矩阵理论 课件 第2章第6节内积空间

内积空间2.6内积空间线性空间是解析几何中空间概念的推广,然而,在线性空间中,缺少向量的度量的概念,如向量的长度与夹角.本节引入这些重要的概念.在空间中,向量的长度与夹角是由向量的内积确定的.中向量的内积指的是对中任意两个非零向量和,它们的内积定义为其中,

和分别是

与

的长度,是与的夹角.并且当和中有一个是零向量时,有了内积的概念后,中任何一个向量的长度就可以由式确定,同时与之间的夹角也可以由式确定.

当然,不能由中的内积公式直接将其推广到一般的线性空间,与定义线性空间类似,下面用公理引入一般线性空间的内积.内积空间内积空间的基本概念

定义2.18设

是数域上的线性空间,

对任意两个向量都有一个数域中的数与它们相对应,记为

.并且对任意满足下列条件.

(1)共轭对称性：(2)齐次性：(3)可加性：(4)正定性：当且仅当时,

此时,称数为向量和的内积.定义了内积的线性空间称为内积空间.特别地,定义在实数域上的内积空间称为欧几里得空间,也称实内积空间.定义在复数域上的内积空间称为酉空间,也称复内积空间.内积空间例2.43考虑线性空间对任意两个向量

定义

易验证满足定义2.18的条件,因此线性空间对于如上规定的运算构成一个内积空间,此内积称为的标准内积.例2.44考虑线性空间对任意两个向量

定义不难验证线性空间对于如上规定的运算也构成一个内积空间.由此可见,对于同一个线性空间,可以引入不同的内积,从而构成不同的内积空间.例2.45对于实矩阵空间中的矩阵

和定义内积空间易知它是内积,按此内积构成欧几里得空间,此内积称为的标准内积.例2.46对于实线性空间中的函数和

定义

根据定积分的定义,易知它是内积,因此按此内积构成欧几里得空间.由内积的定义不难得到内积的如下基本性质(定理2.26)定理2.26设是数域上的内积空间,对有以下结论.(1)(2)(3)

(4)

(5)且等号成立当且仅当与线性相关,此不等式称为Cauchy-Schwarz不等式.

内积空间证这里只证明(5).当时,此不等式显然成立.以下设对任意都有令代入上式可得于是成立.当线性相关时,不妨设于是

于是不等式中的等号成立.反之,若线性无关,则对任意实数都有从而,

取得与假设矛盾.因此,线性相关.内积空间在不同的内积空间中,向量及其内积的定义不一样,因此Cauchy-Schwarz不等式也具有不同的形式.如果把Cauchy-Schwarz不等式应用到例2.43的中,则有

如果把Cauchy-Schwarz不等式应用到例2.46的中,则有

定义2.19设是内积空间,对任意称非负实数为的长度(或范数或模),记作即如果则称为单位向量.的长度有如下性质.

(1)正定性：且当且仅当

(2)齐次性：

(3)三角不等式：内积空间证根据的长度的定义很容易验证性质(1)、(2).性质(3)的证明如下.根据Cauchy-Schwarz不等式,有于是

两边开方即得三角不等式.注

对任意非零向量,向量是与同方向的单位向量,由求的过程称为把向量单位化.根据Cauchy-Schwarz不等式知,对任意非零向量和,总有于是引入如下定义(定义2.20).内积空间定义2.20设是欧几里得空间,对于非零向量定义与的夹角为

在酉空间中,两个非零向量与的夹角由确定.

若则称与正交(或垂直),记为这时基本性质如下.

(1)对任意有即零向量与任意向量正交.

(2)若则即自身正交的向量是零向量.

(3)若则有勾股定理推广：如果向量组两两正交,那么内积空间标准正交基定义2.21

在内积空间中,一组两两正交的非零向量组称为正交向量组；称由单位向量构成的正交向量组为标准正交向量组.定理2.27设是内积空间中的正交向量组,则线性无关.证

令两边与做内积,有

利用得又因为非零,所以故有即线性无关.定义2.22

设是内积空间的一个基,且两两正交,则称之为的一个正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基.显然,由定义2.22可知,是内积空间的标准正交基的充要条件为

内积空间定理2.28给出了标准正交基的特性.定理2.28设是内积空间的一个标准正交基,则有下列结论.(1)对任意设向量在基下的坐标为则(2)若在基下的坐标分别为和则(3)对任意设向量在基下的坐标为则证

(1)对两边用做内积得

(2)设则

内积空间(3)显然,由(2)的证明可知结论成立.定理2.29有限维内积空间中必定存在标准正交基.证设是维内积空间的一个基,下面介绍可以把正交规范化的施密特(Schmidt)正交化方法.(1)正交化取由于线性无关,因此为使与正交,即

解得于是

假定已经求出两两正交的非零元素令

为使与正交,即内积空间解得从而

可知否则,若则由和上式可知

这与线性无关矛盾.由归纳假设,用上述方法就可构造出的正交基(2)单位化.令

得到的标准正交基上述构造标准正交基的过程就是Schmidt正交化过程.内积空间例2.47在中定义以下内积：

试求的一个标准正交基.解

取的一个基

下面用Schmidt正交化方法将其改造成的一个标准正交基.正交化.令内积空间(2)单位化.因为

所以,令

则就是的一个标准正交基.内积空间下面介绍标准正交基之间的过渡矩阵.定理2.30在酉空间(或欧几里得空间)中,有以下结论.(1)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵(正交矩阵).(2)如果两个基之间的过渡矩阵是酉矩阵(正交矩阵),且其中一个基是标准正交基,则另一个基也是标准正交基.证

(1)设和是维酉空间中的两个标准正交基,且其中,则有

于是

即故是酉矩阵.内积空间(2)假设和是维酉空间中的两个基,且有

其中,是酉矩阵.如果是标准正交基,则

即是标准正交基.反之,若是标准正交基,则由于

且仍是酉矩阵,同前可证是标准正交基.内积空间正交子空间定义2.23

设是内积空间的子空间.对于如果对任意都有则称与子空间正交,记为；对于中的子空间和如果对任意和成立,则称与正交,记为基本性质如下.

(1)设若

则

(2)若则即是直和.

(3)设是子空间的标准正交基,则的充要条件是

(4)设和分别是子空间和的标准正交基,则的充要条件是

内积空间定理2.31若子空间两两正交,则构成直和.证记其是子空间.设

用对上式做内积即得于是表明中零元素的分解唯一,因此

是直和.定义2.24设是内积空间的子空间,称为的正交补空间,简称正交补.定理2.32设是内积空间的子空间,则也是的子空间.证因为即所以非空.对任意都有因此故是的子空间.

内积空间定理2.33设是维内积空间,是的任意子空间,则必存在正交补空间证若则对非零子空间取的一个正交基将其扩充成的正交基令则

由于因此若设则

由于因此即于是这表明故内积空间推论2.3设是内积空间的子空间,则有以下结论.(1)

(2)的正交补空间是唯一的.(3)证

(1)显然,从定理2.33的证明中可知,因此(2)设和是的正交补空间,则设则有

因为所以

于是故从而,；同理可证(3)由(1)即得.内积空间例2.48欧几里得空间中的内积定义为

设令求及的一个标准正交基.

解设则

得基础解系因此的一个基为

内积空间

从而,将和正交化、单位化,得的一个标准正交基为内积空间正交变换与酉变换

在内积空间中有一种特殊的线性变换,它保持向量的内积不变,这种变换称为酉(正交)变换.定义2.25

设是酉(欧几里得)空间的线性变换,若对中的任意向量都有

则称是上的酉(正交)变换.定理2.34设是酉(欧几里得)空间的线性变换,则下列条件等价.(1)是酉(正交)变换.(2)保持向量的长度不变,(3)若是的一个标准正交基,则也是标准正交基.(4)在的任意标准正交基下的矩阵都为酉(正交)矩阵.内积空间证

(1)

(2)设是酉(正交)变换,则对任意都有

(2)

(1)若为欧几里得空间的线性变换,保持向量长度不变,则对任意都有

将上式两边展开,得

由于代入上式即得即是正交变换.

若是酉空间,同理,分别对和进行讨论,则可证明与的实部和虚部分别相等,从而仍有(1)(3)由于

因此是标准正交基.内积空间(3)

(4)设在基下的矩阵为即

则

由是标准正交基得

即(4)

(1)若为酉(正交)矩阵,则由(3)(4)的证明可知

设则有

内积空间

即是酉(正交)变换.例2.49设是阶正交矩阵,证明上的线性变换

是正交变换.

证取的标准正交基设注意到

因为正交,所以标准正交,从而,也是的一个标准正交基,由定理2.34知,是正交变换.内积空间向量到子空间的距离与最小二乘法

在解析几何中,两个点与之间的距离等于向量的长度.在欧几里得空间中,同样引入如下定义.定义2.26

长度称为向量和的距离,记为

不难证明距离的3条基本性质.(1)(2)当且仅当时等号成立.(3)

内积空间在初等几何中,知道一个点到一个平面(或一条直线)上所有点的距离以垂线最短.定理2.35可以说明一个给定向量和一个子空间中各个向量之间的距离也是以“垂线最短”.定理2.35设线性空间中的子空间为一给定向量.设且满足则对任意都有证因为所以由勾股定理可知

故

注定理2.35的几何意义：向量到的各个向量之间的距离以垂直向量最短.它的一个实际应用是最