行列式试题及详细答案

行列式试题及详细答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.在下列矩阵中，哪个矩阵的行列式值为0？

A.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\)

2.若一个\(3\times3\)矩阵的行列式值为2，则该矩阵的行列式值乘以它的转置矩阵的行列式值为：

A.2

B.4

C.8

D.16

3.下列哪个选项描述了行列式的性质？

A.行列式是对称的

B.行列式在行交换时符号改变

C.行列式在列交换时符号不变

D.行列式在行或列乘以常数时，行列式的值也乘以该常数

4.若矩阵\(A\)的行列式值为0，则\(A\)的以下哪个性质一定成立？

A.\(A\)是可逆的

B.\(A\)的行向量线性相关

C.\(A\)的列向量线性相关

D.\(A\)的秩为0

5.下列矩阵中，哪个矩阵的行列式值为1？

A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)

6.若矩阵\(A\)的行列式值为-1，则\(A\)的以下哪个性质一定成立？

A.\(A\)是可逆的

B.\(A\)的行向量线性相关

C.\(A\)的列向量线性相关

D.\(A\)的秩为1

7.下列哪个矩阵是上三角矩阵？

A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&5\\0&0&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

8.若矩阵\(A\)是一个\(3\times3\)的上三角矩阵，则\(A\)的行列式值为：

A.0

B.1

C.3

D.无法确定

9.下列哪个选项描述了行列式的性质？

A.行列式在行或列乘以常数时，行列式的值也乘以该常数

B.行列式在行或列加和时，行列式的值不变

C.行列式在行或列交换时符号改变

D.行列式在行或列乘以-1时，行列式的值乘以-1

10.若矩阵\(A\)的行列式值为0，则\(A\)的以下哪个性质一定成立？

A.\(A\)是可逆的

B.\(A\)的行向量线性相关

C.\(A\)的列向量线性相关

D.\(A\)的秩为0

（注：以上试题仅供参考，具体答案请自行核对。）

二、判断题（每题2分，共10题）

1.行列式的值只与矩阵的行向量有关，与列向量无关。（×）

2.两个行向量相等的矩阵，其行列式的值一定相等。（√）

3.若矩阵\(A\)的行列式值为0，则\(A\)一定不可逆。（√）

4.任何\(2\times2\)矩阵的行列式值都大于0。（×）

5.若矩阵\(A\)的行列式值为0，则\(A\)的秩小于其阶数。（√）

6.行列式在行或列乘以常数时，行列式的值不变。（×）

7.行列式在行或列加和时，行列式的值不变。（×）

8.两个\(n\timesn\)矩阵的行列式值相等，则这两个矩阵一定相等。（×）

9.任何\(n\timesn\)矩阵的行列式值都大于0，当且仅当矩阵是可逆的。（×）

10.行列式的值在行或列交换时符号改变，但行或列的交换次数不影响行列式的值。（√）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述行列式的基本性质，并举例说明。

2.如何通过行列式的性质计算一个\(3\times3\)矩阵的行列式值？

3.解释克拉默法则，并说明其适用条件。

4.简述行列式在求解线性方程组中的应用。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述行列式在矩阵理论中的地位和作用，以及其在实际问题中的应用。

2.讨论如何通过行列式的计算来判定一个\(n\timesn\)矩阵是否可逆，并解释为什么行列式为0的矩阵不可逆。

试卷答案如下

一、多项选择题

1.C

解析思路：计算每个矩阵的行列式值，发现只有C选项的行列式值为0。

2.C

解析思路：行列式值乘以其转置矩阵的行列式值等于其平方，即\(2^2=4\)。

3.B

解析思路：行列式的性质包括交换行（或列）符号改变，乘以常数时行列式也乘以该常数。

4.B

解析思路：行列式值为0表示行向量（或列向量）线性相关，即矩阵不是满秩的。

5.A

解析思路：行列式值为1的矩阵表示行向量（或列向量）线性无关，且行列式值不为0。

6.B

解析思路：行列式值为-1表示行向量（或列向量）线性相关，且矩阵不是满秩的。

7.C

解析思路：上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为0的矩阵。

8.B

解析思路：上三角矩阵的行列式值等于对角线元素的乘积，即\(1\times4\times6=24\)。

9.A

解析思路：行列式的性质包括在行或列乘以常数时，行列式的值也乘以该常数。

10.B

解析思路：行列式值为0表示行向量（或列向量）线性相关，即矩阵不是满秩的。

二、判断题

1.×

解析思路：行列式的值与行向量（或列向量）都有关。

2.√

解析思路：行向量相等的矩阵行列式值相等。

3.√

解析思路：行列式值为0表示矩阵不是满秩的，即不可逆。

4.×

解析思路：行列式值可以为0，如单位矩阵的行列式值为1。

5.√

解析思路：行列式值为0表示矩阵不是满秩的，即秩小于阶数。

6.×

解析思路：行列式在行或列乘以常数时，行列式的值也乘以该常数。

7.×

解析思路：行列式在行或列加和时，行列式的值会改变。

8.×

解析思路：行列式值相等不代表矩阵相等，可能存在不同的行（或列）向量。

9.×

解析思路：行列式为0的矩阵不可逆，但行列式为正的矩阵不一定可逆。

10.√

解析思路：行列式在行或列交换时符号改变，但交换次数不影响值。

三、简答题

1.行列式的基本性质包括：交换行（或列）符号改变，乘以常数时行列式也乘以该常数，行列式在行或列加和时，行列式的值不变。行列式在矩阵理论中的地位和作用在于，它是矩阵的一个重要特征值，可以用来判断矩阵的秩、可逆性以及解线性方程组。在实际问题中，行列式可以用来求解线性方程组、计算体积、计算多面体的面积等。

2.通过行列式的性质计算\(3\times3\)矩阵的行列式值，可以先将矩阵化为上三角矩阵，然后计算对角线元素的乘积。也可以使用拉普拉斯展开或Sarrus法则。

3.克拉默法则是使用行列式解线性方程组的方法。当方程组的系数矩阵是可逆的，且方程组有唯一解时，可以使用克拉默法则求解。克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式和增广矩阵的行列式来得到方程组解的值。

4.行列式在求解线性方程组中的应用主要体现在，如果方程组的系数矩阵的行列式值不为0，则方程组有唯一解。通过计算系数矩阵的行列式和增广矩阵的行列式，可以判断方程组是否有解，以及求解方程组的解。

四、论述题

1.行列式在矩阵理论中的地位和作用非常重要，它是矩阵的一个重要特征值，可以用来判断矩阵的秩、可逆性以及解线性方程组。行列式在数学分析、几何学、物理学等领域都有广泛的应用。例如，在几何学中，行列式可以用来计算体积、面