数学微专题限时强化训练《向量法度量角度和距离问题》解析版

①线线角_________________________________②线面角_________________________________③面面角_________________________________①线线角_________________________________②线面角_________________________________③面面角_________________________________点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；若点F在BC上，满足BF=设二面角F-DE-C的大小为θ,求sinθ的值.例2如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，AD=2AB，M为BC中D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A=A1D.(2)若此四棱柱的体积为2求二面角A-A1B-M的正弦值..因为A1A=A1D，所以A1O⊥AD.又因为平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，A1O⊂平面A1D1DA，所以A1O⊥平面ABCD，因此A1O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.设AB=a，则AD=2AB=2a.因为AA1⊥A1D，所以A1O=a，=1.因为A1O⊥平面ABCD，OM⊂平面AB1因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D.又A1D⊥A1A，A1A∩AB=A，A1A，AB⊂平面A1B1BA，所以A1D⊥平面A1B1BA，因此平面AA1B的一个法向量设平面A1BM的法向量为,y，z)，因此sinθ=即二面角A-A1B-M的正弦值为(1)求平面PAB与平面PCD所成夹角的余弦值(2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，求直线l与平面PAB所成角的正弦值.所以PF⊥面ABCD，又因BF⊥CD，故以点F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz，则P=(-1,1，-、5)，A=(1,0,0)，设平面PAB的法向量为,y,z)，延长DA和CB，使其相交于点E，则面PAD与面PBC的交线l即为PE设直线l与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=|cos<例1.在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点.BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.(3)求点A到B1C的距离；交A1B于点E，连接DE，则点E为AB1中点，因为DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C1BD；BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.因为AB=BC，且D是AC的中点，故BD⊥AC，而由直三棱柱的性质可得，AA1⊥底面ABC，而AC，BDC底面ABC，故AA1丄BD，AA1丄AC，而AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点，故AD=DC=1，BD=32-1=22，设平面A1BD的法向量为=(x,y,z(，故直线B1C到平面A1BD的距离则A到B1C的距离为例2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD，E为PD的中点.“底面ABCD为菱形，:AC丄BD，AC∩PA=A，AC，PAC平面PAC，:BD丄平面PAC，BDC平面PBD，:平面PBD丄平面PAC;解：-ABCD=2-ABCD=4-ACD=设菱形ABCD的边长为a，取BC中点M，连接AM，结合题意得AM丄AD，“PA丄平面ABCD，AM、AD在平面ABCD内， :PA丄AM、PA丄AD，:AM，AD，AP两两互相垂直，∴D到面AEC的距离为例3.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧=AB=4，E为棱AA1的中点.所以B=(2,0,-2)，E=(2,2,2)，所以B·E=2×2+0+2×(-2)=0，所以B⊥E，故BC⊥C1E；(2)因为B=(0,4,0)，=(-2,2,-2)，所以B=B+=B+λ=(2-2λ,2λ,-2-2λ)，设平面BB1M的法向量为,y,z)，则x+2λy-z=0，令x=1+λ,则因为B=(2,0,-2)，1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1丄平面ABCD，且AB=AD=(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的余弦值.“AA1丄平面ABCD，AD、AxC平面ABCD，:AA1丄Ax，AA1丄AD，立空间直角坐标系.:异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；:二面角B-A1D-A的余弦值为平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的正弦值；:AO丄BC.B1C1CB=BC，AOC平面ABC，:AO丄平面B1C1CB，“A.B=-2+2=0，A.B=-1+4-3=0:AB1丄BD，AB1丄BA1，即AB1丄BD，AB1丄BA1，又BD∩BA1=B，且BD，BA1C平面A1BD，:AB1丄平面A1BD；⊥平面A1BD，∴AB1为平面A1BD的法向量.∴二面角A-A1D-B的余弦值为-二面角A-A1D-B的正弦值为：BD的法向量，面ABC.(2)若AB=4，BC=2，且二面角A-BD-C所成角θ的正切值为2，试求DC的长.又∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC又AD⊂平面ACD，∴AD⊥BC.不妨令x=1，则y=，又二面角A-BD-C所成角θ的正切值是2，:cosθ=4.在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=点F在BC上，满足BF=(1)求点A到平面DEF的距离；—→—→—→令y1=-7，:x1=2，:=(-1,0,-2((Ⅱ)求点A到平面PBD的距离；(Ⅲ)求二面角A-PB-D的余弦值.“ABCD是菱形，:AC丄BD—→—→:DB.AP=0:DB丄AP“AC丄BD，AC∩AP=A:DB丄平面PAC，又DBC平面PDB:平面PBD丄平面PAC…(4分):点A到平面PBD的距离+y2=0:二面角A-PB-D的余弦值为12分)A1=C1B1=、5.B1C1..，AA1=2GO.B1=60。所以AO丄A1B1.又平面AA1B1B丄平面A1B1C1，平面A