高中数学第一章常用逻辑用语112量词教案省公开课一等奖新课获奖课件

1.4全称量词与存在量词1/27逻辑联结词：“且”、“或”、“非”简单命题：不含逻辑联结词命题.惯用小写拉丁字母p，q，r，s，…表示.复合命题:由简单命题与逻辑联结词组成命题.组成形式：p且q；

p或q；非p.注意：简单命题与复合命题区分：是否有逻辑联结词．

分别记作：p∧q；

p∨q；¬

p.知识回顾2/27

哥德巴赫猜测是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发觉.1742年6月7日哥德巴赫写信给当初大数学家欧拉，正式提出了以下猜测：

任何一个大于6偶数都能够表示成两个质数之和．

任何一个大于9奇数都能够表示成三个质数之和．

这就是哥德巴赫猜测．欧拉在回信中说，他相信这个猜测是正确，但他不能证实.从此，这道数学难题引发了几乎全部数学家注意.哥德巴赫猜测由此成为数学皇冠上一颗可望不可及“明珠”．中国数学家陈景润于1966年证实：“任何充分大偶数都是一个质数与两个质数乘积和”，通常这个结果表示为“1+2”，这是当前这个问题最正确结果．科学猜测也是命题．哥德巴赫猜测迄今为止依然是一个没有得到正面证实也没有被推翻命题．问：这里“任何”作何了解？阅读教材P21-23，找出疑惑之处.3/27思索?以下语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有什么关系?(1);(2)2x+1是整数;(3)对全部(4)对任意一个2x+1是整数.4/27常见全称量词还有:“全部”,“任意一个”,“一切”,“每一个”,“任给”,“凡”等.

短语“对全部”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词命题,叫做全称命题.5/27符号

全称命题“对M中任意一个x有,p(x)成立”可用符号简记为读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.6/27【分析】要判定一个全称命题“”是真命题，需要对集合M中每一个元素x,证实p(x)成立；假如在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.7/27解:（1）2是素数，所以全称命题“全部素数都是奇数”是假命题；（2）总有所以全称命题“”是真命题；（3）是无理数，但是有理数，所以全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数.

”是假命题；但2不是奇数，8/27说明：要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。练习：P23:第1题判断以下全称命题真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算数平方根；（3）{x|x是无理数}，x2是无理数.真命题假命题假命题9/2710/2711/27

特称命题“存在M中一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.x0∈M,p(x0)，12/27比如,命题:有平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数;有向量方向不定;存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;有一些实数不能取对数.13/2714/27解:（1）因为所以使实数x不存在，所以特称命题“有一个实数x0,使x02+2x0+3=0

”是假命题.（2）因为垂直于同一条直线平面是相互平行，所以不存在两个相交平面垂直于同一条直线，（3）因为存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线

”是假命题.所以特称命题“有些整数只有两个正因数

”是真命题.15/27说明：要判断一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合每一个元素x，使命题p(x)为假。练习：P23:第2题判断以下特称命题真假：（1）（2）最少有一个整数,它既不是合数,也不是素数；是无理数}，

（3）是无理数.真命题真命题真命题16/27例3.判断以下命题是全称命题，还是特称命题？

（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）假如两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A子集；【分析】判定命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或者存在量词，但要注意是有些全称命题没有全称量词，这时我们要依据命题包括意义去判断.解：全称命题有（2）、（4）、（5）、（6）；特称命题有（1）、（3）.17/27【例4】用符号“”与“”表示以下含有量词命题.（1）自然数平方大于0；（2）圆x2+y2=r2上任一点到圆心距离是r；（3）存在一对整数x,y，使得2x+4y=3；（4）存在一个无理数，它立方是有理数.解：（1）（2）{P|P在圆x2+y2=r2上}，（O为圆心）；|OP|=r（3）是整数}，

（4）是无理数}，

18/27探究x0∈M,

﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)x0∈M,﹁p(x0)3)x0∈R,x02-2x0+1＜019/27

从命题形式上看,这三个全称命题否定都变成了特称命题.

普通地,对于含有一个量词全称命题否定,有下面结论:全称命题p:全称命题否定是特称命题.它否定x0∈M,﹁p(x0)20/27例5.

写出以下全称命题否定,并判断真假：(1)p:全部能被3整除整数都是奇数;(2)p:每一个四边形四个顶点共圆;(3)p:对任意x∈Z,x2个位数字不等于3.解：(1)¬

p:存在一个能被3整除整数不是奇数.真命题；(2)¬

p:存在一个四边形,它四个顶点不共圆.真命题；(3)¬

p:个位数字等于3.假命题.【说明】否定时,不能只是简单否定结论，全称命题否定变成特称命题.21/27探究否定:1)全部实数绝对值都不是正数;2)每一个平行四边形都不是菱形;3)x0∈M,

p(x0)x0∈M,

p(x0)x0∈M,

p(x0)3)x0∈R,x02+1＜022/27

从命题形式上看,这三个特称命题否定都变成了全称命题.特称命题它否定特称命题否定是全称命题.x0∈M,

p(x0)

普通地,对于含有一个量词特称命题否定,有下面结论:23/27例6.

写出以下特称命题否定,并判断真假：(1)(2)p:有三角形是等边三角形;(3)p:有一个素数含三个正因数.p:x0∈R,x02+2x0+2≤0解：(1)¬

p:(2)¬

p:全部三角形都不是等边三角形.假命题；真命题；(3)¬

p:每一个素数都不含三个正因数.真命题.【说明】否定时，不能只是简单否定结论，特称命题否定变成全称命题.24/27

解题中会碰到省略了“全部，任何，任意”等量词简化形式，这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.隐蔽性否定命题确实定：例7.

写出以下命题否定：（1）若x2>4，则x>2；（2）若m≥0,则x2+x－m=0有实数根；（3）能够被5整除整数，末位是0；（4）被8整除数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它四条边相等.25/27例7.

写出以下命题否定：（1）若x2>4，则x>2；（2）若m≥0,则x2+x－m=0有实数根；（3）能够被5整除整数，末位是0；（4）被8整除数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它四条边相等.解：(1)原命题完整表述：对任意实数x,