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文档简介
山东平阴一中2025届高中毕业班1月模拟考试数学试题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.102.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来,“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述错误的是()A.这五年,出口总额之和比进口总额之和大B.这五年,2015年出口额最少C.这五年,2019年进口增速最快D.这五年,出口增速前四年逐年下降3.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.4.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.15.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.6.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.157.函数的图象大致是()A. B.C. D.8.如图,点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,点F,M分别在线段AC,BD1(不包含端点)上运动,则()A.在点F的运动过程中,存在EF//BC1B.在点M的运动过程中,不存在B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.四面体FA1C1B的体积不为定值9.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()A. B. C. D.10.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.12.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.14.锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,则的取值范围是______.15.已知下列命题:①命题“∃x0∈R,”的否定是“∀x∈R,x2+1<3x”;②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“”为真命题;③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是________.16.已知平面向量,,且,则向量与的夹角的大小为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求证:18.(12分)已知等比数列是递增数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.(1)求证:;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)已知,函数有最小值7.(1)求的值;(2)设,,求证:.21.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.22.(10分)以直角坐标系的原点为极坐标系的极点,轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,是上一动点,,点的轨迹为.(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;(2)若点,直线的参数方程(为参数),直线与曲线的交点为,当取最小值时,求直线的普通方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.2.D【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.【详解】对A项,由统计图可得,2015年出口额和进口额基本相等,而2016年到2019年出口额都大于进口额,则A正确;对B项,由统计图可得,2015年出口额最少,则B正确;对C项,由统计图可得,2019年进口增速都超过其余年份,则C正确;对D项,由统计图可得,2015年到2016年出口增速是上升的,则D错误;故选:D本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题,属于基础题.3.B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.4.B【解析】
过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.5.C【解析】
根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.6.B【解析】,∴,选B.7.C【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.8.C【解析】
采用逐一验证法,根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式,可得结果.【详解】A错误由平面,//而与平面相交,故可知与平面相交,所以不存在EF//BC1B错误,如图,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正确四面体EMAC的体积为其中为点到平面的距离,由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即点到平面的距离,所以为定值,故四面体EMAC的体积为定值错误由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即为点到平面的距离,所以为定值所以四面体FA1C1B的体积为定值故选:C本题考查线面、线线之间的关系,考验分析能力以及逻辑推理能力,熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理,中档题.9.B【解析】
函数的图象恒在轴的上方,在上恒成立.即,即函数的图象在直线上方,先求出两者相切时的值,然后根据变化时,函数的变化趋势,从而得的范围.【详解】由题在上恒成立.即,的图象永远在的上方,设与的切点,则,解得,易知越小,图象越靠上,所以.故选:B.本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.10.D【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.11.B【解析】
由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.12.D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为,为双曲线上的一点,为双曲线的渐近线上的一点,且都位于第一象限,且,可知为的三等分点,且,点在直线上,并且,则,,设,则,解得,即,代入双曲线的方程可得,解得,故选D.点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
按照个位上的9元的支付情况分类,三个数位上的钱数分步计算,相加即可.【详解】9元的支付有两种情况,或者,①当9元采用方式支付时,200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;②当9元采用方式支付时:200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;所以总的支付方式共有种.故答案为:1.本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏,分步做到步骤完整.14.【解析】
由余弦定理,正弦定理得出,从而得出,推出的范围,由余弦函数的性质得出的范围,再利用二倍角公式化简,即可得出答案.【详解】由题意得由正弦定理得化简得又为锐角三角形,则,,.故答案为本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题.15.②【解析】命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故①错误;“p∨q”为假命题说明p假q假,则(p)∧(q)为真命题,故②正确;a>5⇒a>2,但a>2⇒/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若xy=0,则x=0或y=0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误.16.【解析】
由,解得,进而求出,即可得出结果.【详解】解:因为,所以,解得,所以,所以向量与的夹角的大小为.都答案为:.本题主要考查平面向量的运算,平面向量垂直,向量夹角等基础知识;考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)见解析【解析】
(1)分三种情况去绝对值,求出最大值与已知最大值相等列式可解得;(2)将所证不等式转化为2ab≥1,再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证.【详解】(1)∵,∴.∴当时,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,当且仅当时等号成立,∴.令,.则在上单调递减.∴.∴当时,.∴.本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中根据绝对值的定义,合理去掉绝对值号,及合理转化恒成立问题是解答本题的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.18.(1)(2)【解析】
(1)先利用等比数列的性质,可分别求出的值,从而可求出数列的通项公式;(2)利用错位相减求和法可求出数列的前项和.【详解】解:(1)由是递增等比数列,,联立,解得或,因为数列是递增数列,所以只有符合题意,则,结合可得,∴数列的通项公式:;(2)由,∴;∴;那么,①则,②将②﹣①得:.本题考查了等比数列的性质,考查了等比数列的通项公式,考查了利用错位相减法求数列的前项和.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)先由线面垂直的判定定理证明平面,再证明线线垂直即可;(2)建立空间直角坐标系,求平面的一个法向量与平面的一个法向量,再利用向量数量积运算即可.【详解】(1)证明:连接,由平行且相等,可知四边形为平行四边形,所以.由题意易知,,所以,,因为,所以平面,又平面,所以.(2)设,,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四边形为平行四边形,所以为的中点,为的中点,所以平行且相等,从而平面,又,所以,,两两垂直,如图,建立空间直角坐标系,,,由平面几何知识,得.则,,,,所以,,.设平面的法向量为,由,可得,令,则,,所以.同理,平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为,则,所以.本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重点考查了空间向量的应用,属中档题.20.(1).(2)见解析【解析】
(1)由绝对值三解不等式可得,所以当时,,即可求出参数的值;(2)由,
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