

(1)若k=4，写出等差数列{an}(公差不为0)的4个不同的“无均数列”；

(2)答案和解析1.【答案】B

【解析】A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误；

B选项，α，β平行于同一个平面，则α/​/β，B选项正确；

C选项，α，β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误；

D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误．

故选：B．

利用线面，面面平行，垂直的判定及性质对各个选项进行分析即可得到答案．

本题考查了线面，面面平行，垂直的判定及性质，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：由iz=3+4i，得z=3+4ii，

可得|z|=|3+4ii|=|3+4i||i|=5．

故选：3.【答案】B

【解析】解：由题意可知，A={x|−2<x<4}．

已知集合B={x|y=x2−4}，则x2−4≥0.解得x≥2或x≤−2．

所以集合B={x|x≤−2或x≥2}，可得A∩B={x|2≤x<4}，即A∩B=[2,4)．

故选：B．

分别求解集合A4.【答案】A

【解析】解：根据题意可知，acosC+2ccosA=3a，

根据正弦定理，可得2sinAcosC+2sinCcosA=3sinA，所以2sin(A+C)=3sinA，

又因为A+C=π−B，所以sin(A+C)=sinB，所以2sinB=3sinA，

根据正弦定理，可得2b=3a，即a=23b，

因为b=3，所以a=2．

故选：A．

根据题意，由正弦定理化简得到2sin(A+C)=3sinA，进而得到2sinB=3sinA，再由正弦定理，得到2b=3a，即可求得5.【答案】D

【解析】解：因为碗的口径为19cm，

所以碗口所在截面圆的半径r=192=9.5cm．

设球的半径为Rcm，碗高ℎ=5.7cm．

根据勾股定理可得9.52+(R−5.7)2=R2．

解得6.【答案】D

【解析】解：因为sinα−3cosβ=sinβ−3cosα，所以sinα−sinβ=3(cosβ−cosα)，

所以2cosα+β2sinα−β2=6sinα+β2sinα−β2，

因为α、β的终边不重合，则α−β≠2kπ(k∈Z)，则α−β2≠kπ(k∈Z)，

所以sinα−β2≠0，则3sinα+β2=cosα+β2，所以7.【答案】B

【解析】解：“飘带”函数y=x43−1x的渐近线为y=143x与y轴，

设两渐近线夹角为α(0<α<π2)，则tan(π2−α)=143，

整理得tanα=43，又tanα=2tanα21−tan2α2，

∴2tanα21−8.【答案】C

【解析】解：函数f(x)满足f(x−y)f(y)=2f(x)，f(x)≠0且f(1)=4，

令y=0可得f(x)f(0)=2f(x)，因为f(x)≠0，则f(0)=2，

令x=2，y=1可得f(1)f(1)=2f(2)=16，解得f(2)=8，

令x=2可得f(2−y)f(y)=2f(2)=16，即f(2−x)f(x)=16，

令x=2y可得2f(2y)=f(y)f(y)，所以，f(x)=12[f(x2)]2>0，

所以，f(2−x)>0，f(x)>0，

由基本不等式可得f(2−x)+f(x)≥2f(2−x)⋅f(x)=216=8，

当且仅当f(x)=f(2−x)=4时，等号成立，当x=1时，等号成立，

所以，f(2−x)+f(x)的最小值为8．

故选：C．

利用赋值法得出f(0)=29.【答案】ABD

【解析】解：根据题意可得5×(0.02+0.04+0.06+a)=1，解得a=0.08，所以A选项正确；

因为前两个矩形的面积之和为5×0.02+5×0.04=0.3，

所以估计准确率的30%分位数为90%，所以B选项正确；

估计准确率的平均数为1100(82.5×0.1+87.5×0.2+92.5×0.4+97.5×0.3)=92%，所以C选项错误；

设中位数为m%，前三个矩形的面积之和为0.3+5×0.08=0.7，

所以m∈(90,95)，则0.3+(m−90)×0.08=0.5，解得m=92.5，

所以估计准确率的中位数为92.5%，所以D选项正确．

故选：ABD．

利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项．10.【答案】BCD

【解析】解：由于f(x)<2的解集为{x|x<1且x≠−2}，

所以x3+ax2+bx−4<0的解集为{x|x<1且x≠−2}，

因此x3+ax2+bx−4=0的根为x=1和x=−2，

得(x+2)2(x−1)=0，所以x3+3x2−4=0，

因此a=3b=0，那么函数f(x)=x3+3x2−2，得导函数f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，

令导函数f′(x)>0⇒x<−2或x>0，f′(x)<0⇒−2<x<0，

因此f(x)在(−∞,−2)，(0,+∞)上单调递增，在(−2,0)上单调递减，

因此x=−2是函数f(x)的极大值点，所以选项A错误；

根据选项A知函数f(x)=x3+3x2−2，

那么f(−2×1−x)=(−2−x)3+3(−2−x)2−2=−x3−3x2+2，

因此f(−2×1−x)+f(x)=2×0，

所以函数f(x)的一个对称中心为(−1,0)，所以选项B正确；

根据选项A知f(x)=x3+3x2−2，

设过点(−1,0)的切线方程为y=k(x+1)，设切点为(x0,x03+3x02−2)，

则k=3x02+6x0，k=x03+3x02−211.【答案】BCD

【解析】解：当x∈[−8,8]时，在C的方程中，令y=0，可得sinx=1，

所以x∈{−3π2,π2,5π2}，因此当x∈[−8,8]时，C与x轴有3个交点，所以选项A错；

在C上任取一点P(x,y)，那么点P(x,y)关于x=π2的对称点为Q(π−x,y)，

由于y22+sin(π−x)=y22+sinx=1，所以点Q也在曲线C上，

因此C的图象关于直线x=π2对称，所以选项B对；

当x∈[0,π2]时，在C上的一点P(x,y)，那么y2=2−2sinx，

那么|OP|2=x2+y2=x2−2sinx+2，其中0≤x≤π2，

令函数f(x)=x2−2sinx+2，其中0≤x≤π2，那么导函数f′(x)=2x−2cosx，

由于y=2x、y=−2cosx在[0,π2]上均为增函数，

因此导函数f′(x)在[0,π2]上为增函数，

由于f′(π4)=π2−2cosπ4=π2−2>0，f′(π6)=π3−2cosπ6=π3−3<0，

因此存在x0∈(π6,12.【答案】2

【解析】解：由函数f(x)=2x,(x≥0)x+2,(x<0)可知，

当a≥0时，f(a)=2a=4，解得a=2；

当a<0时，f(a)=a+2=4，解得a=2，与a<0矛盾，此时a无解．

所以a=2．

13.【答案】5【解析】解：已知向量a=(1,−2)，a⋅b=5，

设b=(x,y)，则a⋅b=x−2y=5，可得x=2y+5，

故|b|=x2+y2=(2y+5)2+y14.【答案】216

【解析】解：将这7个小球编号如下图所示：

分以下两种情况讨论：

第一种，将(1,2)、(4,5)、(6,7)视为三个整体，

前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取，有6种，

以1、2、5为例，可依次为(1,2,5)、(1,5,2)、(5,1,2)，共3种，

剩余3、4、6、7号球，先从4、7号球中摸一个，有2种情况，

比如先取7号球，剩余三个相邻的小球，接下来从4、6号球中取一个，有2种情况，

最后剩余两球摸取的先后顺序任意，

此时，不同的取法种数为6×3×2×2×2=144，

第二种，第一步，先取1、5、7号球，第二步，再取2、4、6号球依次取2个球，

最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为A33A32A22=72种；

综上所述，不同的取法种数为72+144=216种．15.【答案】证明见解析；

77【解析】解：(1)证明：因为侧面ACC1A1是边长为4的正方形，

所以CC1⊥AC，C1C=AC=4，

因为AB=2，AB⊥BC，

则BC=AC2−AB2=23，因为BC1=27,C1C=4，

所以CC12+BC2=BC12，即CC1⊥BC，

因为BC∩AC=C，BC、AC⊂平面ABC，

所以CC1⊥平面ABC，又CC1⊂平面ACC1A1，

所以平面ACC1A1⊥平面ABC；

(2)以直线AC，AA1为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AC=4,AB=2,BC=216.【答案】证明过程见解析；

85【解析】解：(1)证明：设直线l的方程为x=my+4(m>0)，A(x1,y1)、B(x2,y2)，

联立x=my+4y2=4x，消去x并整理得y2−4my−16=0，

此时Δ=16m2+64>0，

由韦达定理得y1y2=−16，y1+y2=4m，

所以x1x2=y12y2216=(−16)216=16，

则OA⋅OB=x1x2+y1y2=16+(−16)=0，

故OA⊥OB；

(2)因为原点O关于AB的对称点为记为M点，

此时x02−my02−4=0y0x0⋅1m17.【答案】2027；

13144【解析】解：(1)选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，

其概率为：p1=C32(23)2(13)+(23)3=2027；

(2)选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，

故概率为：p2=C32(2X020406080P8110854121所以E(X)=0×81256+20×108256+40×54256+60×12256+80×1256=20．

(1)选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中2个或3个，根据条件即可求解；

(2)选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，根据条件求解即可；

(3)18.【答案】减区间为(−∞,0)，增区间内为(0,+∞)；

证明见解析；

答案见解析．

【解析】解：(1)根据题目已知：f(x)=xax−ex+1(a>1)

当a=e时，f(x)=xex−ex+1，f′(x)=(x+1)ex−ex=xex，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数；

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,0)为减函数；

所以当a=e时，函数f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间内为(0,+∞)．

(2)证明：因为a≥e，当x≥0时，ax≥ex，所以xax≥xex，

当x<0时，ax≤ex，所以xax≥xex，所以xax−ex+1≥xex−ex+1，

设p(x)=xex−ex+1，由(1)可知p(x)≥p(0)=0，所以不等式f(x)≥0成立．

(3)解法一：f′(x)=(lna⋅x+1)ax−ex=ax((lna⋅x+1)−(ea)x)，

设φ(x)=(lna⋅x+1)−(ea)x，此时φ(0)=0，

则φ′(x)=lna−(1−lna)⋅(ea)x，

因为1<a≤e，所以0<lna≤12,ea>1，

则φ′(x)在R为减函数，φ′(0)=2lna−1，

①当a=e时，φ′(0)=0，结合φ′(x)在R为减函数，

当x∈(−∞,0)时，φ′(x)>0，φ(x)在(−∞,0)为增函数；

当x∈(0,+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,+∞)为减函数；

所以φ(x)≤φ(0)=0