2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题28 解直角三角形（58题）（学生版）

专题28解直角三角形（58题）

一、单选题

1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在

黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角

为，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

aa

A．asin千米B．千米C．acos千米D．千米

sincos

2．（2024·天津·中考真题）2cos451的值等于（）

2

A．0B．1C．1D．21

2

4

3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC中，ABAC5，sinB，则BC的长是（）

5

A．3B．6C．8D．9

4．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边ABC钢架的立柱CDAB于点D，AB长12m．现将钢架立

柱缩短成DE，BED60．则新钢架减少用钢（）

A．24123mB．2483mC．2463mD．2443m

5．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一

高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60，在小楼房楼顶A处测得C处

的仰角为30．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（）米

A．20B．15C．12D．1053

6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为

45，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）（参

434

考数据：sin53，cos53，tan53）

553

A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m

7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BEEFFC，连接

DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB4，BC6，则sinGBF的值为（）

1031012

A．B．C．D．

101033

8．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AMBC，垂足为M，

AM交BD于点N，OM2，BD8，则MN的长为（）

453525

A．5B．C．D．

555

9．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB1，点P是BC边上一个动点，

在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到

C点时，点M的运动路径长为（）

333

A．B．C．D．3

632

10．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，B=60，点E是AB边上的点，AE4，BE8，

点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，EFG为30角的直角三角形，连结AG．当点F在

直线BC上运动时，线段AG的最小值是（）

A．2B．432C．23D．4

51

11．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称

2

的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B处，AB交CD于点E，则sinDAE的

值为（）

51325

A．B．C．D．

5255

12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），

BHF90，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交

CD于点N，连接BD．则下列结论：①HBF45；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则

10111

sinNBC；④BN2BM；⑤若AHHD，则S△BNDS△AHM，其中正确的结论是（）

1022

A．①②③④B．①③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤

二、填空题

13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼

顶部点C的仰角为60，测得底部点B的俯角为45，点A与楼BC的水平距离AD50m，则这栋楼的高度

为m（结果保留根号）．

14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处

与古树底部A处在同一水平面上，且AC10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯

角为45，古树底部A的俯角为65，则古树AB的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：

sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

15．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次

综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45，底端B的俯角为63，则测得黄鹤楼的高度

是m．（参考数据：tan632）

16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E在DC上，将矩形ABCD沿

AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tanEFC．

17．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的

点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教

学楼顶端点B的俯角为45，则教学楼AB的高度约为m．（精确到1m，参考数据：sin370.60，

cos370.80，tan370.75）

18．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AFDE于点F，CGDE于点G．若

AD5，CG4，则△AEF的面积为．

19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，

OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为（结果保留π）．

20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花

朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，

点C在第一象限，OBC120．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第

一次滚动后，点O的对应点为O，点C的对应点为C，OC与OC的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”

的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花

朵”的花心的坐标为．

21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）矩形ABCD中，AB3，BC4，将AB沿过点A的一条直线折

叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长

为．

22．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，

他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台

正对岸A处的俯角为50，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，

39

C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为米．（参考数据：sin40，sin63.6，

510

6

tan50，tan63.62）

5

23．（2024·四川达州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90．点D在线段BC上，BAD45．若AC4，

CD1，则ABC的面积是．

24．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若

4

sinEAF，AE5，则AB的长为．

5

5BD8

25．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABC中，ABBC，tanB，D为BC上一点，且满足，

12CD5

CE

过D作DEAD交AC延长线于点E，则．

AC

26．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，点E在直线AD上，且DE2cm，

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm．

三、解答题

27．（2024·内蒙古通辽·中考真题）计算：322sin60(π)0．

28．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37方向，距离灯塔100海里的A处，

它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？

（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

0

29．（2024·北京·中考真题）计算：582sin302

10

30．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：()132cos30π6.8．

4

1

01

31．（2024·广东深圳·中考真题）计算：2cos453.1412．

4

m22m1m2

32．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）先化简，再求值：221，其中mcos60．

m1mm

33．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，

此时飞行高度AB873m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角EAC37，看塔底D的俯角

EAD45，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

34．（2024·青海·中考真题）计算：18tan4502．

3

10

35．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：tan6032(π2024)．

2

36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，

无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30，测得楼BC楼顶C处的俯角为45，又经过人

工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都

在同一平面内，参考数据：31.7）

37．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C

点测得杨树底端B点的仰角是30，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45，

求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：

31.73)．

38．（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．

活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积

测量工具皮尺、测角仪、计算器等

某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：

模型抽象

活动

过程

①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；

②过点E作GHCE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；

测绘过程与

③在点F处用测角仪测得CFG60.3，BFG45，AFG21.8；

数据信息

④用计算器计算得：sin60.30.87，cos60.30.50，

tan60.31.75．sin21.80.37，cos21.80.93，tan21.80.40．

请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：

(1)求线段CE和BC的长度：

(2)求底座的底面ABCD的面积．

39．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综

合性学习．

【实验操作】

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽

内壁AC的夹角为A；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN为法线，AO为入射光线，OD

为折射光线．）

【测量数据】

如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC20cm，A45，折射角DON32．

【问题解决】

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

(1)求BC的长；

(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin320.52，cos320.84，tan320.62）

40．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水

平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经

过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时APB为最大

视角．

(1)请仅就图2的情形证明APBADB．

(2)经测量，最大视角APB为30，在点P处看塑像顶部点A的仰角APE为60，点P到塑像的水平距

离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：31.73）．

41．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如

图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE36m,ECAB，

垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（CDB）为45，测得桥塔底部A的俯角（CDA）为6，又

在E处测得桥塔顶部B的仰角（CEB）为31．

(1)求线段CD的长（结果取整数）；

(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1．

42．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道

与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地．

送行二步与人齐，五尺人高曾记．

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10

尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）

(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；

(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA，

两次位置的高度差PQh．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子

表示；如果不能，请说明理由．

43．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及PAB

和PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB60米，PAB79，PBA64．画出示意图，如图

【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．

（参考数据：sin640.90，sin790.98，cos790.19，sin370.60，tan370.75）

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且ADDE，DEFDAP，当

F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．

（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）

①解直角三角形②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．

44．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DFFB，

AFDC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；

(2)若EFB90，tanFEB3，EF1，求BC的长.

45．（2024·甘肃临夏·中考真题）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结

构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，

ABBC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE1.6米）测得A点仰角

为37，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保

留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

46．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，

经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角36.9，点B到水面的距离BC1.20m，点A处

水深为1.20m，到池壁的水平距离AD2.50m，点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平

sin

面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到0.1，参考数据：sin36.90.60，cos36.90.80，

sin

tan36.90.75）．

47．（2024·浙江·中考真题）如图，在ABC中，ADBC，AE是BC边上的中线，

AB10,AD6,tanACB1．

(1)求BC的长；

(2)求sinDAE的值．

48．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前

实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组

中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的

实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CDEF1.6m，点C

与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为45，在F处测得筒

434

尖顶点A的仰角为53．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53，cos53，tan53．）

553

49．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高

点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ4m，仰角为；淇淇向前走了3m后到达点D，

透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离ABCD1.6m，

点P到BQ的距离PQ2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）

(1)求的大小及tan的值；

(2)求CP的长及sinAPC的值．

2

01

50．（2024·四川广元·中考真题）计算：2024π32tan60．

2

51．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正

sin

弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，

sin

介质对光作用的一种特征．

7

(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且cos，30，求该介质的折射率；

4

(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，

若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面积．

52．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教

学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的

两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．

(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测

出的距离用m,n等表示，测出的角用,等表示），并对设计进行说明；

(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．

53．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共

用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术

精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位

的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知O和圆上一点M．作

法如下：

①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交O于A，B两点；

②延长MO交O于点C；

即点A，B，C将O的圆周三等分．

(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若O的半径为2cm，则ABC的周长为______cm．

54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪