2025版高考数学复习第四单元第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例练习文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第25讲平面对量的数量积与平面对量应用举例1.若向量a,b,c满意a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)= ()A.4 B.3 C.2 D.02.若向量a,b满意|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|等于 ()A.22+3 B.2C.4 D.123.已知|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为 ()A.π6 B.π4 C.π3 4.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a方向上的投影为.

5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.

6.[2024·济南模拟]已知两个非零向量a与b的夹角为锐角,则 ()A.a·b>0 B.a·b<0C.a·b≥0 D.a·b≤07.[2024·衡水中学月考]已知平面对量a,b的夹角为π3,且|a|=1,|b|=12,则|a-2b|= (A.1 B.3 C.2 D.38.[2024·安徽江南十校联考]已知向量a与b均为单位向量,若2a-b也是单位向量,则向量a与b的夹角为 ()A.45° B.60°C.90° D.135°9.[2024·成都七中二诊]若向量AB=12,32,BC=(3,1),则△ABCA.12 B.C.1 D.310.设向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3),若b∥c,则a-b与b的夹角为 ()A.30° B.60°C.120° D.150°图K25-111.[2024·龙岩模拟]如图K25-1所示,△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB上的高,点P在射线OC上,则AP·OP的最小值为 ()A.-1 B.-1C.-14 D.-12.[2024·贺州模拟]已知矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P为矩形内一点,且|AP|=1,则(PC+PD)·AP的最大值为 ()A.0 B.2 C.4 D.613.[2024·宁夏平罗中学四模]已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,且λb-a与a垂直,则实数λ=.

14.已知△DEF的外接圆的圆心为O,半径为4,假如OD+DE+DF=0,且|OD|=|DF|,则向量EF在FD方向上的投影为.

15.[2024·贵州黔东南州一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.D,E是线段AB上满意条件CD=12(CB+CE),CE=12(CA+CD)的点,若CD·CE=λc2,则当角C为钝角时,λ的取值范围是 (A.-136,2C.-136,116.[2024·淮南一模]如图K25-2所示,已知圆M:(x-4)2+(y-4)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,ME·OF的取值范围是 ()图K25-2A.[-82,82] B.[-8,8]C.[-4,4] D.[-42,42]课时作业(二十五)1.D[解析]由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.故选D.2.B[解析]|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60°=4+4+2×2×2×12=12,所以|a+b|=23.故选B3.C[解析]cos<a,b>=a·b|a||b|=11×2=12,又向量a与b的夹角在区间[0,π]内,所以向量4.2[解析]由题意知a+b在a方向上的投影为(a+b)·a5.27[解析]易知F1+F2=-F3,所以|F3|2=|F1+F2|2=4+16+2×2×4×12=28,所以|F3|=276.A[解析]因为a·b=|a||b|cos<a,b>,两个非零向量a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,故选A.7.A[解析]因为平面对量a,b的夹角为π3,且|a|=1,|b|=12,所以|a-2b|=(a-2b)2=8.A[解析]由题意知(2a-b)2=2a2-22a·b+b2=2-22a·b+1=1,∴a·b=22=cos<a,b>,∴<a,b>=45°,故选A9.A[解析]∵AB=12,32,BC=(3,1),∴|AB|=1,|BC|=2,又AB与BC的夹角的余弦值为AB·BC|AB||BC|=32,∴∠ABC=150°,∴S△ABC=12×1×10.D[解析]因为b∥c,所以-3x=(-3)×1,所以x=3,所以b=(3,-3),a-b=(0,4),所以a-b与b的夹角的余弦值为-124×23=-3211.B[解析]设|OP|=t≥0,因为AP=OP-OA,则AP·OP=(OP-OA)·OP=OP2-OA·OP=t2-22t=t-242-18≥-18,当t=24时取等号,所以AP·OP的最小值为-112.B[解析]以点A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设P(x,y),因为|AP|=1,所以点P在第一象限内的以A为圆心的单位圆上,则x2+y2=1(x>0,y>0).依据三角函数定义,设P(cosα,sinα)0<α<π2,C(2,3),D(0,3),则PC=(2-cosα,3-sinα),PD=(-cosα,3-sinα),AP=(cosα,sinα),所以(PC+PD)·AP=2cosα-2cos2α+23sinα-2sin2α=432sinα+12cosα-2=4sinα+π6-2,当α=π3时,其取得最大值2,故选B.13.2[解析]由|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,得a·b=|a||b|cos45°=2×2×22=22.∵λb-a与a垂直,∴(λb-a)·a=λa·b-|a|2=22λ-4=0,解得λ=214.-6[解析]由OD+DE+DF=0,得DO=DE+DF.∴DO经过EF的中点,∴DO⊥EF.连接OF,∵|OF|=|OD|=|DF|=4,∴△DOF为等边三角形,∴∠ODF=60°,∴∠DFE=30°,且EF=4×sin60°×2=43,∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|·cos<EF,FD>=43cos150°=-6.15.A[解析]依题意知D,E分别是线段AB上的两个三等分点,则有CD=23CB+13CA,CE=13CB+23CA,则CD·CE=2a29+2b29+59CB·CA,而CB·CA=a2+b2-c22,则CD·CE=2a29+2b29+518(a2+b2-c2)=λc2,化简得18λ+59=a2+b2c2,由C为钝角知a2+b2<c16.B[解析]因为圆M的半径为2,所以正方形AB