新高考数学一轮复习教案第2章第3节 二次函数与幂函数（含解析）

新高考数学一轮复习教案第2章第3节二次函数与幂函数（含解析）主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容为二次函数与幂函数的性质及其应用，包括二次函数的图像与性质、幂函数的定义与性质，以及二者在解题中的应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容与初中数学中的二次函数和幂函数有关，学生已具备二次函数的基本知识和幂函数的基础概念。通过本节课的学习，学生能够进一步掌握二次函数和幂函数的性质，提高解决实际问题的能力。教材内容涉及《人教版数学》第二章第三节的相关知识。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过分析二次函数与幂函数的性质，引导学生从具体实例中抽象出数学模型；提升逻辑推理能力，通过探究函数性质，训练学生运用演绎推理和归纳推理解决数学问题；增强数学建模意识，让学生学会将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识进行解决；同时，强化数学运算能力，通过实际计算和推导，提高学生准确、高效地进行数学运算的能力。教学难点与重点1.教学重点

明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

-理解二次函数的图像与性质，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等。

-掌握幂函数的定义、性质及其图像特征，如单调性、奇偶性等。

-应用二次函数和幂函数的性质解决实际问题，如求解函数的最大值或最小值、函数的零点等。

2.教学难点

识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

-函数图像的直观理解：学生可能难以直观地理解函数图像的变化规律，例如二次函数图像的开口方向和对称轴的确定。

-函数性质的综合运用：学生在解决实际问题时，可能难以将二次函数和幂函数的性质综合运用，例如在复合函数中识别并应用各自的性质。

-数学抽象能力的提升：学生需要从具体的函数实例中抽象出一般性的函数性质，这要求学生具备较强的数学抽象能力，是本节课的难点之一。

-解题策略的选择：学生在解决具体问题时，可能难以选择合适的解题策略，例如在求解函数的零点时，是选择因式分解还是使用配方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：《人教版数学》第二章第三次函数与幂函数的相关内容，确保每位学生人手一册。

2.辅助材料：准备二次函数和幂函数的图像图表，以及相关函数性质的应用实例的图片和视频，以增强直观理解。

3.实验器材：无实验操作，无需准备实验器材。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，便于学生分组讨论函数性质，并准备书写板和投影设备，以便展示教学内容和学生作品。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台发布PPT和视频，要求学生预习二次函数和幂函数的基本定义和图像特征。

-设计预习问题：如“如何判断二次函数的开口方向？”、“幂函数的图像具有哪些特点？”等，引导学生思考。

-监控预习进度：通过学生提交的预习笔记和问题反馈，了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生通过阅读教材和预习资料，初步掌握二次函数和幂函数的基础知识。

-思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，记录自己的理解和疑问，为课堂讨论做准备。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台，教师进行初步评估。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示二次函数和幂函数的实际应用案例，如抛物线运动轨迹、声音频率等，激发学生兴趣。

-讲解知识点：详细讲解二次函数的顶点公式、对称轴等，以及幂函数的单调性和奇偶性。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析函数图像，并预测函数值。

-解答疑问：针对学生在讨论中提出的问题，及时给予解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师讲解的内容。

-参与课堂活动：学生在小组活动中，通过合作学习，加深对函数性质的理解。

-提问与讨论：学生在讨论中提出问题，与同伴交流思想，共同解决问题。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置涉及二次函数和幂函数性质的综合练习题，巩固课堂所学。

-提供拓展资源：推荐相关数学竞赛题目或拓展阅读材料，鼓励学生深入探究。

-反馈作业情况：对学生的作业进行批改，并提供个性化的反馈。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固所学知识。

-拓展学习：利用推荐资源，进行进一步的自主学习。

-反思总结：学生反思自己的学习过程，总结经验，提出改进计划。教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数的应用：探讨二次函数在物理学、工程学以及经济学中的实际应用，如抛物线运动、优化问题、成本分析等。

-幂函数的性质：深入研究幂函数在数学分析、几何学以及物理学中的应用，如指数增长、几何变换、热力学等。

-复合函数：分析复合函数的性质，包括复合函数的单调性、奇偶性、周期性等，以及其在实际问题中的应用。

-函数图像的变换：研究函数图像的平移、伸缩、翻转等变换，以及这些变换对函数性质的影响。

-函数极限与连续性：探讨函数极限的概念，以及函数连续性的条件，为后续学习微积分打下基础。

2.拓展建议：

-学生可以阅读与二次函数和幂函数相关的科普书籍，如《数学之美》、《数学与自然》等，以了解函数在各个领域的应用。

-鼓励学生参与数学竞赛，如全国高中数学联赛、国际数学奥林匹克竞赛等，提升解题能力和数学思维能力。

-推荐学生阅读数学分析领域的经典教材，如《数学分析原理》、《实变函数》等，深入了解函数的性质和应用。

-学生可以通过在线课程或网络资源，如KhanAcademy、Coursera等，学习函数相关的拓展知识。

-组织学生参观科技馆或博物馆，了解函数在科技发展中的应用，激发学生的学习兴趣。

-鼓励学生参与小组合作项目，如研究二次函数在建筑设计中的应用、幂函数在经济学中的模型构建等，提高学生的实践能力。

-推荐学生观看数学教育视频，如TED演讲、数学家讲座等，拓宽学生的数学视野。

-学生可以尝试使用数学软件，如MATLAB、Python等，进行函数图像的绘制和性质分析，加深对函数的理解。

-鼓励学生参加数学俱乐部或学术社团，与其他学生交流学习心得，共同进步。

-组织学生进行数学写作，如撰写数学小论文、数学故事等，提高学生的数学表达能力和创新能力。

-推荐学生阅读数学史相关的书籍，如《数学简史》、《数学的故事》等，了解数学发展的历程和数学家的贡献。

-鼓励学生参加数学夏令营或冬令营活动，与其他地区的学生交流学习经验，拓宽视野。

-学生可以尝试将数学知识应用到日常生活中，如预算规划、数据分析等，提高数学的实际应用能力。重点题型整理1.题型一：二次函数的最大值和最小值问题

例题：已知二次函数f(x)=-2x^2+4x+3，求函数的最大值。

解题步骤：

a.标准化二次函数，转换为顶点式：f(x)=-2(x-1)^2+5。

b.由于二次项系数为负，函数开口向下，故顶点(1,5)为函数的最大值。

答案：函数的最大值为5。

2.题型二：幂函数的单调性分析

例题：判断函数g(x)=x^3-3x^2+4x+1在定义域上的单调性。

解题步骤：

a.对函数求导数：g'(x)=3x^2-6x+4。

b.求导数的零点，找出函数的极值点：3x^2-6x+4=0，解得x=2/3或x=2。

c.分析导数的符号，确定函数的单调区间。

答案：函数在(-∞,2/3)和(2,+∞)上单调递增，在(2/3,2)上单调递减。

3.题型三：二次函数与直线相交问题

例题：若二次函数h(x)=x^2-4x+3与直线y=kx+b有两个交点，求k和b的取值范围。

解题步骤：

a.解方程x^2-4x+3=kx+b，得到x的两个解。

b.根据二次方程有两个实数解的条件，判别式Δ>0。

c.解不等式Δ>0，得到k和b的取值范围。

答案：k的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞)，b的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞)。

4.题型四：幂函数与指数函数的关系

例题：比较函数f(x)=x^2和g(x)=2^x在x>0时的值。

解题步骤：

a.计算两个函数在x>0时的导数，分析函数的增长情况。

b.对比导数的正负，判断函数的增长或减少趋势。

c.结合函数的定义域和增长趋势，比较两个函数的值。

答案：对于x>0，f(x)<g(x)。

5.题型五：复合函数的性质

例题：给定复合函数k(x)=f(g(x))，其中f(x)=x^2+2x，g(x)=2x-1，求k(x)的表达式和性质。

解题步骤：

a.将g(x)代入f(x)中，得到k(x)的表达式：k(x)=(2x-1)^2+2(2x-1)。

b.展开并简化k(x)的表达式。

c.分析k(x)的导数，确定函数的单调性和极值点。

答案：k(x)=4x^2-4x+1，在x=1/4时取得最小值1/4，函数在x>1/4时单调递增，在x<1/4时单调递减。板书设计①二次函数

-定义：一般形式为f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)

-图像：抛物线，开口方向由a的正负决定

-顶点坐标：(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=c-b^2/(4a)

-对称轴：x=h

-开口方向：a>0时向上，a<0时向下

-最值：顶点为最大值或最小值，取决于a的正负

②幂函数

-定义：一般形式为f(x)=x^α(α为实数)

-图像：指数函数，随着x的增加，图像的变化取决于α的正负

-单调性：α>0时，函数在定义域上单调递增；α<0时，函数在定义域上单调递减

-奇偶性：当α为偶数时，函数为偶函数；当α为奇数时，函数为奇函数

-递增递减区间：根据α的正负确定

③函数性质应用

-二次函数的应用：求解最大值或最小值、函数的零点、图像的交点等

-幂函数的应用：研究指数增长、几何变换、热力学等领域的实际问题

-复合函数的性质：分析复合函数的单调性、奇偶性、周期性等

-函数图像的变换：平移、伸缩、翻转等变换对函数性质的影响

-函数极限与连续性：函数极限的概念和连续性的条件课堂1.课堂评价

-提问反馈：通过课堂提问，了解学生对二次函数和幂函数基本概念的理解程度。例如，提问“什么是二次函数的对称轴？”和“幂函数的单调性如何判断？”等，观察学生的回答是否准确、完整。

-观察参与度：观察学生在课堂活动中的参与程度，如小组讨论、实验操作等，评估学生的合作能力和实践操作能力。

-小组评价：通过小组合作任务，评价学生在团队中的角色和贡献，如谁负责记录、谁负责分析等。

-实时测试：进行随堂小测验，如选择题、填空题等，检验学生对知识点的掌握情况，及时发现教学中的薄弱环节。

-反思日记：鼓励学生课后写反思日记，记录自己的学习心得和疑问，教师通过阅读日记了解学生的学习状态和需求。

2.作业评价

-批改标准：制定明确的作业批改标准，确保评价的公正性和一致性。

-个性反馈：对每位学生的作业进行个性化反馈，不仅指出错误，还要解释错误原因，并提供改进建议。

-及时反馈：作业批改后，及时将反馈信息传达给学生，帮助学生及时纠正错误，巩固知识。

-作业展示：定期展示优秀作业，鼓励学生互相学习，提高整体作业质量。

-作业分析：对作业的整体情况进行分析，如平均分、错误类型等，为教师调整教学策略提供依据。

3.课堂氛围评价

-激励机制：通过积极的语言