高考数学二轮复习教案共23讲

集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

专题一

第1讲集合与简单逻辑用语

考点解读

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的

取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…

2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦

恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解

决.

3.已知集合A、B,当ACB=时，你是否注意到“极端”情况：A=或8=?

求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化.

4.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为2n2--1,2n-l,2n-2.

5.是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

1.A、B是非空集合，定义AXB={x|xWAUB,且x人08},若A={xeR|y=d^二

B={y|y=3x,x£R},则AXB=.

2.已知命题P：—nGN,2n>1000,则P为

3.条件p：aGM={x|x2—x<0},条件q：aGN={x||x|<2},p是q的条

件.

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4,若命题“xGR,x2+(a—l)x+l>0”是假命题，则实数a的取值范围为

【例1】已知集合A={x|x2—3x—10W0},集合B={x|p+lWxW2p—l}.若BA,

求实数p的取值范围.

【例2】设人={6，y)1/—x—1=0},B={(x,y)|4x2+2x—2y+5=0},C={(x,y)|y

=kx+b},是否存在k、beN,使得(AUB)CC=?若存在，求出k,b的值；若不存在，

请说明理由.

【例3】(2011•广东)设S是整数集Z的非空子集，如果a,bes,有abes,则称S

关于数的乘法是封闭的，若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUV=Z且a,b,cGT,

有abcGT,x,y,V.有xyz6V.

则下列结论恒成立的是.

A.T,V中至少有一个关于乘法封闭B.T,V中至多有个关于乘法封闭

C.T,V中有且只有一个关于乘法封闭D.T,V中每一个关于乘法封闭

【例4】已知a>0,函数f(x)=ax—bx?.

(1)当b>0时,若xGR,都有f(x)Wl,证明：0<aW2倔

⑵当b>l时，证明:xW[0,l],的充要条件是bTWaW2小.

1.（2011•江苏）已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2}.则ACB=.

2.(2011・天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(—x)是奇函数”的否命题是

3.(2009•江苏)已知集合人=4|1。82*忘2},B=(—8,a),若AB,则实数a的取值范

围是(c,+°°),其中c=.

4.(2009•陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参

加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理

小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有

人.

5.(2011•陕西)设nGN+,一元二次方程x2-4x+n=0有正整数根的充要条件是n=

6.(2011•福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成•个“类”，记为[k],

即[k]={5n+k|n6Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:

①2011G[1]；

②一3G[3]；

@Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4];

④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a—be[O]”.

其中，正确结论的个数是个.

(2011・全国)(本小题满分14分)设aGR,二次函数f(x)=ax2-2x-2a.若f(x)>0的解集为

A,B={x[l<x<3},AC1BW,求实数a的取值范围.

解：由f(x)为二次函数知aWO,令f(x)=O解得其两根为xi=；—\2+\,X2=；+

d\1ad

由此可知x1v0,x2>0,（3分）

①当a>0时，A={x|x<xi}U{x|x>x2},（5分）

AABW的充要条件是X2<3,Bp1+^/2+X<3,解得a4（9分）

②当a<0时,A={x|xi<x<x2},（10分）

ACBW的充要条件是X2>1,Bl4+A/2+i>h解得a<—2,（13分）

a7a

综上，使AABW成立的实数a的取值范围为（一8,-2）鸣+8）.（[4分）

-集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

第1讲集合与简单逻辑用语

教师备选题

1.(2011•安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7},则满足SA且SCBW的集合

S的个数为.

A.57B.56C.49D.8

【答案】B解析：集合A的所有子集共有26=64个，其中不含4,5,6,7的子集有23

=8个，所以集合S共有56个.故选B.

2.(2011•江苏)设集合A={(x,y)|y^(x-2)2+y2^m2,x,y6R},B={(x,y)|2mWx+

y〈2m+l,x,yCR},若ACB中,则实数m的取值范围是.

【答案】2+啦]解析：由AC1BW得，A丰,所以m?》，，或mWO.

当mWO时，小一正m>—m,且^~~~乎一正m>—m,又2+0=2>2m

+1,所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m25寸，只要，叫Wm

或^~翁~^Wm,解得2一啦WmW2+6或1—^<mWl+乎，所以实数m的取值范围

是任，2+闾

点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数

m的取值范围的相关条件.

基础训练

1.(—8,3)解析：A=(-8,0]U[3,+°°),B=(0,4-°°),AUB=(-8,4-co),

APIB=[3,+°°).

2.nGN,20000

3.充分不必要解析：M=(0,l)N=(—2,2).

4.a》3或aW—1解析：A—(a—l)2—420,a23或aW—1.

例题选讲

例I解：由x2-3x-10这0得一2WxW5.。A=[-2,5].

①当B#时;即p+lW2p-lp22.由BA得一2Wp+l且2p-lW5.得一

3WpW3.；.2WpW3.

②当B=时，即p+l>2p-lp<2.BA成立.综上得pW3.

点评：从以上解答应看到：解决有关ACB=,AUB=A,人08=8或人B等集合

问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题.

变式训练设不等式x2—2ax+a+2W0的解集为M,如果M[1,4],求实数a的取值

范围.

解：M[1,4]有n种情况：其一是M=,此时AV。；其二是MW,止匕时ANO,

分三种情况计算a的取值范围.

设f(x)=x2-2ax+a+2,有A=(-2a)2—(4a+8)=4(a2-a-2),

①当△<()时，M=[1,4]成立；

②当△=()时,a=-1或2,当a=-1时,M={-1}[1,4],当a=2时,M={2}[1,4]；

③当A>0时，a<-l或a>2.设方程f(x)=O的两根为x”x2,且x1<X2，那么M=

依1)20且f(4)，0,

[xi，X2],M[1,4]1WXI<X2W4IV

UWaW4且△>().

"—a+320,

18—7a20,18(18~l

即〈一一解得：2<aW与，综上实数a的取值范围是一1,Y.

lWaW4,'\

、a<—1或a>2,

例2解：V(AUB)AC=,VAnC=且BCC=,

y=x+i,,.

由得l?x2+(2bk—l)x+b2-l=0,

[y=kx+b

：AnC=,k#0,A!=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0,

A4k2-4bk+l<0,此不等式有解,其充要条件是16b2—16>0,即b?》1,①

4x2+2x-2y+5=0,

y=kx+b,

:.4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0,

2

：BnC=,A2=4(l-k)-16(5-2b)<0,

Ak2-2k+8b-19<0,AW8b<20,即b<2.5,②

由①②及bdN,得b=2,代入由△]<()和A2Vo组成的不等式组，得

f4k2-8k+l<0,

|k2-2k-3<0,

,k=l,故存在自然数k=l,b=2,使得(AUB)CC=.

点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.

变式训练已知集合A=1(x,y)上音=3B=｛(x,y)|y=kx+3｝,若ACB=,

求实数k的取值范围.

解：集合A表示直线y=-3x—2上除去点(一1,1)外所有点的集合，集合B表示直线

y=kx+3上所有点的集合，ACB=,所以两直线平行或直线y=kx+3过点所

以k=2或k=—3.

例3【答案】A解析：由于TUV=Z,故整数1一定在T,V两个集合中的一个

中，不妨设1GT,贝I」a,b£T,

由于a,b,ieT,则ablGT,即ab^T,从而T对乘法封闭；

另一方面，当丁=｛非负整数｝,V=｛负整数｝时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，

故D不对；

当丁=｛奇数｝,V=｛偶数｝时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对.

从而本题就选A.

例4证明：(1)ax—bx?Wl对xGR恒成立，又b>0,a?—4b<0,/.0<a^2-\/b.

(2)必要性，xe[0,i],|f(x)|Wl恒成立，...bx?—axWl且bx'—ax》一1,

显然x=0时成立，

对xW(0,l]时a，bx—;且aWbx+g函数①x)=bx—；在xG(0,l]匕单调增，f(x)最大值

f(l)=b—l.

函数g(x)=bx+：在(0,母匕单调减，在：*，1上单调增，函数g(x)的最小值为g(，《)

=2的，b-lWaW2，E,故必要性成立；

充分性:f(x)=ax-bx2=-b(x-^)2+^,齐氤x/lX东WL

2

f(x)max=awi,又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)=0,f(l)=a—b,

f(x)的最小值从f(0)=0,f(D=a—b中取最小的，又a—b》一1,

...-lWf(x)Wl,故充分性成立；

综上命题得证.

变式训练命题甲：方程x2+mx+l=0有两个相异负根；命题乙：方程4x?+4(m—2)x

+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围.

A]=m2—4>0,

解：使命题甲成立的条件是：，m>2.

,xi+x2=_m<0

集合A={m|m>2}.

2

使命题乙成立的条件是:A2=16(m-2)-16<0,/.l<m<3.

/.集合B={m[l<m<3}.

若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：

①meAnCRB,(2)meCRAHB.

若为①，则有：ACCRB={m|m>2}C{m|mWl或m23}={m|m23}；

若为②，则有：BACRA={m|lvm〈3}C{m|mW2}={m|lvmW2}；

综合①、②可知所求m的取值范围是{m[l<mW2或m23}.

点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定.

高考回顾

I.{-1,2}

2.若f(x)不是奇函数，则f(—x)不是奇函数

3.4解析：A=(0,4],AB,二a>4,二c=4.

4.8解析：画韦恩图.设同时参加数学和化学小组的有x人，则20—x+ll+x+4+9

—x=36,x=8.

5.3或4解析：令g)=*2—4*+11,1161<,£(0)=11>0,，f(2)W0即nW4,故n=l,2,3,4,

经检验，n=3,4适合，或直接解出方程的根，x=2±\/4-n,nGN*,只有n=3,4适合.

6.3解析：正确的是①③④，在②中一3W[2]才对.

函数、图象及性质

第2讲

考点解读

1.函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与

其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考者查的主要着力点

之一.

2.重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的

综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数.

3.难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题.

1.已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,则f(x)=.

2.函数f(x)=(＞幺的定义域为______.

A/|x|—x

3.函数f(x)的定义域是R,其图象关于直线x=l和点(2,0)都对称，(一力=2,则

+,胃/2009'

4.函数f(x)=x2—2x,g(x)=mx+2,对X]£[—1,2],x0G[—1,2],使g(xi)=f(x()),

则实数m的取值范围是.

【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间［—14］上

的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在整数m使得方程氏*)+a37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实

数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由.

【例2】已知函数f(x)=x2+?(xW0,常数a^R).

(1)讨论函数［X)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f(x)在xG［2,+8)上为增函数，求a的取值范围.

【例3】设函数f(x)=x2+|2x-a|(xGR,常数a为实数).

(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；

(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.

【例4】(2011•苏锡常镇模拟)已知函数f(x)=，£W+a|x|,a为实数.

(1)当a=l,xW［—1,1］时,求函数f(x)的值域；

31

(2)设m、n是两个实数，满足m<n,若函数f(x)的单调减区间为(m,n),且n-m忘记,

求a的取值范围.

1.(2011•辽宁)若函数［x)=(2x+i；(x—a)为奇函数'则a="

2.(2011•湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=eX,则g(x)=

3.(2011•上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若：x)=x+g(x)在［0,1］上的值

域为［-2,5］,则f(x)在区间［0,3］上的值域为.

4.(2011•北京)已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x?的图象上，则使得aABC的

面积为2的点C的个数为.

5.(2011•上海)已知函数f(x)=a2x+b-3、，其中常数a,b满足ab#0.

⑴若ab>0,判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab〈O,求f(x+l)>f(x)时x的取值范围.

6.(2011・湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,

大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流

密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，

车流速度为60千米/小时.研究表明：当20WxW200时，车流速度v是车流密度x的一次

函数.

(1)当0WxW200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆

/小时)f(x)=x-v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)

(2011•镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)=3—21og2X,g(x)=log2x.

(1)如果xG[l,4],求函数h(x)=(f(x)+l)g(x)的值域；

(2)求函数M(x)Jx)+g(x\f(x)—g(x)|的最大值;

(3)如果对不等式f(x2)f(F)>kg(x)中的任意Xd[l,4],不等式恒成立，求实数k的取值

范围.

解：令t=10g2X,(1分)

2

(l)h(x)=(4-21og2x)-log2x=-2(t-l)+2,(2分)

Vxe[l,4],.,.te[0,2],(3分)

，h(x)的值域为[0,2].(4分)

(2)f(x)—g(x)=3(l—log2x),

当0<xW2时，f(x)》g(x)；当x>2时,f(x)<g(x),(5分)

fg(x),Rx)》g(x),(logx,0<xW2,

，M(x)=iM(x)=彳2(6分)

〔f(x),f(x)<g(x),[3-21og2x,x>2,

当0VxW2时，M(x)最大值为1；(7分)

当x>2时，M(x)<l.(8分)

综上：当x=2时，M(x)取到最大值为1.(9分)

(3)由f(x2)f(-\/x)>kg(x),得(3—4log2X)(3—log2X)>k-log2X,

VxG[l,4],AtG[0,2],

:.(3-4t)(3-t)>kt对一切te[0,2]恒成立,(10分)

①当t=0时，keR；(11分)

②te®2]时，kvG_4?(3—t)恒成立,即k<4t+,-15,(12分)

993

•••4t+?212,当且仅当4t=：,即t=]时取等号.(13分)

9

4t+y-15的最小值为-3.

综上：k<-3.(14分)

第2讲函数、图象及性质

教师备选题

1.已知a=^2],函数f(x)=a*,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系

为.

【答案】m<n解析：考查指数函数的单调性

a=^2%(0，1),函数f(x)=a、在R上递减.由f(m)>f(n)得：m<n.

2.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x—a)|x—a|.

(1)若f(0)2l,求a的取值范围；

(2)求f(x)的最小值；

(3)设函数h(x)=f(x),xG(a,+8),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)》l的解

集.

点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考

查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.

a<0,

解：⑴若戈0)21,则一a|a|elaW—1.

a2^l

・・.a的取值范围是(一8,-1]

(2)当x2a时，f(x)=3x2—2ax+a2,

f(a),a20,2a2,a，0,

Rx)min-2a2

,a<0亍a<0,

R—a),a20,—2a2,a^O,

22

当xWa时，f(x)=x+2ax—a,f(x)min=

«a),a<02a2,a<0,

—2a2,a20,

综上岖温=等，aVO.

(3)xe(a,+8)时，h(x)21得3x?—2ax+a2-120,A=4a2-12(a2-1)=12-8a2.

当aW—乎或

，AWO,x《(a,+°°)；

20,

当一，A>0,得：<

、x>a,

讨论得：当a解集为(a,+8)；

/

/亚

当aG-a-yS-Za2口a+d3—2a^

\2时,解集为Ia,-

\33，+°°

_

也

当ae-

2J，解集为

3

3

综上，当一8,+8时，解集为(a,+8),当a£

.2'

-a+、3-2a2a一山一2a?

解集为+«>，当aS时，解集为a,

3当3

-a+^/3-2a2

U,+°°.

3，

基础训练

1.|x2+|x

x+1WO,

2.(—8,—1)U(—1,0)解析:xVO,xW—1.

|x|—x>0

3.-4解析：函数图象关于直线x=l对称，则f(x)=f(2—x),函数图象关于点(2,0)

对称，则f(x)=-f(4—x),f(x+2)=-f(x),二f(x+4)=f(x),

...f(竽=(1004+*巧,又

-6,6)+(竽=2f@=-2f(-4-4.

4.—1,解析：x£[—1,2]时，f(x)e[—1,3].m，0,x£[—1,2]时，g(x)e[2—m,2

+2m]；m<0,x£[—1,2]时,g(x)^[2+2m,2—m].m20,[2—m,2+2m][—1,3];mV

0,[2+2m,2-m][-1,3]得OWmwg或一1Wm<0,故实数m的取值范围是一1,1.

例题选讲

例1解：(1)•・•f(x)是二次函数，且f(x)V0的解集是(0,5),J可设f(x)=ax(x-5)(a

>0).

・・・f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-l)=6a.

由已知得6a=12,a=2,/.f(x)=2x(x-5)=2x2—1Ox(xR).

(2)方程f(x)+q~=O等价于方程2x3-10x2+37=0.设h(x)=2x3-10x2+37,则h，(x)

=6x2—20x=2x(3x~10).

当xW(0,果时，h'(x)<0,h(x)是减函数；当xe作，+8)时，h'(x)>0,h(x)是

增函数.

：h(3)=l>0,h[y)=-jy<0,h(4)=5>0,；.方程h(x)=O在区间(3,y),(宇，4)

内分别有唯一实数根，而在区间(0,3),(4,+8)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m

=3,使得方程f(x)+¥=()在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.

变式训练已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=f(x)(一

IWxWl)的图象关于原点对称.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且

在x=2时函数取得最小值一5.

(1)证明:f(l)+f(4)=0；

(2)求y=f(x),xG[l,4]的解析式；

(3)求y=f(x)在乩9]上的解析式.

(1)证明：：f(x)是以5为周期的周期函数，；.f(4)=f(4—5)=f(—1),

又♦y=flx)(-IWXWI)关于原点对称，f(l)=-f(-l)=-f(4),

二f(l)+f(4)=0.

(2)解：当时，由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0),

由f(l)+f(4)=0得a(l-2)2-5+a(4-2)2-5=0,a=2,

二f(x)=2(x-2)2—5(lWxW4).

(3)解：y=f(x)(—IWXWI)是奇函数，，f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，

二可设f(x)=kx(OWxWl),而41)=2(1—2)2—5=—3,二k=-3,，当OWxWl时，f(x)

=—3x,从而当一IWxVO时，f(x)=—f(—x)=-3x,故一iWxWl时，f(x)=-3x,/.当

4WxW6时，有一iWx—5W1,f(x)=f(x—5)=—3(x—5)=—3x+15,

当6<xW9时，l<x-5W4,f(x)=f1x-5)=2[(x-5)—2『一5=2(x-7尸一5,f(x)

f—3x+15,4WxW6,

一12(X-7)2—5,6VXW9.

点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为己知的，注意函数图象及端点值.

例2解：(1)当a=0时,f(x)=x2,对任意xG(—8,0)U(0,+°°),f<-x)=(-x)2

=x2=f(x),:.f(x)为偶函数.

ca

当aWO时，f(x)=x~+baW。，xWO),

Wx=±l,得f(-l)+f(l)=2W0,f(—l)—f(l)=-2aW0,

/.函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)(解法I)设2WXI<X2，

f(x1)—f(X2)=X；—x^一]=(x；j"[xIX2(X1+X2)—a],

X1x2xlx2

要使函数f(x)在x£[2,+8)上为增函数，必须f(X])—f(x2)V0恒成立.

*.*Xj—x2<0,XIX2>4,即aVx]X2(x1+x2)恒成立.

又;Xj+x2>4,AX1X2(X1+X2)>16.

的取值范围是(-8,16].

(解法2)当a=O时，f(x)=x2,显然在[2,+8)为增函数.

当aVO时、反比例函数:在[2,+8)为增函数，

/.f(x)=x2+：在[2,+8)为增函数.

当a>0时，同解法1.

(解法3)f'(x)=2x—?20,对xe[2,+8)恒成立.aW2x?而yW2x?.在[2,+°0)

上单调增,最小值为16,aW16.

点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题.

例3解：⑴由已知出一x)=(x),E[J|2x—a|=|2x+a|,解得a=O.

1

x2+2x-a,x2产

{x2—2x+a,x〈]a,

当时，f(x)=x2+2x—a=(x+1)2—(a+1),

山a>2,xega,得x>l,从而x>—1,又f'(x)=2(x+l),

故f(x)在X2%时单调递增，f(x)的最小值为e)=s

1°

当x<2^时\f(x)=x2—2x+a=(x—l)o~+(a—1),

故当IVxV即寸，f(x)单调递增，当xVl时，f(x)单调递减，

则f(x)的最小值为f(l)=a—l；

2g—2)2

由a彳一(a—1)=-->0,知f(x)的最小值为a—1.

点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法.

变式训练已知函数f(x)=x|x—2］.设a>0,求f(x)在［0,a］上的最大值.

X2-2X=(X-1)2-1,X》2,

解：f(x)=x|x—2|=

—X2+2X——(x—1)2+1,x<2.

...f(x)的单调递增区间是(-8,1］和［2,+8)；单调递减区间是［1,2］.

①当OVaWl时，f(x)是［0,a］上的增函数,此时f(x)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(2

—a)；

②当l〈aW2时,f(x)在［0,1］上是增函数,在［1,a］上是减函数,此时f(x)在［0,a］上的

最大值是f(l)=l;

③当a>2时，令f(a)-41)=a(a-2)-l=a2-2a—l>0,解得a>l+，l

若2<aWl+g,贝I」f(a)Wf(l),*x)在［0,a］上的最大值是f(l)=l；

若a>l+［L贝ijf(a)>f(l),f(x)在［0,a］上的最大值是出a)=a(a—2).

综上，当0<a<l时，f(x)在［0,a］上的最大值是a(2-a)；当1—W1+娘时，*x)在［0,

a］上的最大值是1；当a>l+皿忖，f(x)在［0,a］上的最大值是a(a—2).

例4解：设y=f(x),

(l)a=l时，f(x)=Mx+l+|x|,

当xd(0,l］时，f(x)=5Tl+x为增函数，y的取值范围为(1,1+啦］.

当xe［—1,0］时，f(x)=#x+l—x,令t=#x+l,OWtWl,

则xV—l,y=一。一号+点OWtWl,y的取值范围为1,

•••*1+6

时，函数Rx)的值域为0,1+也］.

(2)令t=.x+a,则x=t2—a,t20,y=g(t)=t+a/一a|.

①a=0时，哙)=质无单调减区间；

②a<0时，y=g(t)=at2+t-a2,在(一+8)上g(t)是减函数，则在(表一a,+0°^

上f(x)是减函数..・・aV0不成立.

—at2+t+a2,OWtW,,

③a>0时,y=g(t)=<

^at2+t—a2,

仅当(V,,即a>dT时，

在(4’时，g(t)是减函数，即x£(表一a,0)时，f(x)是减函数.

131o

.,.n—m=a—薪忘评，即(a—2)(16a~+a+2)W0.，aW2.

故a的取值范围是靡，2.

高考回顾

1.1解析：f(—x)=-f(x)恒成立或从定义域可直接得到.

2.g(x)=­2—解析：因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(—x)+g(—x)

=f(x)-g(x)=ex.

e*+er

又因为f(x)+g(x)=ex,所以g(x)=-5—.

3.[-2,7]解析：设X|G[O,1],则Rxi)=X|+g(xi)G[—2,5],•••g(x)是定义域为R周期

为1的函数，,当X2^[1,2]时,f(X2)=Xi+1+g(x1+l)=l+x1+g(X,)=l+f(Xi)G[—1,6],

当X2W[2,3]时,f(X2)=xi+2+g(X|+2)=2+xi+g(X|)=2+f(X|)W[0,7],/.f(x)在区间[0,3]

上的值域为[-2,7].

4.4解析：AB=26，直线AB的方程为x+y=2,在y=x?上取点C(x,y),点C(x,

2

y)到直线AB的距离为近，区芍=2=蛆，|X+X-2|=2,此方程有四个解.

5.解：⑴当a>0,b>0时，任意X],X20R,X]<X2,

贝ijf(x])—f(x2)=a(2xj—2x2)+b(3xi—3X2),

*.*2XI<2X2,a>0a(2xi—2X2)<0,3XI<3x2,b>0b(3xj—3x2)<0,

・・・f(X|)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.

当a<0,b<0时，，同理函数f(x)在R上是减函数.

(2)f(x+l)-f(x)=a-2x+2b-3x>0,当aVO,b>0时，(1>>一玲，则

x>logi,5(—&)；当a>0,b<0时，(1)x<一东，则x<log"(一射.

6.解：⑴由题意:当0WxW20时,v(x)=60：当20WxW200时,设v(x)=ax+b,

200a+b=0,[a=-3)

显然丫仪)=a*+1?在[20,200]是减函数，由已知得,，人解得<故

20a+b=60,|1?=于200

60,0WxW20,

函数v(x)的表达式为v(x)=〈l

^(200-x),20<X^200.

'60x,0WxW20,

(2)依题意并由⑴可得f(x)=］11

铲(200—x),20Vx<200.

当0WxW20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60X20=1200；

当20<xW200时，Kx)=1x(200—x)W§-------g---=-j-,

当且仅当x=200—x,即x=100时，等号成立.

所以，当x=100时，f(x)在区间［20,200］上取得最大值3詈.

综上，当x=100时，f(x)在区间［0,200］上取得最大值普丝^3333,

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

基本初等函数

第3讲

考点解读

1.掌握指数函数的概念、图象和性质.

2.理解对数函数的概念、图象和性质.

3.能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题.

4.了解事函数的定义，熟悉常见黑函数的图形与性质.

1.函数y=loga(x+2)+l(a>0,aWl)的图象经过的定点坐标为.

2.函数y=lg(x2-2x)的定义域是.

3.函数y=a、(a>0,aWl)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a?*—2a'—3>0的解

集为.

4.定义：区间［xi，X2］(Xi〈X2)的长度为X2—Xi.已知函数y=|logo.5x|定义域为［a,b］,值域

为［0,2］,则区间［a,b］的长度的最大值为.

【例1】函数f(x)=^不小a，b，cdZ)是奇函数，且f(l)=2,f(2)<3.

(1)求a,b,c的值；

(2)当xvO时，讨论f(x)的单调性.

【例2】已知函数f{x)=2X—次.

(1)若f(x)=2,求x的值;

(2)若2，f(2t)+mf(t)20对于te［l,2］恒成立，求实数m的取值范围.

【例3】已知函数g(x)=ax2-2ax+l+b(aW0,b<l),在区间［2,3］上有最大值4,最

小值1，设f(x)=号.

(1)求a,b的值:

(2)不等式fQX)—kOO在x£[—1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)方程珀2*—1|)+1<(冒力—3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

【例4】(2011•盐城二模)已知函数f(x)=”U是定义在R上的奇函数，其值域为

「111

4.'

(1)试求实数a、b的值；

(2)函数y=g(x)(xGR)满足：当xd[0,3)时，g(x)=f(x)；g(x+3)=g(x)lnm(mW1).

①求函数g(x)在xG[3⑼上的解析式；

②若函数g(x)在xd[0,+8)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明

理由.

1.(2011•广东)设函数f(x)=x3cosx+l.若f(a)=ll,则«—a)=.

2.(2011・江苏)函数f(x)=log5(2x+l)的单调增区间是.

xWl,

3.(2011•辽宁)设函数f(x)=则满足f(x)W2的x的取值范围是

[I-log2x,X>1,

4.(2011・山东)已知函数f(x)=logax+x—b(a>0且aWl).当2VaV3VbV4时,函数出x)

的零点x()£(n,n+1),n£N*,则n=.

2

5.(2009•山东)已知函数f(x)=x--+a(2—lnx)(a>0),讨论f(x)的单调性.

6.(2011•陕西)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x).

(1)求g(x)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(x)与gQ的大小关系；

(3)求实数a的取值范围，使得g(a)—g(x)<；对任意x>0成立.

a

(2011•常州模考)体小题满分16分)已知a为实数,函数f(x)=(l+ax)ex,函数g(x)==—

iax

令函数F(x)=f(x)g(x).

(1)若a=l,求函数f(x)的极小值；

(2)当a=-g时，解不等式F(x)<l；

(3)当a<0时，求函数F(x)的单调区间.

解：(1)当a=l时，f(x)=(l+x)ex.

则f‘(x)=(x+2)e*.令f'(x)=0,得x=-2.(l分)

列表如下：

X(一8,-2)-2(-2,+8)

f'(X)—0+

f(x)极小值f(-2)

...当x=-2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(—2)=-er(3分)

12—x

(2)当a=—］时，F(X)=4^X,定义域为｛x|xW—2,xSR｝.

...F'的=(留'€>+妥(炉)'=一告<。，

二F(x)在(一8,—2)及(一2,+8)上均为减函数.(5分)

■:当XG(—8,—2)时，F(x)<0,Xd(—8,—2)时，F(x)<l.

V当xG(-2,+8)时，F(0)=l,...由F(x)Vl=F(0),得x>0.

综上所述，不等式F(x)<l的解集为(-8,-2)U(0,+8).(7分)

(3)函数F(x)=：；：e、,定义域为｛xxGR,

2r22a+-

—a2x2+2a+la\-a2)

当aV。时，F,(x)—『——

./口)2a+1,八

令AF(x)=0,得x=—r".(9分)

a

①当2a+l<0,即a<-g时，Fz(x)<0.

当a<—g时，函数F(x)的单调减区间为