2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题06不等式教学案理含解析

PAGEPAGE1不等式【2024年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．(2)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中常常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.【重点、难点剖析】1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最终依据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行探讨的缘由．确定好分类标准、层次清晰地求解．2．基本不等式(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.(2)几个重要的不等式：①ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．②eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)(a＞0，b＞0)．③a＋eq\f(1,a)≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．(3)最值问题：设x，y都为正数，则有①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值eq\f(s2,4)；②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq\r(p).3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B；(2)能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)min<B；(3)恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.4．运用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创建运用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要依据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够运用这些不等式求解最值的目的．在运用基本不等式求函数的最值、特殊是求二元函数最值时肯定要留意等号成立的条件，尽量避开二次运用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，可知eq\f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要依据b的符号确定目标函数在什么状况下取得最大值、什么状况下取得最小值.【题型示例】题型一、不等式的解法及应用【例1】（2024年全国I卷理数）已知集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.【变式探究】【2024浙江，4】若，满意约束条件，则的取值范围是A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．【变式探究】【2024高考新课标1卷】若,则()（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；其次步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类探讨．【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．【解析】∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.【答案】{x|－1＜x＜2}【变式探究】若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列结论正确的是()A．ac2<bc2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．eq\f(b,a)>eq\f(a,b) D．a2>ab>b2【解析】∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不正确；eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵a<b<0，∴b－a>0，ab>0，∴eq\f(b－a,ab)>0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故选项B不正确；∵a<b<0，∴取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，此时eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故选项C不正确；∵a<b<0，∴a2－ab＝a(a－b)>0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故选项D正确，故选D．【答案】D【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简洁的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解．(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．(4)解含参数不等式的策略：依据题意确定参数分类的标准，依次探讨求解．【变式探究】(1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，则a的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>\f(1,2)))))，则f(10x)>0的解集为______．【答案】(1)[－eq\f(5,2)，＋∞)(2){x|x<－lg2}【规律方法】解一元二次不等式一般要先推断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还须要考虑其对称轴的位置，依据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．题型二、线性规划问题【例2】（2024年全国I卷理数）若，满意约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】依据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.【举一反三】（2024年全国Ⅱ卷理数）若满意约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.【变式探究】(2024·天津卷)设变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6 B．19C．21 D．45【解析】由变量x，y满意的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出初始直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C．【答案】C【变式探究】【2024北京，理4】若x，y满意则x+2y的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.【变式探究】【2024年高考北京理数】若，满意，则的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般状况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【举一反三】已知实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝()A．eq\f(9,4) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(3,4)【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移初始直线y＝－2x，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3，,y＝2x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝\f(3,2)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,2)))，又点A也在直线y＝－x＋b上，即eq\f(3,2)＝－eq\f(3,4)＋b，∴b＝eq\f(9,4).故选A．【答案】A【变式探究】(1)设x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2(2)(2014·浙江)当实数x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合实力与运算求解实力．(2)本题主要考查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解实力．【答案】(1)B(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，视察可知，当直线经过点B(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.(2)作出题中线性规划条件满意的可行域如图中阴影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1,0)，B(2,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))处取得．故由1≤z≤4恒成立，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤4，,1≤2a＋1≤4，,1≤a＋\f(3,2)≤4，))解得1≤a≤eq\f(3,2).【感悟提升】1．线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝eq\f(x－b,x－a)，距离式z＝(x－a)2＋(y－b)2.(2)求区域面积．(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围．2．解答线性规划问题的步骤及应留意的问题(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再留意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要留意作图肯定要精确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应留意区域是否包含边界．(3)对目标函数z＝Ax＋By中的B的符号，肯定要留意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．题型三、基本不等式及其应用例3、【2024山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】因为，且，所以，所以选B.【变式探究】【2024高考天津理数】设变量x，y满意约束条件则目标函数的最小值为（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【举一反三】(1)已知不等式eq\f(x＋2,x＋1)<0的解集为{x|a<x<b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．4eq\r(2) B．8C．9 D．12(2)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础学问，对学生的转化思想、运算实力有肯定要求．(2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础学问，意在考查考生处理实际问题的实力、空间想象实力和运算求解实力．【答案】(1)C(2)160【解析】(1)易知不等式eq\f(x＋2,x＋1)<0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1，则2m＋n＝1，eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝(2m＋n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq\f(2m,n)＋eq\f(2n,m)≥5＋4＝9当且仅当m＝n＝eq\f(1,3)时取等号，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为9.设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq\f(4,x)m，依题意，得y＝20×4＋10·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x×\f(4,x))＝160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(4,x)，即x＝2时取等号))，所以该容器的最低总造价为160元．【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特殊适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．(3)若两次连用基本不等式，要留意等号的取得条件的一样性，否则就会出错．【举一反三】下列结论中正确的是()A．lgx＋eq\f(1,lgx)的最小值为2B．eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))的最小值为2C．eq\f(sin2x＋4,sin2x)的最小值为4D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值【答案】B题型四与线性规划有关的综合性问题例4．【2024山东，理4】已知x,y满意，则z=x+2y的最大值是（A）0（B）2（C）5（D）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发觉，当其经过直线与的交点时，最大为，选C.【变式探究】【2024高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B须要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A须要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B须要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时,取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时,.故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.【举一反三】已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a>0