山东省济南市西城实验中学2024-2025学年高一（下）4月学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省济南市西城实验中学高一（下）4月学情检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x,2x−3)，b=(x,1)，若a//b，则A.−1或3 B.−1或2 C.0或2 D.3或22.若2+i(i为虚数单位)是关于x方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则b=(

)A.2 B.3 C.4 D.53.在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，则sinA=A.714 B.2114 C.4.已知向量a=(2,0)，b=(sinα,32)，若向量b在向量a上的投影向量A.3 B.7 C.3 5.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若AF=xAB+13A.23B.45

C.566.某圆锥高为1，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(

)A.2 B.3 C.2 7.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为45°.若CD=50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于(

)

A.32 B.22 C.8.已知A，B，C，D在球O的表面上，△ABC为等边三角形且边长为3，AD⊥平面ABC，AD=2，则球O的表面积为(

)A.4π B.8π C.16π D.32π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

B.棱锥的侧面一定都是三角形

C.棱台各侧棱所在直线必交于一点

D.有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台10.已知复数z1，z2满足|z1−4i|=|z1−5i|A.|z1|>|z2| B.|z1−z11.在△ABC中，AB=2,AC=3,A=π3,I是△ABC的内切圆圆心，内切圆的半径为r，则A.∠BIC=5π6 B.r=53−21三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，13.已知向量a与b夹角为锐角，且|a|=|b|=2，任意λ∈R，|a−λb|的最小值为314.复平面上两个点Z1，Z2分别对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①z2=z1⋅2i；②两点Z四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题17分)

已知向量a和b，则|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°求：

(1)a⋅b16.(本小题13分)

已知复数z=m−i(m∈R)，且z−⋅(1+3i)为纯虚数(z−是z的共轭复数)．

(1)(2)复数z2=a−i17.(本小题15分)

如图矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=3，O′C′=1．

(1)画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；

(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．18.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1|x12+y12⋅x19.(本小题17分)

古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180°的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题：

如图，在凸四边形ABCD中．

(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值；

(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值．

(3)在满足(2)条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D

参考答案1.C

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.C

8.C

9.BC

10.BC

11.BCD

12.2313.[14.8

15.解：(1)∵|a|=2，|b|=2，〈a,b〉=60°，

∴a⋅b=2×2×1216.解：(1)由z=m−i(m∈R)，得z−=m+i，

则z−⋅(1+3i)=(m+i)(1+3i)=(m−3)+(3m+1)i为纯虚数，

所以m−3=03m+1≠0，解得m=3．

所以z1=m+4i1−i=3+4i1−i=(3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+72i，

因此|z1|=(−17.解：(1)平面四边形OABC的平面图如图所示：

所以SOABC=3×22=62；

(2)由题意可得旋转形成的几何体的体积V=πr2ℎ=π(22)2⋅3=24π，

因为l=18.19.解：(1)AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，

可得AD=2CD，

由题意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，

即AB×CD+BC×2CD≥CD×BD，

即2+2≥BD，

即BD的最大值为22；

(2)如图2，连接BD，因为四点共圆时四边形的面积最大，AB=2，BC=6，AD=CD=4，

所以A+C=π，即cosC=−cosA，sinA=sinC，

在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosA=4+16−2×2×4cosA=20−16cosA，①

在△BCD中