2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题35 几何综合压轴题（40题）（学生版）

专题35几何综合压轴题（40题）

一、解答题

1

1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知ABC是等腰三角形，ABAC，MANBAC，MAN

2

在BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当BAC90时，探究如下：

由BAC90，ABAC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90，得到ABP，则CNBP且PBM90，

连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MPMN，在Rt△PBM中，BM2BP2MP2，则有

BM2NC2MN2．

（2）当BAC60时，如图②：当BAC120时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明．

2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正

sin

弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，

sin

介质对光作用的一种特征．

7

(1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且cos，30，求该介质的折射率；

4

(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，

若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面积．

3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，ABAF，连接BF，

点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EE

(1)求证：四边形ABEF是菱形：

(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE1,BAD120，求AE的长．

4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延

长线于点D．连接OA，OC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若OA3，BD2，求OCD的面积．

5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是

对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且ABEDAF．

【模型建立】

（1）求证：AF⊥BE；

【模型应用】

1

（2）若AB2，AD3，DFBF，求DE的长；

2

【模型迁移】

1AF

（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的

O与AD相切于点E，与AC相交于点F．

(1)求证：AB与O相切．

(2)若正方形ABCD的边长为21，求O的半径．

(3)如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MNOC交CE于点N．当

CM:FM1:4时，求CN的长．

7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如

图1，在ABC中，ABAC，点D是AC上的一个动点，过点D作DEBC于点E，延长ED交BA延长

线于点F．

请你解决下面各组提出的问题：

(1)求证：ADAF；

DFAD

(2)探究与的关系；

DEDC

AD1DF2AD4DF8

某小组探究发现，当时，；当时，．

DC3DE3DC5DE5

请你继续探究：

AD7DF

①当时，直接写出的值；

DC6DE

ADmDF

②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；

DCnDE

(3)拓展应用：在图1中，过点F作FPAC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使ACFACB

ADmAP

时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

DCnAD

8．（2024·广东·中考真题）【问题背景】

如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线yaxa0上第一象限内的两个动点ODOB，以线段

k

BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y的图象经过点A．

x

【构建联系】

k

（1）求证：函数y的图象必经过点C．

x

（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，

求k的值．

【深入探究】

（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以

点O为圆心，AC长为半径作O．若OP32，当O与ABC的边有交点时，求k的取值范围．

9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB是O的直径，AC是一条弦，点D是AC的中点，DNAB于

点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．

(1)求证：AFDF；

(2)延长GD至点M，使DMDG，连接AM．

①求证：AM是O的切线；

②若DG6，DF5，求O的半径．

10．（2024·四川德阳·中考真题）已知O的半径为5，B、C是O上两定点，点A是O上一动点，且

BAC60,BAC的平分线交O于点D．

(1)证明：点D为BC上一定点；

(2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．

①判断DF与O的位置关系，并说明理由；

②若ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．

11．（2024·四川泸州·中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，过点B作O的切

线与AC的延长线交于点D，点E在O上，ACCE，CE交AB于点F．

(1)求证：CAED；

(2)过点C作CGAB于点G，若OA3，BD32，求FG的长．

12．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE2AE，

点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运

动，设运动时间为t秒（0t3）．

(1)求证：AEP∽CEQ．

(2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值．

1

(3)连接AQ，当tanAQE时，求△AEQ的面积．

3

13．（2024·安徽·中考真题）如图1，YABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，

且AMCN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．

(1)求证：OEOF；

(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．

（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；

AC

（ⅱ）如图3，若YABCD为菱形，且MD2AM，EHF60，求的值．

BD

14．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊

情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．

如图，已知ABC，CACB，O是ABC的外接圆，点D在O上（ADBD），连接AD、BD、CD．

【特殊化感知】

（1）如图1，若ACB60，点D在AO延长线上，则ADBD与CD的数量关系为________；

【一般化探究】

（2）如图2，若ACB60，点C、D在AB同侧，判断ADBD与CD的数量关系并说明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ACB，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）

15．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作ABC和DEF，其中ABCDEF90，BAC45，

EDF30，ACDE．作BMAC于点M，ENDF于点N，如图1．

(1)求证：BMEN；

(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D

重合，将图2中的DCF绕C按顺时针方向旋转后，延长BM交直线DF于点P．

①当30时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；

②当3060时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60120时，直接写出线段

MP，DP，CD的数量关系．

16．（2024·江西·中考真题）综合与实践

如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD

CECB

的右侧构造Rt△CDE，DCE90，连接BE，m．

CDCA

特例感知

（1）如图1，当m1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；

类比迁移

（2）如图2，当m1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC6，设ADx，

四边形CDFE的面积为y．

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF2时，请直接写出AD的长度．

17．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】

已知点A是半径为r的O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转(090)得到OE，

连接AE，过点A作O的切线l，在直线l上取点C，使得CAE为锐角．

【初步感知】

（1）如图1，当60时，CAE；

【问题探究】

（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．

①如图2，当AC2r时，求证：无论在给定的范围内如何变化，BCCDED总成立：

4CE2AB

②如图3，当ACr，时，请补全图形，并求tan及的值．

3OE3BC

18．（2024·河南·中考真题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研

究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断

用分别含有30和45角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

________（填序号）．

(2)性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．

如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，ABAD，AC是它的一条对角线．

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BCm，DCn，BCD2，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．

(3)拓展应用

如图3，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB3，BC4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN

是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．

19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周

髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如

图2，在ABC中，A90，将线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD，作DEAB交AB的延长线

于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；

(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB2，AC6，求BDF的面积；

BN

(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则______；

BC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tanBCP，请直接写出线段AP的长度．

3

1

20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线yx2与

2

x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线yax2bxca0与x轴的另一个交点为点B(1，0)，

点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，

点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是x轴上的任意一点，若ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

(3)当EFAC时，求点P的坐标；

(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，

则NAMP的最小值为______．

21．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是

培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图

形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．

在ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．

(1)初步探究

如图2，若ACDB，求证：AC2ADAB；

(2)尝试应用

如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC4，求CD的长；

(3)创新提升

如图4，点E为CD中点，连接BE，若CDBCBD30，ACDEBD，AC27，求BE的长．

22．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在YABCD中，ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，

且SABESDCE．

(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．

①求证：H是AC的中点；

②求AG:GH:HC；

(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线

段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．

23．（2024·吉林·中考真题）如图，在ABC中，C90，B30，AC3cm，AD是ABC的角平分

线．动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿折线ADDB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交AC于

点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为tst0，VPQE与ABC

重合部分图形的面积为Scm2．

(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式

表示）．

(2)当点E与点C重合时，求t的值．

(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

24．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC中，ABAC5，BC6．点D是边BC上的一点（点D

不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使APBD，以AP为边作正方形APMN，使点M

和点C在直线AD同侧．

(1)当点D是边BC的中点时，求AD的长；

(2)当BD4时，点D到直线AC的距离为________；

(3)连结PN，当PNAC时，求正方形APMN的边长；

(4)若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为________．（写出一个即可）

25．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使

A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．

(1)求证：△EDP∽△PCH．

(2)若P为CD中点，且AB2,BC3，求GH长．

(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．

26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45的三角尺AEF利一个正方形纸板

ABCD如图1摆放，若AE1，AB2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转090角，观察图

形的变化，完成探究活动．

【初步探究】

如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．

问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．

【深入探究】

应用问题1的结论解决下面的问题．

问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OAODOG．

【尝试应用】

问题3如图4，请直接写出当旋转角从0变化到60时，点G经过路线的长度．

27．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】

（1）如图1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，AEBD．用等式写出线段AE，

DE，CD的数量关系，并说明理由．

【模型应用】

（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AEEF，AEEF．用等式写

出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

【模型迁移】

（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AEEF，AEEF．用

等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．

28．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆

（四条边都与同一个圆相切），

可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；

只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．

请你根据该约定，解答下列问题：

(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）

②内角不等于90的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）

③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有

R2r．（）

(2)如图1，已知四边形ABCD内接于O，四条边长满足：ABCDBCAD．

①该四边形ABCD是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；

②若BAD的平分线AE交O于点E，BCD的平分线CF交O于点F，连接EF．求证：EF是O的

直径．

(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，

G，H．

①如图2．连接EG，FH交于点P．求证：EGFH．

②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA2，OB6，OC3，求内切圆O的半径r及OD的长．

29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，

点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x25x60的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度

的速度沿折线OAAB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OBBA运动，P、Q

两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0t3.6），△OPQ的面积为S．

(1)求点A的坐标；

(2)求S与t的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，当S63时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N

为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

30．（2024·重庆·中考真题）在Rt△ABC中，ACB90，ACBC，过点B作BD∥AC．

(1)如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AECD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：

AC2BD；

(2)如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过

2

点F作FMBG交AB于点M，CN平分ACB交BG于点N，求证：AMCNBD；

2

(3)若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AFAC．点P是直线AC上一动点，连接FP，

将FP绕点F逆时针旋转60得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动

过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过

FT

程中，直接写出的最大值．

CP

31．（2024·重庆·中考真题）在ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D关

于直线AB的对称点为点E，连接AD,DE．在直线AD上取一点F，使EFDBAC，直线EF与直线AC

交于点G．

(1)如图1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度数（用含的代数式表示）；

(2)如图1，若BAC60,BDCD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；

(3)如图2，若BAC90，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直

CG

接写出此时的值．

AG

32．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所

示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为

端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP存在

最大值．若PE8，PF5，当DAP最大时，求AD的长；

（4）如图6，在Rt△ABC中，C90，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若ACCD5，

BCCE8，求AEBD的最小值．

1

33．（2024·上海·中考真题）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AEAB．

3

1

如图所示，点在边CD上，且DFCD，联结EF，求证：EF∥BC；

(1)1F3

(2)已知ADAE1；

①如图2所示，联结DE，如果VADE外接圆的心恰好落在B的平分线上，求VADE的外接圆的半径长；

②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N，如果BC4，且

CD2DMDN，DMCCEM，求边CD的长．

34．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，

ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

【初步感知】

BD

（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．

CE

【深入探究】

（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，延长ED

交AC于点F，求CF的长．

【拓展延伸】

（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有

直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．

35．（2024·河北·中考真题）已知O的半径为3，弦MN25，ABC中，ABC90,AB3,BC32．在

平面上，先将ABC和O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在O上，点C在O内），随后移

动ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在O上随之移动，设BNx．

(1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长；

(2)当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；

(3)设点O到BC的距离为d．

①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；

②直接写出d的最小值．

36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，点D、E在边BC上，且∠DAE45，BD3，CE4，

求DE的长．

解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACD，连接ED．

由旋转的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，

∴BADEAC45．

∵BADCAD，

∴CADEAC45，即EAD45．

∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，

ADAD，DAEDAE，AEAE，

∴___①___．

∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，

∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变．

【知识迁移】

如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的

一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】

如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EAFCEF45．探究BE、EF、DF的

数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探