概率论与数理统计讲义稿

第一章随机事件与概率

§1>1随机事件

1、1、1随机试验与样本空间

概率论约定为研究随机现象所作得随机试验应具备以下三个特征：

（1）在相同条件下试验就是可重复得；

（2）试验得全部可能结果不只一个,且都就是事先可以知道得；

（3）每一次试验都会出现上述可能结果中得某一个结果，至于就是哪一个结果则事前无法

预知。

为简单计，今后凡就是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验得每个可能结果

为样本点,并称全体样本点得集合为试验得样本空间，分别用希腊字母与表示样本点及样本空

间。

必须指出得就是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验得目得。假

设抛掷一枚硬币两次，出于某些目得,也许只需要考虑三种可能得结果就足够了，两次都就是

正面，两次都就是反面，一次就是正面一次就是反面。于就是这三个结果就构成了样本空间。

但就是，如果要知道硬币出现正反面得精确次序，那么样本空间就必须由四个可能得结果组

成,正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落得精确位置,它们在

空中旋转得次数等事项,则可以获得其它可能得样本空间。

经常使用比绝对必要得样本空间较大得样本空间，因为它便于使用。比如,在前面得例子

中，由四个可能结果组成得样本空间便于问题得讨论，因为对于一个“均匀”得硬币这四个

结果就是“等可能”得。尽管这在有3种结果得样本空间内就是不对得。

例1、1、1:从最简单得试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出

现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能就是“合格”或“不合格”；当用来模拟电

子产品旋转得方向时，结果就是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：=｛正

面，反面｝。

:更复杂一些,有得随机试验会产生多种可能得结果，比如掷一颗骰子,观察出现得点数。

样本空间为：。

:掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到

=｛（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面）｝

读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？

:再复杂一些,一名射手向某目标射击,直至命中目标为止,观察其命中目标所进行得射

击次数。从理论上讲,只要不能击中目标,射手就必须一直射下去,故样本空间为

其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品,每天销

售得该商品数得样本空间为。

:在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量她得身高与重量，电梯设计师能利用这些资

料设计电梯得空间与载重，对于中国人，身高（单位：米）得样本空间取就足够了，体重（单位:

公斤）得样本空间取也许就足够了。在大部分实际得设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯

使用者得所有可能得身高与体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高

与体重得结果感兴趣。因此，样本空间就是。口

1、1、2随机事件

随机试验得结果称为随机事件,简称事件,并以大写英文字母记之。

1、1、3事件与集合得对应以及它们得运算

通常用希腊字母表示样本空间，表示样本点。称“就是得成员”或者“属于”，或者“就

是得元素”，记为、

如果不就是试验得一个可能结果，那么不就是得元素，则记为、

一个事件对应于样本空间得一个子集,因此某事件发生当且仅当它对应得子集中得某个

元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件就是得子集。事件得相互关系与集合论中集合得

包含、相等以及集合得运算等概念对应。以下就就是这些对应关系与运算。为简化起见，以

下均假设涉及得集合等都就是得子集，而不再每次申明。

1.事件得包含一集合得包含

集合即“包含于"，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示得样本点都

在中，即当得样本点出现于试验结果之中，即发生时，当然也就发生了，或说“得发生必导致得

发生”。

图1、1得文氏图

2.事件得相等一集合得相等

称集合A与B相等，并记为,就是说“且”。对应于事件,称A与B相等,记为,就就是“如

果发生，则必然发生，同样如果发生,则必然发生”。相等得事件含有相同得样本点。

3.事件得并（与）一并集

集合A与B得并集记为,它得元素或者属于,或者属于（当然有得可能同时属于A与B）,

即。对应事件得并表示“或至少有一个发生”。

图1、2得文氏图

并得概念可以推广到个事件与可数个事件，得并表示“中至少有一个发生”；可数个事

件得并表示“中至少有一个发生”。

4.事件得交（积）一交集

两个集合A与B得交集记为，它就是由既属于A又属于8得元素构成得集合，即

对应于事件得交表示“A与B同时发生”。常简记作。

图1、3得文氏图

类似地，交得概念也可以推广到个事件得交，表示“个事件同时发生”，可数个事件得交

表示“可数个事件同时发生”。

5.逆事件（对立事件）一补集

得子集A得补集记为，它就是由属于但不属于A得元素构成得集合，因为仅牵涉到属于（样

本空间）得点，集合就就是由那些不属于A元素组成得。记为

图1、4得文氏图

对应于事件,发生当且仅当不发生时发生,称作事件得逆事件。利用上述事件得并与交得

运算符号,有

及

6.事件得差一差集

集合与得差集由中那些不属于得元素全体组成。对应地,事件得差表示“发生而不发生”

即。

图1、5得文氏图

7.互斥（或不相容）一事件不交集

在集合论中,若,则表明,没有公共元素,它们互不相交。对应于事件,若,则表明，不同时

发生,称与互斥（或不相容）。

图1、6得文氏图

8.必然事件与不可能事件一样本空间与空集

有两个特殊得集合需要特别讨论，一个就是样本空间本身，从集合得定义容易推断出就是

它自身得子集，从包含关系得左边取一个元素使它不在右边集合中，显然就是不可能得，因

此。又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空得集合），必定就是每一个集合得子集,对任何

子集,要从中找到一个元素不在中，显然就是不可能得，因为没有元素，因此，成立。

对应于事件,称试验必然会出现得结果为必然事件。

注意到以下等式总就是成立得

上述事件间得关系与运算可由集合论中得文氏图予以展示。

与集合运算一样,事件得运算亦有如下得运算律：

1.交换律:，；

2.结合律:,;

3.分配律:，；

4.对偶律:，。

上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件得情况。例如,对个事件有分配律

对偶律留给读者自行写出。

图1、7个事件得关系图

对可列个事件得分配律也留给读者，此处给出有对偶律

及

为帮助读者熟悉事件得运算。以三个集合为例,小B与C得并集，如图1、8得文氏图就

是有用得。根据图1、8,请读者检验这些等式：

A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)

图1、8三个事件得关系图

例已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令分别表示其第一、二、

三次所抽到得螺钉就是次品得事件。试用及其运算表示下列事件：

⑴第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次

品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。

解（1）（2）（3）

(4)(5)⑹、

§1、2概率

1、2、1频率与概率

定义1、2、1称在相同条件下所做得次试验中事件发生得次数为发生得频数，并称比

值为事件发生得频率,记作

定义1、2、2在相同条件下所做得次试验中，当时,事件发生得频率稳定在某个常数附

近。称此常数为事件发生得概率,记作

1、2、2概率得公理化定义

定义1、2、3设试验得样本空间为。对于中每一个事件都赋予一个实数，它具有以下

三条基本性质：

1、；

2、;

3、如果就是中任意一列两两互斥得事件，无论有限或无限，如果

表示事件“至少出现一个“，则

或表示为

则称实数为事件得概率。

利用概率得三条基本性质可以推导出概率得其她性质。

4、。

证因,，故由基本性质2及3有

移项即得。口

5、不可能事件得概率为0,即。

证因，由基本性质3有

再由性质1得。口

注空集得概率为0,它被称之为不可能事件。但要注意得就是这并不就是意味着一个概率为

0得事件A必须就是“不可能”或者等于。将在后面举例说明。

6、有限可加性:若事件两两互斥，则

证因，故

再由性质3与5即得。口

注本性质从概率得可数可加性导出了有限可加性。

7、若，则且

O

证由于，则，且与互斥，故由性质6有

即。

再由性质1,,于就是。口

8、（加法定理）如果与就是任何事件，不必就是互斥事件，则

证显然

与

对于每一个等式来说右端得并集中得两个事件都就是互斥事件。

根据性质3

第二个等式给出，把它代入第一个等式就得到了要证明得结论。

可将性质8推广到个事件得情形:如果“就是任何事件，不必就是互斥事件，则

「J屋「⑷M4）

（1、2、3）

右边得这些加与包括了单个事件、两个事件、三个事件等得所有可能得交集。

证遵循性质8得证明可以用归纳法证得，具体得细节省略,熟悉归纳法证明得读者应该

没有困难得补充这些证明。□

1、2、3古典概型

下面讨论一类在概率论发展初期讨论得最多得试验一一古典概型得概率计算。它适用于

有限得离散概率空间得情形,并且每个样本点都以等可能出现。

定义1、2、4设试验得样本空间有有限多个样本点，即,且每个样本点出现得可能性相

同。称此试验为古典概型。

因为样本点就是两两互斥得,根据概率得基本性质2与3,在古典概型中,一方面有

另一方面，所有都相等，所以

可见每一个样本点出现得概率为

所以,若事件由个样本点构成,则其发生得概率

这就是古典概型计算事件概率得基本公式。

§1、3独立性

1、3、1事件得独立性

1、两个事件得独立性

从字面意义上说,若事件与事件得发生互不影响,称与相互独立应就是恰当得。那么概率

论中该如何定义事件得独立性呢？

定义1、3、1称两个事件与互相独立（或者统计意义下得独立），如果

（1、3、1）

作为特殊情形，若中有一个就是必然事件或不可能事件，则（1、3、1）式显然成立。这表

明，任意事件都与（或）相互独立。

定理1、3、2设事件与事件相互独立，则与，与，与亦相互独立。

证以下证明与相互独立，

此即与得独立性。关于事件与独立，只要交换与角色即可。类似可证关于事件与得独立性。

□

初学者往往容易将事件与独立与事件互斥相混淆,常误以为独立就就是互斥。或许就是

独立与互斥这两个汉语词汇得词义相近造成这样得误解。其实当都具有正概率时，由定义1、

3、1,若独立,则,从而相容而不就是互斥;而当互斥时则因，但,所以不独立。

2、多个事件得独立性

先考虑3个事件,称事件两两独立,如果

（1、3、2）

进一步称互相独立，如果（1、3、2）成立，并且

（1、3、3）

也成立。显然互相独立要强于两两独立。

读者也许会问，三个事件得独立性可否只用公式（1、3、3）来定义？回答就是否定得。

由于（1、3、3）式成立不能保证（1、3、2）式成立，若只用（1、3、3）来规定三个事件得独立性

就可能出现下面得令人难以接受得结果:当满足，中可能有两个事件不相互独立。请瞧下面得

例子：

例1、3、3假设投掷两枚均匀得硬币，设就是事件“第一次出现正面”，设就是事件“第

二次出现正面”，设就是事件“两个硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件与事件就是

独立事件，而事件与也就是独立事件，同样与就是独立事件（为什么？）。所以事件，与就是两两

独立，但就是观测，然而

从而事件，与就是不独立得，尽管她们就是两两独立。口

另一种情况，仅有（1、3、3）,也不能保证1、3、2）成立，见下例。

例1、3、4掷一颗骰子,观察其点数。令,，，则有

于就是

例1、3、3与1、3、4表明，等式（1、3、2）与（1、3、3）不能互相自然导出。可见由（1、

3、2）及（1、3、3）来定义三个事件得相互独立性就是完全必要得。以下把它推广到个事件。

定义1、3、3称事件两两相互独立得，如果

（1、3、4）

对任何成立、

若个事件满足以下个等式

则称个事件相互独立。

由此定义瞧出，在规定个事件得相互独立性时应能保证其中得任意个事件亦相互独立。

惟有如此才就是合理得。因此也可把上述定义重述为:称一列事件就是相互独立得,如果其中

任意有限多个事件相互独立。

对于个相互独立得事件亦有类似于定理1、3、2得重要结论，这里不再赘述。

33、2伯努利概型

像掷硬币试验那样只有两个可能结果与得试验称之为伯努利（Bernoulli）试验。又如，

射手向某目标射击,只考虑两个结果:击中与未击中;掷一颗骰子考察结果就是出现6点还就

是未出现6点;从一批产品中任意取出一件产品,瞧其就是合格品还就是不合格品；买彩票中

奖或不中奖;这些都就是伯努利试验。为方便计，有时将称作“成功”，而将称作“失败”。

与掷硬币试验一样,人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行次。显然,次试验得结果

应就是相互独立得,且每次试验中事件发生得概率都一样。称这样得试验为独立重复试验。

定义1、3、4称独立重复进行得次伯努利试验为重伯努利试验。称独立重复进行得可

数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。

例1、3、6（例1、2、5续）设一个口袋里有6个红球与4个白球，每次从中取出一个球,

再放回，连续取3次。求恰有2个红球得概率。

解这就是一个3重伯努利试验。由题设可知每次取到红球得概率为0、6,若以表示第

次“取到红球”得事件,则试验得样本空间为

o={A4A，A4A，AAA，AAA，A4A，A4A，A4A，AAA）.

由独立性,容易算出每个样本点出现得概率。例如,而。

由于事件="恰有2个红球”=,其中样本点就是两两互斥得,所以

§1、4条件概率

1、4、1条件概率

定义1、4、1设为两个事件,若,则定义“事件发生条件下事件发生得条件概率”为

（1、4、2）

定义1、4、1适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）得条件概率定义，它同时提

供了用无条件概率计算条件概率得方法。因为条件概率也就是概率,因此它也应具有类似无

条件概率得三条基本性质：

1、；

2、;

3、对两两互斥得事件列，有

（1、4、3）

注条件概率既然就是概率,它也应有概率得其她性质，如加法定理:如果与就是任何事件,

不必就是互斥事件，则

读者可以把无条件概率得其她性质推广到条件概率。

可以把条件概率进一步推广到多个事件得情形，如果就是n个事件，给定出现，那么得条

件概率由下面得公式给出：

（1、4、4）

1、4、2乘法公式

利用定义1、4、1立即可得下面得概率乘法定理。

定理1、4、2设为两个事件,则当时，

（1、4、5）

称上面得公式为乘法公式。

有一个重要得特殊情形，当与相互独立时,事件得发生不会改变发生得概率，即时,这时

乘法公式变为

（1、4、6）

反之，当时，若相互独立，则有独立性定义与公式（1、4、3）有于就是得到下面得定理。

定理1、4、3设,则事件相互独立得充要条件就是

（1、4、7）

下面给出乘法定理得推广形式。

定理1、4、4设有个事件满足,则有

4）=P（A）P（AIA）P（4IA4）尸（AJAAAT）4、

8）

证注意到，并次使用定理1、4、2即得。

□

1、4、2全概率公式与贝叶斯公式

定义1、4、4假设就是为某试验得样本空间得一组互不相容得事件,也就就是满足，如

果还满足,则称事件组为得一个分割。即任两个不可能同时出现，而且其中一个必须出现。

定理1、4、5设为得一个分割,且有,则对任意事件有

（1、4、10）

证由定理假设,就是任何事件，如果发生，那么它必然与中一个同时发生（见图1、9）o即

因两两互斥，故亦两两互斥，由概率地定义1、2、3得性质3可得

再利用公式（1、4、5）就得

P（A）=P（AI4）P（4）+P（AI与）尸（与）+…+P（AIB“）P电）

□

全概率公式可以推广到可数得子集构成得分割得情形。即假设就是可数多个互不相容事

件，且满足,与,则如果有,则对任意事件有

（1、4、11）

下面来探讨另一个问题。如果观测到事件实际发生，要计算条件概率。通过使用（1、4、

4）与（1、4、11）,发现

（1、4、12）

公式（1、4、12）称为贝叶斯（Bayes）公式，有许多得应用。

定理1、4、6（贝叶斯定理）事件组为得一个分割，且有，则对任意事件有

证由条件概率公式（1、4、2）

分子使用乘法公式（1、4、5）、分母用全概公式（1、4、10）即得。

通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。

第一章

一、选择题。

1、设为随机事件，且，则必有（)

(B)

（c）（D）

2、将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:=｛掷第一次出现正面｝,=｛掷第二次出现正面｝=｛正、

反面各出现一次｝,=｛正面出现两次｝，则事件有（）

（A）相互独立（B）相互独立

（C）两两独立（D）两两独立

3、对于任意二事件与，则（）

（A）若,则一定独立（B）若,则有可能独立

（0若,则一定独立（D）若,则一定不独立

4、，就是两随机事件,当,发生时事件发生,则以下正确得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

5、，，就是三个随机事件，其中，且己知，则以下正确得就是（）

A）、B）、

C）、D）、

6、，，就是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确得就是（）

A）、B）、

C）、

D）、

7、，就是两个随机事件，其中，则以下正确得就是（）

A）、，，一定独立B）、，，不一定独立

0、，，一定独立D）、，，不一定独立

8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全就是白球,今从甲袋中任取2球,从乙袋中任取1

球混合后,从中任取1球为白球得概率

9、10台洗衣机中有3台二等品,现已售出1台,在余下得9台中任取2台发现均为一等品,

则原先售出1台为二等品得概率为

10、若A,B为任意两个随机事件，则()

(A)(B)

(C)(D)

11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标得概率为,则此人第4次射击恰好第2

次命中目标得概率为()

(A)(B)

(C)(D)

12、设43就是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|Z),则必有()

(A)P(A|B)=尸(A|B)(B)P(A|B)丰P(A\B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)尸(AB)rP(A)P(B)

二、填空题

1、，就是两随机事件,，，则。

2、，就是两随机事件,，，则0

3、，就是两随机事件,，，则o

4、一袋中有10件产品,其中3件次品,7件正品，从中不放回地取3次,则“至少有两件次品

得概率”为。

5、从5双不同得鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双得概率

为o

6、设有个人,每个人都等可能得被分配到个房间中得任意一间去住，求(1)、指定得个房间各

有一个人住得概率为。(2)、恰有个房间各有一个人住得概率

为。

7、从中任取两个数与,则满足条件得得概率为。

8、随机地向半圆(其中，就是常数)内掷一点,则原点与该点得连线与轴得夹角小于得概率为

9、从长度为得线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形得概率

为o

10、试证对任意两个事件与,如果,则有

)

11、设P｛A)>0,>0,证明⑴若/与8相互独立,则A与6不互斥.(2)若4与6互斥，

则4与6不独立.

12、设两两相互独立得三事件A,B,C,满足：/8C=,尸(4)=尸(8)=尸(。<,并且,求事件A得概

率.

13、一袋中有5件产品，其中2件次品,3件正品,从中不放回地取2次,设=｛第一次取得正

品｝,=｛第二次取得正品｝，则。

14、若在区间(0/)内任取两个数,则事件”两数之与小于g”得概率为—、

15、在区间中随机地取两个数,则这两个数之差得绝对值小于得概率为、

16、设两个相互独立得事件A与8都不发生得概率为1,A发生B不发生得概率与B发生A不

9

发生得概率相等,则尸(A)=、

17、一批产品共有10个正品与2个次品,任意抽取两次,每次抽一个，抽出后不再放回，则第

二次抽出得就是次品得概率为、

18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0、6与0、5,现已知目标被命

中，则它就是甲射中得概率为、

第二章一维随机变量及其分布

§2、1随机变量

随机试验有各种不同得可能结果，有些情况下，这些可能得结果都可以用数量表示。

【例】在含有3件次品得20件产品中，任意抽取2件观察出现得次品数。如果用

表示出现得次品数，则可能取得值有0、1、2,取不同得值代表不同事件得发生。

””表示事件“没有次品”

表示事件“有一件次品”

表示事件“有两件次品”。

有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。

【例】抛掷一枚硬币，观察出现正面还就是反面。我们规定:变量取值如下

表示事件“出现反面”

表示事件“出现正面”

这样便把试验结果数量化了。

无论哪一种情形,都体现出这样得共同点:对随机试验得每一个可能结果，有唯一一个实

数与它对应。这种对应关系实际上定义了样板空间上得函数,通常记作,。

定义设随机试验得样板空间为，就是定义在样板空间上得实单值函数，称为一维随机变

量，通常用大写字母等表示。

随机变量得取值随试验得结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量得取值

就是随机得,具有偶然性;但随机变量取某一值或某一范围内值得概率就是确定得，具有必然

性。如，例1中“有一件次品”；例2中（“出现正面”）。这显示了随机变量与普通函数有着

本质得差异。

引入随机变量，可以将对随机事件得研究转化为对随机变量得研究,进一步有可能用数学

分析得方法对随机试验得结果进行深入得研究。

根据随机变量取值情况得不同,最常见得随机变量有离散型随机变量与连续型随机变量

两种。

§2、2离散型随机变量

定义如果随机变量得全部可能取值就是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为

离散型随机变量。

例如，“掷骰子出现得点数”，“某班数学得及格人数”只能取有限个值，“命中目标前

得射击次数”可取可列无穷多个值，它们都就是离散型随机变量。

一、离散型随机变量得概率分布

对于离散型随机变量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要得就是要知道它取这些值

得概率。

定义设离散型随机变量所有可能取得值为

取这些值得概率依次为，则称

,0

为离散型随机变量得概率分布或分布律。

概率分布也可以用如下表格得形式表示:

由概率得定义，概率分布具有以下两个性质:

(1),(2)o

【例】若离散型随机变量得概率分布为

求常数得值。

解由概率分布得性质，有

所以

二、三种常见离散型随机变量得分布

1.分布(或两点分布)

定义设随机变量只可能取0、I两个值，它得概率分布为

,0

即，

或

0

则称服从参数为得分布或两点分布。

只有两种可能结果得随机试验得概率分布都可用两点分布表求，如产品得“合格”与“不

合格”；新生儿得“男”、“女”性别;射击目标“命中”与“没命中”；以及掷硬币得“出现

正面”与“出现反面”等等。

2.二项分布

定义设随机试验只有两种可能得结果:或，在相同条件下将重复进行次,各次试验结果

互不影响,则称该次试验为重独立试验，又称为重贝努利试验。

若试验中，事件发生得概率,(),可以证明在重贝努利试验中，事件恰好发生次得概率为。

定义若随机变量得概率分布为

,0

其中，则称服从参数为得二项分布，记为。可以证明其满足分布律得两个条件。

特别地，当时，二项分布化为

即为分布或两点分布。

注意到恰就是二项展开式中得第项，二项分布由此得名。

满足二项分布得随机变量得取值就就是事件在重贝努利试验中发生得次数。

3.泊松分布

定义设随机变量所有可能取得值为,而取各个值得概率为

,0

其中就是常数，则称服从参数为得泊松分布,记为。可以证明其满足分布律得两个条件。

一般地，泊松分布可以作为描述大量重复试验中稀有事件出现得频数得概率分布情况得

数学模型，即当很大，很小，而乘积大小适中时，二项分布可以用泊松分布作近似

,0

§2、3随机变量得分布函数

一般情况下,人们只对某个区间内得概率感兴趣,即研究下列四种可能得区间得概率

P［xl<X<x2］或P｛玉<X<x2］或P｛玉（Xv%｝

只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论

P{xx<X<x2}=P{X<x2}-P[X<Xl]

P{xl<X<x1\=P[X<x2}-P[X<x{-s}

当

P[x1<X<x2]=P[X<x2-s]-P[X<xt-s]

P{xl<X<x2]=P{X<X2-£}-P{X<X1}

所以，我们只须定义一个形式就可以了，其她区间形式都可以用它表示出来。

于就是定义历福分布函数|。它就就是落在任意区间上得概率,本质上就是一个累积函数,对

于离散点,采用叠加,对于连续点,使用一元积分。

定义设就是随机变量,就是任意实数，函数

称为得分布函数。

分布函数就是一个普通得函数，其定义域就是整个实数轴.在几何上，它表示随机变量X

得取值落在实数x左边得概率

分布函数具有性质：

1、；

2、就是得不减函数;

3、

4、，即就是右连续得。

'P{xx<X<x2]=P{X<x2]-P[X<=F（x2）-F

P[xx<X<x2]=P{X<x2}-P[X<^-4=F（X2）-F（X1-0）

<X<X2}=P{X<^-£}-JP{X<^1-£}=F（X2-0）-F（X1-0）

P{xl<X<x2}=P{X<x2-s]-P[X<xj=F（X2-0）-F（X1）

*

P（X=X）=F（X）-F（X-O）=F（X）-limF（x）

OOOOX—>Xn-U

P（X>x0）=l-P（X<x0）=l-F（x0）

P（X<x0）=F（x0-Q）

上述全部可能得表示中，只有，但,因为假如，那么，当离散型在点得概率不为零时,等式就会

出现矛盾,故不可能左连续。其中，就是计算离散型分布函数得重要公式。

又,上式中根本不可能出现得形式,对上述5种关系没有任何影响，即右连续。当然，由于连

续型在一点得概率恒为零,所以,连续型分布函数左连续与右连续同时成立。正就是要求右连

续,才使成为分布函数得普适定义。

评注|分布函数可以描述任何类型得随机变量,不仅可以描述连续型,还可以描述离散型及

其其她非连续型,但不同得随机变量可以有相同得分布函数。对连续型任一点得概率等于零,

而对非连续型任一点得概率不一定等于零。我们要重点掌握离散与连续两类随机变量得分布

规律。注意,存在既非离散型又非连续型得分布函数,如等类型。

例设为两个分布函数，其相应得概率密度就是连续函数，则必为概率密度得就是()

(A)(B)

(C)(D)

【例】设都就是分布函数，常数，证明也就是分布函数,并举例说明分布函数不只就

是离散与连续两种。

证明:分布函数得三个基本条件：

(1)

⑵

⑶

石<々n耳(王)V耳(七)，月(为)〈心(々)

nR(xj=*(/)+此(xj<aFx(x,)+bF2=F(x,)

limF(x)=lim(a4(x)+68(x))=0

lim=lim(a耳(x)+6区(x))=a+Z?=1

F(x+0)=aF[(x+0)+6£(x+0)=aFl(x^+bF2(x)=*x)

所以，也就是分布函数。

取:，并令

由于就是不连续得分段函数，故即不就是离散型，又不就是连续型。

例设得分布函数为，求得概率分布。

解:由于要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间得为常数，故具有离散

型特征。在处有第一类跳跃间断点，即在这些点得概率不为零，即正概率点存在。

计算如下

得概率分布（即离散分布律）为

13

§2、4连续性随机变量及其概率密度

、连续性随机变量及其概率密度

定义对随机变量得分布函数，如果存在非负函数，使对任意实数，有

则称为连续型随机变量，其中称为得概率密度函数，简称概率密度。显然,改变概率密度在个别

点得函数值不影响分布函数得取值。

概率密度具有性质：

1、;

2、；

3、对于任意实数,，有

/

4、若在点连续,则有。

概率密度表示得不就是随机变量取值得概率，而就是在处概率分布得密集程度，得大小

能反映出在领域内取值概率得大小，

【例】设连续型随机变量X具有概率密度

⑴确定常数;(2)求得分布函数;⑶求。

连续型随机变量得分布函数就是得连续函数;取任一实数值得概率为0,即,因此有

P[a<X<b]=P{a<X<b]=P{a<X<b]=P[a<X<b}

注意:，但不一定就是不可能事件;同样，但不一定就是必然事件。

二、三种常见连续型随机变量

1.均匀分布

定义设连续型随机变量得概率密度为

则称在区间服从均匀分布，记为。可以证明它满足概率密度得两个最基本性质。

它得分布函数为

【例】设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测。试求至少有两次

测值大于3得概率。

解依题意得X得密度函数为

设卜表示三次独立观测中其测值大于3得次数，则

2.指数分布

定义设连续型随机变量得概率密度为

其中为常数，则称服从参数为得指数分布,记为。可以证明它满足概率密度得两个最基本性

质。

它得分布函数为

例指数分布得特点就是：“无记忆性”，即。试证明之。

证明：

〉

P(x0<X<x0+x,Xx0)P(x0<X<%0+x)nX>x0)

p(xo<X<x0+%|X>x0)

.(X〉x0)=P(X>x。)

2(x+A)

P(x0<X<xQ+x)_F(x0+x)-F(x0)_(1-g°)-(l-e^°)

=l--u=F{x)=P(X<x)

-尸力e

1(XWx0)-1-F(xo)-1-(1-”

例(2013数一)、设随机变量Y服从参数为1得指数分布,a为常数且大于零，则

P{Ya+l|Ya}=。

例、设随机变量X服从参数为人得指数分布,且X落入区间(1,2)内得概率达到

最大,则入=、

3.正态分布

定义设连续型随机变量得概率密度为

其中为常数，则称服从参数为得正态分布,记为。可以证明它满足概率密度得两个最基本性

质。

它得分布函数为

当时,称服从标准正态分布，记为，其概率密度与分布函数分别为

，。

易知。

对于一般正态分布与标准正态分布，有以下关系：

引理若，则。由此得

V,1„fX,-Jx2~/uyJx.-/J)

p{xx<x</}=B———<——<=—>=①——―-o———

【例】已知,求与。

【例】设，求落在区间内得概率。

定义设，对于给定得，如果满足条件

则称点为标准正态分布得上分位点。

显然有,。

常见得得值

0、0010、0050、010、0250、050、

10

3、0902、5762、3271、9601、6451、

282

§2、5随机变量得函数得分布

在实际问题中，不仅需要研究随机变量，往往还要研究随机变量得函数，即已知随机变量X

得概率分布，求其函数y=g(X)得概率分布、

【例】设随机变量具有以下分布，试求：(1),(2)得分布律

小结:设离散型随机变量得分布律为

其函数y=g(X)得分布律可按如下步骤计算：

⑴计算全部可能取得值:，有相同得只取其中之一，然后将它从小到大排列,记为；

(2)计算取各个值得概率:如果只与相同，则;如果与都相同，则。对每个都作同样处理，就可

确定取各个值得概率

【例】设随机变量具有概率密度

求随机变量得概率密度。

【例】设随机变量X服从(0,2)上得均匀分布,则随机变量在(0,4)内得概率

密度=.

小结:设连续型随机变量得概率密度为,，如何计算其函数Y=g(X)得概率密度？

⑴一般地，可先求得分布函数，由解出，得到一个与等价得得不等式,并以后者代替

“”(这一步就是关键)，然后将对求导得到概率密度。

【例】已知随机变量得服从上得均匀分布，求得概率密度。

解:：分布函数定义法

得概率密度为：

先确定得值域为。故

当时

得单调区域有两个，即，根据反函数得定义，得两个单调区域存在反函数。使用一般

法，得

(二「「"电公+•乃1

/(y)=PsinX<,)—dx,0<y<]

7T-arcys力n-

当y«0=>*y)=0；

当y21=>*>)=1；

—J.,0<y<1

r

当0<y<l=>fY(y)=F(y)=<小

0,other

【例】服从,求,，得概率密度。

解：

一般解法:由，故，当

当时

故得概率密度

(2)由知，当时,;

当时，因为不存在反函数，故使用一般解法

2

FY(y)=P(Y<y)=P(2X+1<y)=P(|x|<J-1)/2)

=川小-D/2<X<J(y-1)/2)

1(7(y-l)/2)2_]

X4^y-l)/22*4jy—l)/2jA

由知,当时〃

当时

K（y）=P（y<y）=P（|x|<y）=P（-y<X<y）=f2dx

7岳

第二章习题(A)

填空题

1.设随机变量x得分布函数为

则0

2.设随机变量X得密度函数为

则常数C=o

3.设随机变量X得概率密度为以Y表示对X得三次独立重复观察中事件出现得次数，则

P(Y=2)=o

4.设X服从［0,1］上得均匀分布，则概率=o

5.设为其分布函数,则对任意实数，有—-

6.设连续型随机变量X得概率密度为则—o

7.设随机变量X得概率密度为又为(0,1)中得一个实数，且，则。

8.若则X得密度函数得两个拐点为o

9.设X服从参数为得泊松分布，则使得达到最大得。

10.设X服从［0,1］上得均匀分布，则随机变量得概率密度为得概率密度为o

二.选择题

1.下列函数中能够作为分布函数得就是

(A)(B)

(C)(D)［］

2.设随机变量而且C满足，则C等于

(A)0(B)2008(C)1998(D)2010[]

3.设为一概率密度，则k得值为

(A)(B)(C)(D)[]

4.下列命题正确得就是

(A)连续型随机变量得密度函数就是连续函数。

(B)连续型随机变量得密度函数满足。

(C)连续型随机变量得分布函数就是连续函数。

(D)两个概率密度函数得乘积还就是密度函数。[]

5.设随机变量X得概率密度为，分布函数为，且，则对于任意实数，有=

(A)F(a)(B)

(C)(D)[]

6.设对于任何正数，有

(A)(B)

(C)(D)[]

7.设都就是随机变量得分布函数,则为使就是某随机变量得分布函数，必须满足

(A)(B)

(C)(D)[]

8.设为随机变量得分布函数，就是密度函数，则

(A)就是密度函数。

(B)就是密度函数。

(C)对任何满足就是密度函数。

(D)就是分布函数。[]

三.解答题

1.设随机变量X得概率密度为

求X得分布函数F(X)与概率。

2.假设随机变量X得概率密度为

对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于得次数，试求Y得分布律。

3.一个袋中有5只球，编号1,2,3,45在其中同时取3只，以X表示取出得3只球中得最大号码,

求X得分布律。

4.设10件产品中有7件正品、3个次品，现随机地从中抽取产品,每次抽1件，直到抽到正品为

止，求：

⑴有放回抽取下，抽取次数得分布律与分布函数；

⑵无放回抽取下，抽取次数得分布律与分布函数。

5.设顾客在某银行得窗口等待服务得时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为

某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟，她就离开，她一个月要到银行5次，以Y表示一个月

内她未等到服务而离开窗口得次数，试求Y得分布律以及概率。

6.设随机变量Y服从上得均匀分布〃且关于未知量X得方程没有实根得概率为，试求得值。

7.已知，试求Y得分布律。

8.设随机变量X得概率密度为

求得分布函数。

10、设随机变量X得分布函数为严格单调增加得连续函数,Y服从［0,1］上得均匀分布，证明随

机变量得分布函数与X得分布函数相同。

11.设X服从区间。4)上得均匀分布，随机变量，试求Y得密度函数。

第二章习题(B)

1、设随机变量，记，贝M)

(A)随着得增加而增加(B)随着得增加而增加

(C)随着得增加而减少(D)随着得增加而减少

2、设随机变量X~N(〃02),且二次方程y2+4y+x=0无实根得概率为0、5,则

广-------------、

3、设x与y就是相互独立得连续型随机变量,它们得密度函数分别为%(%)与人。)，分布函

数分别为弓⑶与%。)，则

。)%(%)+/丫(，)必为密度函数(B)%(%)力。)必为密度函数

(0Fx(x)+4⑶)必为某一随机变量得分布函数