沪科版2025年八年级（下）期中数学试卷（二）（考查范围：第16~18章）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【沪科版】考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~18章姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·重庆·开学考试）估计73+3×A．18到19之间 B．19到20之间C．20到21之间 D．21到22之间2．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·自主招生）已知关于x的方程1−2kx2−2A．k≥2 B．k≤2C．−1≤k≤2 D．−1≤k≤2且k≠3．（3分）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，若BC=4，则B

A．23 B．2 C．4 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）已知7=a，70=b，则A．a+b10 B．b−a10 C．ba5．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A．2025 B．2024 C．22023 D．26．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=152米，AB=40米，则BDA．50 B．40 C．402 D．7．（3分）（24-25八年级·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且x≠y，现规定minx,y表示x、y中较小的数，例如：min3,−1=−1，min−1,0=−1，若minA．3 B．1 C．3或1 D．−3或18．（3分）（24-25八年级·重庆万州·期中）计算：20242−2023×2024×2025×2026+1A．−2024 B．−2023 C．−2025 D．−19．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（

A．32 B．23 C．4510．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m12．（3分）（24-25八年级·河南驻马店·阶段练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G13．（3分）（2025八年级·安徽合肥·阶段练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：11+2=1×2−1214．（3分）（24-25八年级·安徽六安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中点，N是AB上任意一点，以MN为对称轴折叠△AMN，得到△DMN，点A的对应点为点D（点B，N，D在（1）当MD⊥AB时，∠ANM=；（2）当DN⊥AB时，BN的长为．15．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，点E在点D右侧，并且点A、B在直线l同侧，AD=DE=8，BE=2，当CD长为时，△ABC为直角三角形．16．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，长方形ABCD中，AB=5cm，AD=4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A−B−C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从（1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP=cm；（2）经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2x18．（6分）（24-25八年级·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程：15(1)观察上面解题过程，计算3(2)请直接写出1n+(3)利用上面的解法，请化简：119．（6分）（24-25八年级·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14 m，DC=48 m，AB=40 m(1)求小路AC的长；(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2 m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A20．（8分）（24-25八年级·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M．(1)在图①中，连结AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC=90°．21．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期中）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x(1)已知关于x的方程x2−m−1x−m=0（(2)若关于x的方程ax2+bx+1=0（a,b是常数，且a>0）是“邻根方程”，令t=12a−22．（10分）（24-25八年级·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T:m<T<n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“行知区间”为m,n，如1<2<2，所以2的行知区间为(1)无理数17的“行知区间”是________；(2)若a=b−3+3−b(3)实数x，y，n满足2x+3y−n+3x+4y−2n=23．（10分）（24-25八年级·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？24．（12分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F，直线BE交直线CD于G点．

(1)设∠BCD=m°，则∠AEC=______°（用含m的代数式表示），并证明：∠AEB=45°；(2)猜想线段AF、EF、AC之间的数量关系，并给出证明．(3)若AC=13，BE=10，求△ACF的面积．25．（12分）（24-25八年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，点D为△ABC所在平面内的一点，连接AD、CD，∠ABC=30°．(1)如图1，点D为△ABC外一点，点E在边AC的延长线上，连接BE．若BE=AD，AB=AC，∠DAC=4∠CBE=40°，求∠D的度数：(2)如图2，点D为△ABC内一点，若∠ABD=∠ACD，∠DCB=∠ABC，求证：BD=AC+AD；(3)如图3，在（2）的条件下，延长AD交BC于点F，当△ABF为等腰三角形时，请直接写出ADBC

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【沪科版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·重庆·开学考试）估计73+3×A．18到19之间 B．19到20之间C．20到21之间 D．21到22之间【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案．【详解】解：7==7+3∵4.52∴4.5<∴13.5<3∴20.5<7+3∵321∴321∴7+321∴20.5<7+3即73故选：C．2．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·自主招生）已知关于x的方程1−2kx2−2A．k≥2 B．k≤2C．−1≤k≤2 D．−1≤k≤2且k≠【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两种情况：当1−2k=0时，当1−2k≠0时，分别求解即可得解．【详解】解：当1−2k=0时，1−2kx2−2当1−2k≠0时，由题意可得Δ=−2k+1解得：−1≤k≤2，∴当−1≤k≤2时，关于x的方程1−2kx故选：C．3．（3分）（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，若BC=4，则B

A．23 B．2 C．4 【答案】A【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．根据已知条件和图形折叠的性质可得：∠BDC′=120°,BD=C′D=2，过点【详解】解：解：∵AD是BC边的中线，∴BD=DC=1∴∠ADC∴∠BDC∴∠DBC过点D作DE⊥BC′于∴DE=1∴BE=BD∴BC故选：A．4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）已知7=a，70=b，则A．a+b10 B．b−a10 C．ba【答案】D【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．先将被开方数化成分数，然后分子分母同乘以10，使得分母部分可以开平方，而分子部分化成含7和70的形式，即得答案．【详解】∵7=a，∴4.9故选：D．5．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A．2025 B．2024 C．22023 D．2【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，故选：A．6．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=152米，AB=40米，则BDA．50 B．40 C．402 D．【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，求解CM=BM=15，AM=40−15=25，AC=152+252=534，CD=AD=1017，延长DC交AB于E，则∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE2=AE2【详解】解：如图，过C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥AB于N，∴CM∥DN，∵∠ABC=45°，BC=152∴CM=BM=15，∵AB=40，∴AM=40−15=25，∴AC=15∵AC=CD，∴CD=AD=A延长DC交AB于E，则∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE∴25+ME2解得：ME=9，∴CE=C∴DE=CD+CE=834∴BE=15−9=6，∴AE=40−6=34，同理可得：AD∴1017解得：AN=10，∴BN=40−10=30，DN=A∴BD=B故选：A7．（3分）（24-25八年级·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且x≠y，现规定minx,y表示x、y中较小的数，例如：min3,−1=−1，min−1,0=−1，若minA．3 B．1 C．3或1 D．−3或1【答案】C【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可．【详解】解：∵minx∴当x2−3≤3−x即：minx∴x2即：x2移项配方得：x2解得：x+1=±2，即：x=1或x=−3（舍），当x2−3>3−x即：minx∴3−x即：x2解得：x=−1（舍）或x=3，综上所述：x=3或x=1，故选：C．8．（3分）（24-25八年级·重庆万州·期中）计算：20242−2023×2024×2025×2026+1A．−2024 B．−2023 C．−2025 D．−1【答案】B【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令x=2024，把原式化简为x2【详解】解：令x=2024，则原式化为：x======−x+1=−2024+1=−2023，故选：B．9．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（

A．32 B．23 C．45【答案】D【分析】设原方程为ax2+bx+c=0，两个根为α和β．新方程为cx2+bx+a=0，两个根为2和β．则可得aβ2+bβ+c=0①，cβ2+bβ+a=0②，4c+2b+a=0③．将①②联立可解得β=±1．则可得a+b+c=0或a−b+c=0本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键．【详解】解：设原方程为ax2+bx+c=0，两个根为α新方程为cx2+bx+a=0则aβ2+bβ+c=0①，①−②得由题意得a≠c，∴a−c≠0，∴β2∴β=±1．当β=1时，a+b+c=0，联立a+b+c=04c+2b+a=0，得a=2c则α+β=−ba=−则α2当β=−1时，a−b+c=0，联立a−b+c=04c+2b+a=0，得a=−2c则α+β=−ba=−则α2综上，原方程两根的平方和是54故选：D．10．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72【答案】D【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=12180°−∠BFE=90°−12x，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则∠FCA=90°−12x，EBF=12180°−∠BFE=90°−12x即可证明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°−12∴∠AFB=∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2设∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期中）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m【答案】1310【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为32−2x+1，而仓库的面积为【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得(32−2x+1)x=130，2x(x−10)(2x−13)=0，∴x1=10或当x1=10时，当x2=6.5时，所以，仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：13，10．12．（3分）（24-25八年级·河南驻马店·阶段练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm．在水面EF上紧贴内壁的G处有一块面包屑，且EG=60cm．一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G【答案】100【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A【详解】解：如图所示作出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q则A'根据题意：BE=AB−AE=20cm，EG=60∴A'∴AQ+QG=A∴最短路线长为100cm故答案为：100．13．（3分）（2025八年级·安徽合肥·阶段练习）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：11+2=1×2−12【答案】0【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为m−12【详解】解：m=∴m====2025−2025=0，故答案为：0．14．（3分）（24-25八年级·安徽六安·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=43，M是AC的中点，N是AB上任意一点，以MN为对称轴折叠△AMN，得到△DMN，点A的对应点为点D（点B，N，D在（1）当MD⊥AB时，∠ANM=；（2）当DN⊥AB时，BN的长为．【答案】120°5+3/【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质：（1）当MD⊥AB时，由直角三角三角形的性质，求出∠AMN=60°，再根据折叠的性质可得∠AMN=∠NMD=30°，最后利用三角形内角和定理即可求解；（2）过点M作ME⊥AB于点E，根据折叠的性质可知∠ANM=∠MND=12×180°+90°=135°，证明ME=NE，利用直角三角形的性质求出AM=23，NE=ME=3，利用勾股定理求出AE=3【详解】解：（1）∵MD⊥AB，∴∠ADM=90°，∵∠A=30°，∴∠AMN=90°−∠A=60°，由折叠的性质可得∠AMN=∠NMD=1∴∠ANM=180°−∠A−∠AMN=120°，故答案为：120°；（2）过点M作ME⊥AB于点E，∵DN⊥AB，∴∠AND=∠END=90°，根据折叠的性质可知∠ANM=∠MND=1∴∠MNE=45°，∴∠MNE=∠NME=45°，.∴ME=NE，∵M是AC的中点，AC=43∴AM=1∵∠A=30°，∴NE=ME=1∴AE=A∴AN=AE−NE=3−3∵∠C=90°,∠A=30°,AC=43∴AB=2BC，∴AB∴BC=4，∴AB=8，∴BN=AB−AN=8−3−故答案为：5+315．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E点，点E在点D右侧，并且点A、B在直线l同侧，AD=DE=8，BE=2，当CD长为时，△ABC为直角三角形．【答案】6或4或13【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=8，DF=BE=2，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．【详解】解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=8，DF=BE=2，∴AF=AD−DF=6，由勾股定理得，AB2ACBC当△ABC为直角三角形时，AB即100+64+CD解得，CD=6；同理可得：当∠ABC=90°时，由勾股定理得，ABACBC∴AC∴64+CD解得：CD=13当∠ACB=90°时，由AB2=A解得：CD=4，综上：CD的长为：6或4或132故答案为：6或4或13216．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，长方形ABCD中，AB=5cm，AD=4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A−B−C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从（1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP=cm；（2）经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm【答案】(4−x)6−2【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AP的长；（2）分0<x<53及53（1）利用AP的长=AD的长−点P的运动速度×运动时间，可用含x的代数式表示出AP的长；（2）当0<x<53时，AP=(4−x)cm，AQ=3xcm，根据以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值；当53≤x≤3时，AP=(4−x)cm，根据以A、P【详解】解：（1）∵动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s∴经过x秒，DP=xcm∴AP=AD−DP=(4−x)cm故答案为：(4−x)；（2）4÷1=4(s)，5÷3=5当0<x<53时，AP=(4−x)cm∴12AP⋅AQ=2，即整理得：3x解得：x1=6−2当53≤x≤3时，∴12解得：x=16∴经过6−263秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为故答案为：6−26第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2x【答案】(1)证明见解析(2)−4，−2，0，2【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．（1）计算一元二次方程根的判别式Δ=1>0，即可得到无论m（2）利用公式法求出方程的解为x=m+1或x=m，根据x1>x2得到x1=m+1，把x1+3x1变形为1+3【详解】（1）证明：∵a=1,b=−2m+1∴Δ=∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：x2∵Δ=∴方程都有两个不相等的实数根，∴x=−b±∴x=m+1或x=m，∵x1∴x1∴x1∵x1∴3m+1∵m为整数，∴m+1=±1或m+1=±3，∴整数m所有可能的值为−4，−2，0，2．18．（6分）（24-25八年级·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程：15(1)观察上面解题过程，计算3(2)请直接写出1n+(3)利用上面的解法，请化简：1【答案】(1)10(2)1(3)9【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键：（1）利用分母有理化进行求解即可；（2）利用分母有理化进行求解即可；（3）先进行分母有理化，再进行求解即可．【详解】（1）解：原式=3（2）1n（3）原式=219．（6分）（24-25八年级·海南儋州·期末）如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，AD=14 m，DC=48 m，AB=40 m(1)求小路AC的长；(2)萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2 m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A【答案】(1)50m(2)24秒【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．（2）先证明∠ABC=90°，再运用面积法，得出BH=24，根据勾股定理列式计算得出HC=B【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48∴在Rt△ADC中，AC=∴小路AC的长为50m；（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，

依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．∵AB=40m，CB=30m．∴AC即AC∴∠ABC=90°，则S△ABC即BH=AB×BC∴HC=∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A∴HC+BC=18+30=48m则48÷2=24∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．20．（8分）（24-25八年级·吉林长春·开学考试）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M．(1)在图①中，连结AM、BM、CM，使AM=BM=CM；(2)在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC=180°；(3)在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC=90°．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据网格在图①中，作AC，BC的垂直平分线交于点M，即可使AM=BM=CM；（2）根据网格在图②中，找到格点M，连结BM、CM，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得∠BMC+∠BAC=180°；（3）根据网格在图③中，连结BM，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠CBM+∠BAC=90°．【详解】（1）解：如图①，点M即为所求；∵点M在AC，BC的垂直平分线上，∴AM=BM=CM；（2）如图②，点M或点M'由网格可知：BM∥∴∠BMC+∠ACM=180°由网格可知：∠BAM+∠AMC=90°，∠BMA=∠MAC+∠BCA=45°，∴∠BMC+∠BAC=∠BMA+∠AMC+∠MAC+∠BAM=45°+45°+90°=180°；∴∠BMC+∠BAC=180°；（3）如图③，点M即为所求；由网格可知：BC∥∴∠CBM=∠NMB，由网格可知：AB=AM，∠BAM=90°，∠DAC=45°，∴∠BMA=45°，∴∠CBM=∠NMB=∠BMA−∠AMN=45°−∠AMN=45°−∠BAD，∴∠CBM+∠BAC=45°−∠BAD+∠BAD+45°=90°．【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质．21．（8分）（24-25八年级·福建泉州·期中）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x(1)已知关于x的方程x2−m−1x−m=0（(2)若关于x的方程ax2+bx+1=0（a,b是常数，且a>0）是“邻根方程”，令t=12a−【答案】(1)m=0或m=−2(2)16【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果；（2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出a与b的关系式，再由t=12a−b2可列出t与本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键．【详解】（1）解：∵关于x的方程x2∴解方程可得：x1=m，∴x∴m1=0∴m=0或m=−2；（2）∵关于x的方程ax2+bx+1=0（a,b设两个根分别为x1∴x由韦达定理：x1+x∴x∴b此时Δ=b∴t=12a−b∴当a=4时，t有最大值，最大值为16．答：t的最大值为16．22．（10分）（24-25八年级·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T:m<T<n，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“行知区间”为m,n，如1<2<2，所以2的行知区间为(1)无理数17的“行知区间”是________；(2)若a=b−3+3−b(3)实数x，y，n满足2x+3y−n+3x+4y−2n=【答案】(1)4,5(2)−3,−2(3)6,7【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．（1）夹逼法求出19的取值范围，即可得出结果；（2）根据二次根式有意义的条件，得到b=−7，进一步求出b（3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到2x+3y=n,3x+4y=2n，x+y=41，求出x,y,n的值，进而求出n的“行知区间”即可．【详解】（1）解：∵16<∴4<19即：无理数19的“行知区间”是4,5；故答案为：4,5；（2）解：∵a=∴b−3≥0,3−b≥0，∴b=3，∴a=−7∵4<∴2<7∴−3<−7∴a的“行知区间”为−3,−2；（3）∵2x+3y−n+∴x+y−41≥0,41−x−y≥0，∴x+y=41，∴2x+3y−n+∴2x+3y−n=0,3x+4y−2n=0，联立：x+y=412x+3y−n=03x+4y−2n=0，解得：∴n的算术平方根为41，∵36<∴6<41∴n的算术平方根的“行知区间”为6,7．23．（10分）（24-25八年级·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20(2)该品牌头盔每个售价应定为60元【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价−进价）×销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得：500解得x1答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得：y−40500−10×整理，得y解得y因为尽可能让顾客得到实惠，所以y=130不合题意，舍去．所以y=60．答：该品牌头盔每个售价应定为60元．24．（12分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F，直线BE交直线CD于G点．

(1)设∠BCD=m°，则∠AEC=______°（用含m的代数式表示），并证明：∠AEB=45°；(2)猜想线段AF、EF、AC之间的数量关系，并给出证明．(3)若AC=13，BE=10，求△ACF的面积．【答案】(1)45−m，证明见解析(2)2AC(3)42【分析】（1）利用翻折的性质得BC=EC，则∠CBE=∠BEC，从而求得∠BEC=90°−m°，再根据AC=BC，得到AC=EC，则∠CAE=∠AEC，从而求得∠AEC=45°−m°，最后由∠AEB=∠BEC−∠AEC可得出结论．（2）连接BF，先由等腰直角三角形的性质与勾股定理求得AB=2AC，再由折叠性质，得BF=EF，由（1）知，∠AEB=45°，求得（3）过点C作CH⊥AF于H，由翻折性质得FG=GE=5，利用勾股定理可求得EF=2GE=52，CG=CE2−GE2=132−【详解】（1）解：∵线段BC沿直线CD翻折得线段CE，∴∠ECD=∠BCD=m°，BC=EC，∴∠BCE=2∠BCD=2m°，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠CAE=∠AEC，∴∠AEC====45−m故答案为：45−m；证明：∵线段BC沿直线CD翻折得线段CE，∴BC=EC，∴∠CBE=∠BEC，∴∠BEC=1∵∠AEB=∠BEC−∠AEC，∴∠AEB=90°−m°−45−m即∠AEB=45°．（2）解：2A证明：连接BF，如图，

∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AB=2由翻折知，BF=EF，由（1）知，∠AEB=45°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴∠EFB=90°，∴∠AFB=90°，∴AB∴2AC∴2AC（3）解：过点C作CH⊥AF于H，如图，

由翻折知，GE=BG=12BE=∴∠EGF=90°，由（1）知：∠BEF=45°，∴∠GFE=∠BEF=45°，∴FG=GE=5，∴EF=2∵CE=BC=AC=13，∴CG=C∴CF=CG−FG=12−5=7，∵CH⊥AF，∴∠CHF=90°，∵∠HFC=∠GFE=45°，∴∠HCF=∠HFC=45°，∴CH=HF，由勾股定理，得CH∴2CH∴CH=7由（2）知：2AC∴2×13∴AF=122∴S△ACF【点睛】本题考查翻折的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形的面积等知识．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，是解题的关键．25．（12分）（24-25八年级·重庆九龙坡