高考数学回归课本教案

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第一章集合与简易逻辑

-、基础知识

定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集

合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合4中，称x属于A,记为xeA,否则称x

不属于4,记作例如，通常用MZ,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数

集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用。来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，

如{1,2,3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},{x|x>0)

分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合4与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合8中的元素，则A叫做B

的子集，记为AqB,例如NqZ。规定空集是任何集合的子集，如果4是B的子集，8也是A的子

集，则称A与B相等。如果A是8的子集，而且8中存在元素不属于4,则4叫8的真子集。

定义3交集，408=5卜€A且xeB}.

定义4并集，AU8={x|xwA或xe8}.

定义5补集，若Aq/,则GA={x|xw/,且x史A}称为A在/中的补集。

定义6差集，A\8={x|x€A,一旦无史8}。

定义7集合{x［a<x<"xeR,a<b}记作开区间(出与，集合

{x［a<x<b,xER,a<b}记作闭区间［a,。］,R记作(-oo,+oo).

定理1集合的性质：对任意集合A,B,C,有：

(1)An(Buc)=(4n8)u(Anc)；⑵AU(Bnc)=(AUB)n(AUc)；

(3)GAUG8=G(AfW(4)GAAG8=G(4U8).

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。

(1)若AfUBUC)，则xeA,且xeB或xeC,所以xw(A口5)或xe(4f］C)，即

xw(An6)U(4nC)；反之，xe(AnB)U(4AC)，则xe(ADB)或xe(AnC)，即xeA且

或xeC,即xeA且xw(BUC)，即xwAD(BUC).

(3)若xeGAUG8，则xeG4或xeG8，所以xeA或x纪8,所以工仁(4(18),又xe/,

所以xwG(AnB),即GAUGB=G(ACB),反之也有G(AnB)=GAUGB.

定理2加法原理：做一件事有〃类办法，第一类办法中有叫种不同的方法，第二类办法中有〃马种不

同的方法，…，第〃类办法中有〃?“种不同的方法，那么完成这件事一共有N=叫+叫+…+用”种不

同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分几个步骤，第一步有吗种不同的方法，第二步有机2种不同的方法，…，

第〃步有，明种不同的方法，那么完成这件事一共有N=叫•〃4……m”种不同的方法。

二、方法与例题

1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1设M={4。=——)，2,x,yeZ},求证：

(1)2k-leM,(keZ)；

(2)4Z-2eM,(左eZ)；

(3)若则pqwM.

［证明］(1)因为左,左—leZ,且2左一1=%2—伏一1)2,所以2k—leM.

(2)假设4Z—2e〃(keZ),则存在x,ywZ,使4火—2=/一/，由于》一y和x+y有相同的奇

偶性，所以,―/=*—y)(x+y)是奇数或4的倍数，不可能等于4人-2,假设不成立，所以

4k-2^M.

-1-

(3)设p=，-="2一人2,羽/，々/ez,则pq=，-y，/一〃)

=a2a2+y2b2-x2b--y2a2=(xa-yb)2-{xb-yd)2eM

(因为xa-yaeZ,x。一yaeZ

2.利用子集的定义证明集合相等，先证A78,再证6屋A,则4=及

例2设A,B是两个集合，又设集合M满定

AC]M=BC\M==A\JB,求集合M(用A,8表示)。

【解】先证(AnB)aM,若xe(AnB)，因为4门〃=4口6,所以xeAn〃,xeM,所以

(AAS)cM；

再证加工0408),若xwM,则xeAU8U"=AU6.1)若xeA,则％€4^^=4口8；2)

若xeB,则xe8nM=AnB。所以〃屋(APIS).

综上，M=AC\B.

3.分类讨论思想的应用。

例3A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},若

A\JB=A,AC\C^C,求

【解】依题设，A={1,2},再由——ax+a—i=o解得了=。一i或x=i,

因为AU6=A，所以BqA,所以a-lwA,所以。-1=1或2,所以a=2或3。

因为4口。=。，所以C=A,若C=0,则△="2一8<0,即一2&<m<2近，若CH0,

则leC或2eC,解得加=3.

综上所述，a=2或a=3；加=3或一2人<机<2人。

4.计数原理的应用。

例4集合4,B,C是/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集，(1)若4UB=/，求有序集合对

(A,B)的个数；(2)求/的非空真子集的个数。

【解】(1)集合/可划分为三个不相交的子集；A\B,B\A,AAB,/中的每个元素恰属于其中一个子集,

10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有3i°个。

(2)/的子集分三类：空集，非空真子集，集合/本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该

子集或者不属于,有两种;第二步,2也有两种，…，第10步,0也有两种，由乘法原理,子集共有2©=1024

个，非空真子集有1022个。

5.配对方法。

例5给定集合/={1,2,3,…,〃}的女个子集：A,,A,---，4-满足任何两个子集的交集非空，并且再添

加/的任何•个其他子集后将不再具有该性质，求人的值。

【解】将/的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2"T对，每一对不能同在这左个子集

中，因此，k<2"-'；其次，每一对中必有一个在这火个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设

为Cp4与A,并设A「A1=0,则A=G4,从而可以在女个子集中再添加GA，与已知矛盾，所

以上22"-、综上，k=2f

6.竞赛常用方法与例问题。

定理4容斥原理；用同表示集合A的元素个数，则|AUB|=|A|+|B|—MnM，

Mu5uc|=|川+忸|+|c|-|An即一|Anq-庐nq+|AnBnq,需要xy此结论可以推广到〃个

集合的情况，即z

n_〃____n

UA二2⑷-^^nA）+z|4nAjn\|—+（-i）"1nA

Z=l/=!jl£i<j<k&i/=1

定义8集合的划分：若4UA2U…UA“=/，且ACIA/则这些子集的

全集叫I的一个n-划分。

定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

-2-

定理6抽屉原理：将加〃+1个元素放入〃5>1）个抽屉，必有一个抽屉放有不少于用+1个元素，也

必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6求62,3....100中不能被2,3,5整除的数的个数。

【解】记]={1,2,3,・一,100},4={山<*4100,且X能被2整除（记为2卜）},

B={却<x<100,3|x},C={x|l<x<100,5|x）,由容斥原理，

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Bnc|-|cnA|+|AnBnc|=寸+竽+

100100100100100

+=74,所以不能被2,3,5整除的数有|/|TAU8UC|=26

56101530

个。

例7S是集合{1,2,2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个

元素？

【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,

将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则

必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182x11+2,所以S-共

至多含有182x5+2=912个元素，另一方面，当5={r>=1我+/1=1,2,4,7,10/42004,后eN}时，恰

有间=912,且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。

例8求所有自然数〃（〃22）,使得存在实数为,勺,…,。“满足:

M-盯他〈]•<，<〃}={12

【解】当〃=2时，4=0,。2=1；当〃=3时，a}-0,a2-\,a3=3；当〃=4时,

O,=0,g=2,%=5,%=1。下证当〃25时，，不存在外,%,…,应满足条件。

令0=%<a2<••■<an,则

所以必存在某两个下标i<J,使得W=所以*-1=a,—=。"_]或

.Ht1,KCIUn(n-1).„n(n-1),

。"一1=%一。2，即。2=1，所以％=---,4,1=%—1或%=―-—，a2=1

(1

)若%=­~2,%-]=4一1考虑%-2,有%-2=an_2或%—2=an-a2即的=2,

设a“_2=。”一2,则a,——。“_2一，导致矛盾，故只有出=2.

考虑a“一3,有一3=a,”2或a=-3=一的，即的=3，设。“一3=4“_2，则

a

«„_1~n-2=2=a2-a0,推出矛盾，设％=3，则%-*_]=1=的一々，又推出矛盾，所以

%2=。2，〃=4故当〃》5时，不存在满足条件的实数。

5）若%=修,出=1,考虑%-2,有%-2f或%-2=%-牝，即％=2,这时

a3-a2=a2-a],推出矛盾，故。〃_1=%-2。考虑a〃一3,有%-3=%々或％一3=%-%，

即的=3,于是〃3一。2=一。"-1，矛盾。因此=。“一3，所以〃一％_2=1=。2一，这又矛

盾，所以只有见广2=%，所以〃=4。故当〃25时，不存在满足条件的实数。

例9设4={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n],在A中取三个数，5中取两个数组成五个元

素的集合4,i=1,2,…,20,AnA.|<2,l<«</<20.求〃的最小值。

【解】"min=16.

设B中每个数在所有4中最多重复出现人次,则必有k<4。雌，数m出现上次（女>4）,则3k>12.

-3-

在m出现的所有4中，至少有一个4中的数出现3次，不妨设它是1,就有集合{1,

4,〃2,加力1}{1，。3，。4，团也}，{1，。5，。6，加也}，其中4eA,1<z<6,为满足题意的集合。处必各

不相同，但只能是2,3,4,5,6这5个数，这不可能，所以女44.

20个片中，3中的数有40个，因此至少是10个不同的,所以〃216。当〃=16时，如下20个集合满

足要求：

{1,2,3,7,8},{1，2,4,12,14},{1,2,5,15,16),{1,2,6,9,10},

{1,3,4,10,11},{1，3,5,13,14},{1,3,6,12,15},{1,4,5,7,9},

{1,4,6,13,16},“，5,6,8,11},{2,3,4,13,15},{2,3,5,9,11},

{2,3,6,14,16},⑵4,5,8,10},{2,4,6,7,11},{2,5,6,12,13},

{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9),{3,5,6,7,10},{4,5,6,14,15}o

例10集合{1,2,…，3M可以划分成〃个互不相交的三元集合{x,y,z}，其中x+y=3z，求满足条件

的最小正整数机

【解】设其中第i个三元集为{x,,y,号},i=l,2,…,〃，则1+2+…+3〃=力4z,,

,=1

所以3〃(3〃+1)=4£芍。当〃为偶数时，有母3〃，所以>8,当〃为奇数时，有8|3〃+1,所以n>5,

21=i

当"=5时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以〃的

最小值为5。

三、基础训练题

1.给定三元集合则实数x的取值范围是o

2.若集合4={k辰2+2x+1=0,aeeR}中只有一个元素，贝ija=。

3.集合B={1,2,3}的非空真子集有个。

4.已知集合用={xk2—3x+2=0},N={x|ax+l=0},若NqM,则由满足条件的实数a组成的

集合P=___________。

5.已知A={x|x<2},6={x|xWa},且AqB,则常数a的取值范围是.

6.若非空集合S满足S={1,2,3,4,5}，肺aeS,则6—aeS,那么符合要求的集合S有

个。

7.集合X={2n+加€2}与卜={4*士取€2}之间的关系是。

8.若集合A=[x,xy,xy-1},其中xeZ,且ywO,若OEA,则A中元素之和是。

9.集合尸={刀,2+x-6=0},M={x|〃zx—1=0},且则满足条件的加值构成的集合为

10.集合4={入»=2》+1,%€/?+},8={>,=一一+9/€/?},贝ij

AC\B=。

11.已知S是由实数构成的集合，且满足1)leS;2)若awS,贝U」一wS。如果S70,S中至

\-a

少含有多少个元素？说明理由。

12.已知A={(x,y)|y=。忖},8={(x,y)|y=x+a},C=Afl8,又C为单元素集合，求实数a的取

值范围。

四、高考水平训练题

1.已知集合A={x,xy,x+y},6={0，M〉},且A=8,则》=,y=。

2.I={1,2,3,4,5,678,9},Ac/,5c/MPB={2},(C,/1)A(C,B)={1,9},

(GA)n8={4,6,8},贝Mn(G8)=。

-4-

3.已知集合A={耳10+31一/20},B={工|机+1KxK2m一1},当4门8=0时，实数机的取值范

围是o

4.若实数。为常数，且awA=(x[=",则。=。

\ax2-x+l

5.集合M={根2,机+「3},N={m—3,2机一1,机2+1},若Mp|N={-3},则加=

6.集合A={Wa=5x+3,xwN+},B={Z^=7y+2,ywN+},则Ap|B中的最小元素是

7.集合A={x-y,x+y,xy},3={/+)/,工2一丁2,0},且从斗，则工+丁=。

y_|_1

8.已知集合4=&^——<0},B={xlpx+4<0},且8qA,则p的取值范围是。

2-x

9.设集合A={(x,y)|y2-x-l=0},8={(x,y)|4x2+2x—2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},问:

是否存在匕beN,使得(AU3)nC=0，并证明你的结论。

10.集合A和8各含有12个元素，AflB含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1)

AU8且C中含有3个元素：2)CnAH。。

11.判断以下命题是否正确：设4,B是平面上两个点集，C,={(x,y),2+y24r2},若对任何厂上0,

都有G，UA=C,UB，则必有Aq8,证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.已知集合4=*卜<0}.8={24=色二1%>2},8/0,且5=4,则实数机的取值范围是

mx+1

2.集合4={1,2,3,・・・,2〃,2〃+1}的子集8满足：对任意的北丁£民工十了公6,则集合8中元素个数的

最大值是o

3.已知集合P={a,。％。[?},。={〃,〃+乩〃+2d},其中。。0,且QER,若P=Q,则实数

q=o

4.已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0],B={(x,y)|附+1=|x|+|y|},若Afi8是平面上正八边形

的顶点所构成的集合，则a=。

5.集合M={“>，=12m+8〃+4/,eZ},集合N={力，=20p+16q+12r,p,q,reZ},则集

合M与N的关系是o

6.设集合〃={1,2,3,…,1995},集合A满足：AQM,且当xwA时，15x定A,则A中元素最多

有个。

7.非空集合4=32。+1"<3"5},8={乂3"<22},W则使AqAC18成立的所有a的集合是

8.已知集合4,B,aC(不必相异)的并集AUBUC={1,2,…则满足条件的有序三元组(A,B,

C)个数是。

9.已知集合A={(x,y)|ax+y=1},8={(x,y)|x+ay=1},C=+V=1},问：当a取何值

时，(AUB)nC为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？

10.求集合8和C,使得3UC={1,2,…,10},并且C的元素乘积等于8的元素和。

11.S是。的子集且满足：若re。，则「€5,-r€5/=0恰有一个成立，并且若aeS,beS,贝U

abES,a+be.S,试确定集合S。

12.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在

两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？

六、联赛二试水平训练题

-5-

1.S1,S2，S3是三个非空整数集，已知对于1,2,3的任意一个排列如果xeS,,yeSj,则

x-yeSi»求证：S1,§263中必有两个相等。

2.求证：集合｛1,2.....1989｝可以划分为117个互不相交的子集A,（i=1,2,…,117）,使得（1）每个

A,恰有17个元素；（2）每个4中各元素之和相同。

3.某人写了〃封信，同时写了〃个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？

4.设4…,出。是2。个两两不同的整数，且整合｛《,420｝中有201个不同的元素，

求集合｛,-20｝中不同元素个数的最小可能值。

5.设S是由2〃个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。

6.对于整数〃24,求出最小的整数/（〃），使得对于任何正整数机，集合｛〃?,〃?+1,…，机+”-1｝的

任一个/（〃）元子集中，均有至少3个两两互质的元素。

7.雌合S=｛1,2,…，50｝,求最小自然数k,使S的任意一个s元子集中都存在两个不同的数a和b,

满足（a+b）\ab。

8.集合X=｛1,2,…,6A｝,keN+，试作出X的三元子集族&,满足：

（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；

（2）|&|=6女2（画表示&的元素个数九

9.设集合A=｛L2,…，/｝,求最小的正整数加，使得对A的任意一个14-分划4…，44,一定

4

存在某个集合A,.（1<z<14）,在A,中有两个元素。和。满足8<a4。

第二章二次函数与命题

二基础知识

1.二次函数：当aNO^i，y=ax2+bx+c或及v）=af+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=，

2a

b

另外配方可得/（x）=a（x-xo尸t/（xo），其中%o=-—，下同。

2a

2.二次函数的性质：当。>0时,，/U）的图象开口向上，在区间（・8,沏］上随自变量x增大函数值减小（简

称递减），在岛,-8）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当QV0时，情况相反。

3.当a>0时，方程f（x）=O即么+C=0…①和不等式〃32+灰+00…②及〃f+〃x+cv（）・••③与函数人了）的关

系如卜（记△=/-4ac）。

1）当△>（）时，方程①有两个不等实根，设制论（占42），不等式②和不等式③的解集分别是｛xkai或心通｝

和｛xk|O<T2｝，二次函数/U）图象与X轴有两个不同的交点，/U）还可写成人工）=。（元*）（如犬2）.

hh

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根闪=必=尤0=——，不等式②和不等式③的解集分别是“卜。——｝

2a2a

和空集0,大外的图象与龙轴有唯一公共点。

3）当△<（）时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和。大工）图象与X轴无公共点。

当avO时，请读者自己分析。

4ac—b2b

4.二次函数的最值：若a>0,当x=x（）时，段）取最小值/Uo）=-------------，若"0,则当X=R（）=-----时，/）

4a2a

4QC—b~

取最大值式刖）=--------.对于给定区间［m,〃］上的二次函数/U）=储+bx+c（a>0）,当xe［m,〃］时,危）在［m,

4ao

网上的最小值为兀当时。在上的最小值为当x（）>n时，府）在网上的最小值为

ro）；x0<m«r）［m,/（m）；［m,

犬〃）（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、

“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1“p或4”复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命题；“p旦复合命题只有当p,

--6-

q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2原命题：若。则q(p为条件，〃为结论)；逆命题：若〃则p；否命题：若非p则q；逆否命题：

若非q则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题''若。贝IJ为真，则记为p=>q否则记作pHq.在命题“若p则/'中，如果己知

则p是9的充分条件；如果q=>p,则称p是g而必要条件；如果p=q但q不=>p,则称p是q的充

分非必要条件；如果0不=4但p=>q,则p/为q的必要非充分条件；若。=>4且4=>p,则p是4

的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1设方程？-x+l=O的两根是a,6,求满足人<1)=85/(8)=€1/1)=1的二次函数小:).

【解】设f(x)=ax2+bx+c(aH0),

则由已知人a)=。<B)=a相减并整理得(a-B)[(a+6)a+b+\]=Q,

因为方程A2-X+1=0中4H0,

所以aHB,所以(a+B)«+/?+1=0.

又a+B=1,所以a+b+\=0.

又因为式l)=a+b+c=l,所以c-l=l,所以c=2.

又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.

再由Aa)=0aa2-(a+l)a+2=0,

所以aa2-qa+2=a+B=1,所以aaa+1=0.即a(aLa+l)+l-a=0,即l-a=0,

所以a=l,

所以f(x)=x2-2x+2.

2.方程的思想。

例2已知Ax)=af_c满足_4W/(1)W-1,-1W/(2)W5,求式3)的取值范围。

【解】因为-4W/(1)NZ-CW-1,

所以1W虫l)=c-aW4.

Q5

又-1W«2)=4a-cW5,犬3)=-,AD，

Q525

所以一x(-1)+—W/(3)W—x5+—x4,

3333

所以-1W_/(3)W2O.

3.利用二次函数的性质。

例3已知二次函数危)=0^+法+以4力£61<4。0),若方程段)=*无实根，求证：方程欢X))=X也无实根。

【证明】若4>0,因为40=*无实根，所以二次函数g(X)/X)-X图象与X轴无公共点且开口向上，所以对

任意的XGR,/(X)-A>0即从而

所以欢x))>x,所以方程用(x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

例4设二次函数/(x)=ax2+fer+c(a>0),方程y(x)=x的两根内,应满足0<042〈,，

a

(I)当XG(O,X|)时,求证:x<f[x)<x\；

(II)设函数兀0的图象关于x=xo对称，求证：X。<土.

2

【证明】因为科工2是方程的两根，所以/0%=。。-两)(九-工2)，

即fM=a(x-X[)(x-X2)+x.

(I)当x£(0,戈1)时，x-x1<0,x-^2<0,a>0,所以

其次fM-xj=(x-xi)[a(x-x)+l]=a(x-x\)[x-x+—]<0,所以J(x)<xj.

22a

综上，X<f^X)<X\.

(II)f^x)=a(x-x\)(x-X2)+x=ax2+[1-a(Xi+X2)]x+ax\X2,

-7-

所以X产"(为+£)一1x,+x21

2a-22a

%1_X1

所以X。-2<0,

T-T-2^

所以x()<

5.构造二次函数解题。

例5已知关于、的方程3+1)2=^(72),0>1,求证：方程的正根比1小，负根比-1大。

【证明】方程化为2a2x2+2ax+l-a2=0.

^^.f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

/(l)=(a+l)2>0,/(-D=Ql)2>0,/(0)=l-a2<0,即△>0,

所以/(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6当x取何值时，函数)，=:取最小值？求出这个最小值。

(%2+1)2

1_______1

【解】+22，令=项0<启1。

TIU+I)X2+1

(]Y]919

y=5u2-u+l=5u----H------->——,

I10J2020

且当〃='即％=±3时，),•,产--.

1020

例7设变量x满足f+HW-xSc-l),并且f+汝的最小值是—求b的值。

2

【解】由f+hxWR/x：.1),得

i)-—即6W-2时、/+法的最小值为"，所以/=2,所以/?=±J5(舍去)。

2442

b

ii)——>-(*+1),即历>-2时，在[0,-(Hi)]上是减函数，

2

13

所以，+法的最小值为/?+.

22

3

综上，b=--.

2

7.一元二次不等式问题的解法。

r22

例8已知不等式组J"~x+a-a<0①②的整数解恰好有两个，求。的取值范围。

x+2。>1

【解】因为方程工。+4-〃2=0的两根为X]=a,X2=l-。，

若〃<0,则X[<V2.①的解集为由②得x>12.

因为1-勿21-a,所以aWO,所以不等式组无解。

若a>0,i)当时，X]<V2,①的解集为〃

2

因为Ovaavl-avl,所以不等式组无整数解。

ii)当a=L时，a-\-a,①无解。

2

iii)当。时，a>]-a9由②得x>12z,

2

-8-

所以不等式组的解集为1-avcQ.

又不等式组的整数解恰有2个，

所以a-(l-a)>l且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且当时;不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，。的取值范围是1QW2.

8.充分性与必要性。

例9设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+8(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)》0①

对一切实数x,y,z都成立，问4,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必要条件，而且限定用只涉

及A,8,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,C^OA2+B2+C2^2(AB+BC+CA).

先证必要性，①可改写为A(x-y尸-(B-4-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2)0②

若4=0,则由②对一切x,y,zWR成立，则只有B=C,再由①知8=C=0,若AH0,则因为②恒成立，所

以4>0,△=(8/-C)2G，g244C(y-z)2W0恒成立，所以(B-A-CfiAcWO,B|JA2+B2+C2^2(AB+BC+CA)

同理有B20,C20,所以必耍性成立。

再证充分性，若820,C^OS,A2+B2+C2^2(AB+BC+CA),

1)若A=0,则由I+CW28c得(8-C)2.O,所以B=C,所以△=(),所以②成立，①成立。

2)若A>0,则由③知△・()，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9.常用结论。

定理1若a,bGR,1dM忘la+bl<bl+lbl.

【证明】因为-lalWaWlal,WIWbW协I,所以-(lal+lbl)Wa+bWlal+l乩

所以la+bIWbl+lbl(注:若m>0,则-mWxWm等价于IrlWm).

又lal=la+b-bWla+〃+阳，

即lal-lblWla+从综上定理1得证。

定理2若a,bGR,则屋+/?2"；若R+,则x+y?

(证略)

注定理2可以推广到w个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是,①“若x+y=O,则x、y互为相反数”的逆命题；②"两

个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若则y+x+q=O有实根”的逆否命题；④“不等边三

角形的三个内角相等”的逆否命题。

2.由上列各组命题构成“p或"p且〃"，非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p

为真的是.①p：3是偶数，<7：4是奇数；②p:3+2=6,g:③p:aG(a,b),g:{a}<Z{a,b};④p:Q<ZR,q：

N=Z.

3.当k-2l<a时，不等式I?一41<1成立，则正数a的取值范围是.

4.不等式分2+(4人+1)戈+历>0的解是则a,人的值是.

5.x工1且xH2是x-1HJx-1的条件，而-2<m<0且0<n<l是关于x的方程x'mx+gO有两

个小于1的正根的条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是.

7.若S={xlnu2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是.

8.R为全集，A={xl3-x^4},B=Jx-^—>lk则(。超)08=_______.

Ix+2,

9.设a,是整数，集合A={(x,y)l(x©2+3b<6y},点(2,1)CA,但点(1,0)任A,(3,2)任4则。力

的值是.

10.设集合A=3Ld<4},8={xk24+3>0},则集合A且AKACIB}=.

11.求使不等式ax2+4x-\^-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。

2_2kx+k-4<0

12.对任意xe[0,1],有x<①②成立，求女的取值范围。

x2-kx-k+3>0

四、高考水平训练题

-9-

1.若不等式kal。的解集不空，则实数。的取值范围是.

2.使不等式X2+(X-6U+9>0当㈤W1时恒成立的x的取值范围是.

3.若不等式42+履-4<0的解集为R,则实数A的取值范围是.

4.若集合4={如+71>10},8={出-514},且AC8=B,则A的取值范围是.

5.设田、做出、岳,ci、。2均为非零实数，不等式aY+bix+ci〉。和。2/+如+。2>0解集分别为M和N,

那么“马_=九=$_"是“M=N”的_________条件。

a2b2c2

6,若下列三个方程x2+4d.r-4d+3=0,x2+(a-l)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一■个方程有实根，则实数〃的

取值范围是.

7.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件。

Y—1

8.已知p:11-不一W2,q:F・2x+l-m2W0(m>0),若非p是非g的必要不充分条件，则实数m的取值范围

是•

9.已知。>0,f(x)=ax2+bx+c,对任意R有段+2)三/(2次)，若大1・2/)勺(1+2》-/),求犬的取值范围。

2

10.LL知〃,％,c£R,f(x)=ax+bx+cyg(x)=ax+b,当1川W1时，W1,

(1)求证：IcWl;

(2)求证：当IxIWl时，lg(x)IW2;

(3)当。>0且历区1时,g(x)最大值为2,求公).

Z7DCC

11.设实数a,b,c,m满足条件：-----1-----------1----=0,且a20,m>0,求证：方程。x'fcv+cnO有一根即

m+2m+\m

满足O<To<l.

五、联赛一试水平训练题

1.不等式k|3-2/-4kl+3<0的解集是.

x+2y>0

2.如果实数x,y满足：—2y>0,那么/lyl的最小值是.

x2-4y2=4

3.已知二次函数八x)=a/+hx+c的图象经过点(1,1),(3,5),式0)>0,当函数的最小值取最大值时,

a+b2+c3=.

4.已知人x)=l121,xC［0』］,方程/O(x)))=Lx有个实根。

2

5.若关于x的方程4xZ4x+m=()在［-1,1］上至少有一个实根，则m取值范围是.

6.若/(xAf+px'+qf+x对一切xGR都有且y(l)=l,则p+q2=.

7.对一切xWR,AxNf+bx+cGzQ)的值恒为非负实数，则叶丝£的最小值为.

b-a

8.函数的图象如图，H2-=b-2ac.那么廿4破4.(填>、=、<)

9.若a<b<c<d,求证：对任意实数f*-l,关于x的方程(x-a)(m;)+f(x-/7)(x-d)=0都有两个不等的实根。

10.某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方

程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习

不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。

11.B^Of(x)=ax2+bx+c^［0,1］上满足试求3+依+lcl的最大值。

六、联赛二试水平训练题

1.设於)="寸+公+,，a,b,c^R,a>100,试问满足")忘50的整数x最多有几个？

2.设函数式x)=zx2+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数/(a),使得在整个区间［0,/(a)］±,

不等式贝x)忘5