2025年FRM金融风险管理师考试专业试卷：FRM考试科目五：定量分析试题

2025年FRM金融风险管理师考试专业试卷：FRM考试科目五：定量分析试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、概率论基础要求：掌握概率论的基本概念，能计算简单事件的概率，并能运用概率论的基本定理解决问题。1.设事件A和事件B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.5，求P(A∩B)。2.从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。3.某次考试，甲、乙、丙三人的成绩相互独立，甲得A等概率为0.6，乙得A等概率为0.4，丙得A等概率为0.5，求三人同时得A等的概率。4.设随机变量X服从二项分布，n=10，p=0.2，求P(X=2)。5.某工厂生产的产品合格率为0.95，求连续抽取5个产品，恰有3个合格品的概率。6.设随机变量X服从泊松分布，P(X=2)=0.2，求P(X=1)。7.设随机变量X～N(μ,σ^2)，已知P(X<1)=0.3，P(X>2)=0.2，求μ和σ。8.设随机变量X～U(0,1)，求P(0.1≤X≤0.2)。9.设随机变量X～B(5,0.3)，求P(X=2)。10.设随机变量X～P(λ)，已知P(X=2)=0.4，求λ。二、数理统计要求：掌握数理统计的基本概念，能计算描述统计量，并能运用数理统计的方法解决问题。1.设某班级有30名学生，其中男生18名，女生12名，求该班级男生比例的样本方差。2.某工厂生产的产品长度服从正态分布，平均长度为100mm，标准差为5mm，求该工厂生产的产品长度在95mm到105mm之间的概率。3.某公司招聘考试，甲、乙、丙三人的成绩分别为85分、90分、95分，求三人的平均成绩。4.某班级有20名学生，他们的身高服从正态分布，平均身高为160cm，标准差为10cm，求该班级身高在150cm到170cm之间的学生人数。5.某班级有30名学生，他们的成绩服从正态分布，平均成绩为60分，标准差为10分，求该班级成绩在50分到70分之间的学生人数。6.设随机变量X～N(μ,σ^2)，已知P(X<50)=0.2，P(X>60)=0.3，求μ和σ。7.某工厂生产的产品重量服从正态分布，平均重量为50kg，标准差为2kg，求该工厂生产的产品重量在48kg到52kg之间的概率。8.设随机变量X～U(0,1)，求P(0.1≤X≤0.5)。9.某班级有20名学生，他们的成绩服从正态分布，平均成绩为70分，标准差为15分，求该班级成绩在60分到80分之间的学生人数。10.设随机变量X～B(5,0.3)，求P(X=3)。四、线性回归分析要求：掌握线性回归的基本原理，能建立线性回归模型，并进行模型诊断和预测。1.设有如下数据集，包含自变量x和因变量y：x:1,2,3,4,5y:2,4,5,4,5建立线性回归模型，并求出回归方程。2.某公司过去五年的销售额（y）和广告支出（x）如下：x:100,150,200,250,300y:200,250,300,350,400使用最小二乘法建立线性回归模型，并预测当x=350时的y值。3.某地区过去三年的GDP（y）和人口（x）如下：x:500,600,700y:1500,1800,2100建立线性回归模型，并分析人口对GDP的影响。4.给定以下线性回归方程：y=2x+3，如果x的值增加10，预测y的变化量。5.某项调查得到以下数据，包含自变量x（年龄）和因变量y（年收入）：x:25,30,35,40,45y:50000,60000,70000,80000,90000使用线性回归分析年龄对年收入的影响，并计算相关系数。6.设有如下线性回归模型：y=3x+2+ε，其中ε为误差项，已知x的值和y的观测值如下：x:1,2,3,4,5y:5,8,11,14,17求回归系数β和截距α。五、时间序列分析要求：掌握时间序列分析的基本方法，能识别时间序列的平稳性，并建立时间序列模型。1.某城市过去五年的月均降雨量如下：100,120,110,130,140检验该时间序列的平稳性。2.某股票过去十天的收盘价如下：100,102,101,103,104,105,106,107,108,109建立ARIMA模型，并预测下一天的收盘价。3.某地区过去一年的月均气温如下：15,16,14,17,18,19,20,21,22,23,24,25使用移动平均法（MA）对气温进行预测。4.给定以下时间序列数据，检验其自相关性：1,2,3,4,5,6,7,8,9,105.某城市过去五年的年降雨量如下：300,320,310,330,340使用指数平滑法（ETS）对降雨量进行预测。6.设某时间序列数据如下：100,102,101,103,104,105,106,107,108,109建立自回归模型（AR），并预测下一天的值。六、优化理论要求：掌握优化理论的基本概念，能运用线性规划、非线性规划等方法解决实际问题。1.某公司生产两种产品A和B，生产成本分别为10元和15元，售价分别为20元和30元。公司每天最多可以使用100个单位的资源，要求生产的产品总利润最大。请建立线性规划模型并求解。2.某工厂生产两种产品X和Y，生产成本分别为100元和200元，售价分别为150元和250元。工厂每天最多可以使用100个单位的资源，要求生产的产品总利润最大。请建立线性规划模型并求解。3.某物流公司需要从A地运输货物到B地，货物总量为100吨。A地到B地的运输成本为每吨10元，运输能力为每天50吨。请建立线性规划模型并求解最优运输方案。4.某工厂生产两种产品，产品A的生产成本为每件10元，产品B的生产成本为每件15元。工厂每天最多可以使用100个单位的资源，要求生产的产品总成本最小。请建立线性规划模型并求解。5.某农场种植两种作物A和B，每亩成本分别为1000元和1500元，每亩产量分别为2000斤和1500斤。农场每天最多可以使用100个单位的资源，要求种植的作物总产量最大。请建立线性规划模型并求解。6.某公司有两台机器A和B，机器A的生产效率为每台每小时生产10件产品，机器B的生产效率为每台每小时生产8件产品。公司每天最多可以使用20个单位的资源，要求生产的产品总数量最大。请建立线性规划模型并求解。本次试卷答案如下：一、概率论基础1.解析：由于事件A和事件B相互独立，P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.3*0.5=0.15。2.解析：一副扑克牌中有13张红桃，总共有52张牌，所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。3.解析：三人同时得A等的概率为P(A)*P(A)*P(A)=0.6*0.4*0.5=0.12。4.解析：P(X=2)=C(10,2)*(0.2)^2*(0.8)^8=45*0.04*0.16777216=0.301989888。5.解析：P(X=3)=C(5,3)*(0.95)^3*(0.05)^2=10*0.857375*0.0025=0.021464375。6.解析：P(X=1)=(λ^1*e^(-λ))/1!=λ*e^(-λ)，由P(X=2)=0.2可得λ=2，所以P(X=1)=2*e^(-2)。7.解析：由正态分布的性质，P(Z<(1-0.3)/0.5)=P(Z<0.4)=0.6554，查标准正态分布表得Z=0.4，所以μ=1，σ=0.5。8.解析：P(0.1≤X≤0.2)=P(X≤0.2)-P(X<0.1)=0.2-0.1=0.1。9.解析：P(X=2)=C(5,2)*(0.3)^2*(0.7)^3=10*0.09*0.343=0.309。10.解析：P(X=1)=(λ^1*e^(-λ))/1!=λ*e^(-λ)，由P(X=2)=0.4可得λ=2，所以P(X=1)=2*e^(-2)。二、数理统计1.解析：样本方差S^2=[(2-0.6)^2+(4-0.6)^2+(5-0.6)^2+(4-0.6)^2+(5-0.6)^2]/(5-1)=0.16。2.解析：P(X≤100)=P(Z≤(100-100)/5)=P(Z≤0)=0.5，P(X>105)=P(Z>(105-100)/5)=P(Z>1)=0.1587，所以P(95≤X≤105)=0.5-0.1587=0.3413。3.解析：平均成绩=(85+90+95)/3=90。4.解析：P(150≤X≤170)=P(Z≤(160-150)/10)-P(Z≤(170-150)/10)=P(Z≤1)-P(Z≤2)=0.8413-0.9772=0.0361，人数=0.0361*30≈1.08，约为1人。5.解析：P(50≤X≤70)=P(Z≤(60-60)/10)-P(Z≤(70-60)/10)=P(Z≤0)-P(Z≤1)=0.5-0.8413=0.3487，人数=0.3487*30≈10.46，约为10人。6.解析：μ=(50+60)/2=55，σ=(70-50)/2=10。7.解析：P(X≤48)=P(Z≤(48-50)/2)=P(Z≤-1)=0.1587，P(X≤52)=P(Z≤(52-50)/2)=P(Z≤1)=0.8413，所以P(48≤X≤52)=0.8413-0.1587=0.6826。8.解析：P(0.1≤X≤0.5)=P(X≤0.5)-P(X<0.1)=0.5-0.1=0.4。9.解析：P(60≤X≤80)=P(Z≤(80-70)/15)-P(Z≤(60-70)/15)=P(Z≤1)-P(Z≤-1)=0.8413-0.1587=0.6826，人数=0.6826*20≈13.73，约为14人。10.解析：P(X=3)=C(5,3)*(0.3)^3*(0.7)^2=10*0.027*0.49=0.1323。四、线性回归分析1.解析：线性回归方程为y=0.8x+0.6。2.解析：线性回归方程为y=0.6x+23，预测y值约为0.6*350+23=263。3.解析：线性回归方程为y=0.6x+600，人口对GDP的影响系数为0.6，表示人口每增加1，GDP增加0.6。4.解析：y的变化量=2*10=20。5.解析：相关系数r≈0.998，表示年龄和年收入之间存在很强的正相关关系。6.解析：回归系数β≈3，截距α≈2。五、时间序列分析1.解析：通过ADF检验，发现时间序列是平稳的。2.解析：建立ARIMA(1,1,1)模型，预测下一天的收盘价约为109.2。3.解析：使用简单移动平均法，预测下一个月的气温约为21.25。4.解析：通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图，发现时间序列具有自相关性。5.解析：使用指数平滑法，预测下一个月的降雨量约为332.5。6.解析：建立AR模型，预测下一天的值约为105.2。六、优化理论1.解析：线性规划模型为：MaximizeZ=20x+30ySubjectto:10x+15y≤100x+y≤100x≥0,y≥0解得x=5,y=5，最大利润为Z=20*5+30*5=200。2.解析：线性规划模型为：MaximizeZ=150x+250ySubjectto:100x+200y≤100x+y≤100x≥0,y≥0解得x=2,y=8，最大利润为Z=150*2+250*8=2400。3.解析：线性规划模型为：MaximizeZ=10x+10ySubjectto:x≤50y≤50x+y=100x≥0,y≥0解得x=50,y=50，最优运输方案为运输50吨到B地。4.解析：线性规划模型为：MinimizeZ=10x+15ySubjectto:10x+15y≤100x+y≤100x≥0,y≥0解得x=10,y=10，总成本最小为Z=10*10+15*10=250。5.解析：线性