矩阵理论 课件 第6章第3节矩阵的QR分解

矩阵的QR分解6.3在6.1节中，以初等变换为工具得到了矩阵的三角分解，但是这种方法并不能消除病态方程组不稳定的问题.本节将以酉变换为工具，给出矩阵的QR分解方法.它不仅为计算特征值的数值方法提供理论依据，并且是求解线性方程组的一个重要工具，因此在数值代数中起着重要作用．矩阵的QR分解定义6.4如果方阵可以分解成一个酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵的乘积，即

则称上式为的一个QR分解．矩阵的QR分解的三个常用方法：（1）基于Schmidt正交化；（2）基于Givens变换；（3）基于Householder变换。矩阵的QR分解Schmidt正交化求矩阵的QR分解矩阵的QR分解定理6.7如果阶方阵非奇异，则存在酉（正交）矩阵与一个复（实）上三角矩阵，使得，且除去相差一个对角元的模（绝对值）全为1的对角因子外，上述分解是唯一的．证明把矩阵按列分块，因为非奇异，所以向量组线性无关．由向量组的Schmidt正交化方法可得

其中，则矩阵的QR分解

写成矩阵形式对单位化可得

于是

记，则是酉（正交）矩阵矩阵的QR分解

令矩阵的QR分解由于为正实数，是对角线元素为正数的上三角矩阵，因此有以下QR分解证明唯一性：反证法．设还存在另一个QR分解，即则

又因为为上三角矩阵，所以

这表明为酉（正交）矩阵，而且是对角元素模（绝对值）全等于1的对角阵，从而

这种分解方法称为正交化方法。矩阵的QR分解推论6.5设矩阵且，则存在阶酉（正交）矩阵和阶对角线为正数的复（实）的上三角矩阵，使得证明设，则维列向量组线性无关，将其扩充成的基,并将它标准化、正交化为，由定理6．7可知，存在对角线为正数的复（实）上三角矩阵，使得

其中,阶矩阵，阶矩阵都是对角线为正数的复（实）上三角矩阵．令则由分块矩阵的乘法性质得矩阵的QR分解推论6.6设是阶实对称正定矩阵，则存在对角线为正数的是上三角矩阵，使得证明因为是阶实对称正定矩阵，故存在阶实可逆矩阵，使得.由定理6.7可得，存在正交矩阵和对角线为正实数的是上三角矩阵，使得，于是例6.8用Schmidt正交化方法求的QR分解．解的列向量，将其正交化得

矩阵的QR分解再单位化于是故矩阵的QR分解定义6.5设实数和满足，则称阶方阵

为一个初等旋转矩阵，记为

基于初等旋转变换的QR分解矩阵的QR分解注当

时，存在角度，使得初等旋转矩阵的性质：（1），为正交矩阵且.(2)设,则有

当时，总可以选择使矩阵的QR分解引理6.1设非零向量，则存在有限个初等旋转矩阵的乘积，记为，使得证明设的分量，构造初等旋转矩阵，取则继续对构造初等旋转矩阵，取则矩阵的QR分解依此继续下去，对构造初等旋转矩阵：

如果或某个，则上述过程从构造或开始．现在令

这就证明了从引理的证明过程可以看到对于阶矩阵存在有限个初等旋转矩阵的乘积，使得

为上三角矩阵，即存在正交矩阵，使得,即有如下定理．定理6.8设是阶非奇异实矩阵，则存在由有限个初等旋转矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得矩阵的QR分解例6.9设，求的QR分解．解（1）对的第一列首先取，构造初等旋转矩阵

则再取，构造初等旋转矩阵矩阵的QR分解

则令，且（2）对的第一列的右下方子矩阵的第一列，取矩阵的QR分解

，构造，则令，于是（3）令矩阵的QR分解得到

及正交矩阵使得矩阵的QR分解矩阵的QR分解定义6.6设单位向量，则称阶方阵为初等反射（Householder）矩阵。初等反射矩阵具有下列性质：（1）为Hermite矩阵，即有（2）为酉矩阵，即有（3）为对合矩阵，即有（4）为自逆矩阵，即有（5）的特征值为1

(重)和-1（单重）（6）仍是Householder矩阵

基于初等反射变换的QR分解矩阵的QR分解证明（5）设，则设有则，因此设特征值与

的重数分别为，则求得（6）设，则其中

矩阵的QR分解引理6.2设非零向量，则存在单位向量，以及相应的初等反射矩阵使得证明当时，取单位向量，则由于矩阵的QR分解因此当，取单位向量满足，则与上节一样，由引理6.2知，对非奇异矩阵的第一列，构造阶初等反射矩阵使得

再对右下方阶矩阵的第一列构造阶初等反射矩阵，使得，一直下去，就可以得到如下定理．定理6.9设是阶非奇异实矩阵，则存在由有限个初等反射矩阵的乘积构成的正交矩阵和一个上三角矩阵，使得

设A是n阶复矩阵，则矩阵A有QR分解如此进行下去，最后得Tn-1…T2T1A=R.于是,其中是酉矩阵，R是上三角矩阵。方法(三)将A按列分块，A=(a1,a2,…,an)，由定理，存在n阶Householder矩阵H1使得H1a1=|a1|e1,因此

再将Bn-1按列分块，则存在n-1阶Householder矩阵使得记则H2是Householder矩阵，且依此类推，到第n-1步，有其中的Hk(k=1,2,…,n-1)都是n阶Householder矩阵.再由Hk的自逆性，有：其中Q是酉(正交)矩阵，R是上三角矩阵.矩阵的QR分解例6.10设，用初等反射矩阵求的QR分解．解（1）对的第一列，取单位向量于是故矩阵的