天津专用2025版高考数学大一轮复习5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示精练

PAGEPAGE15.1平面对量的概念及线性运算、平面对量基本定理及坐标表示【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.平面对量的基本概念与线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面对量的概念,理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.驾驭向量加法、减法的运算,并理解其几何意义2024天津,13向量的线性运算和几何意义平面对量的数量积★★☆2009天津,15两个向量相等的含义利用数量积求两向量的夹角2.向量共线问题驾驭向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义2024课标Ⅱ,13向量平行向量的坐标运算★☆☆3.平面对量基本定理了解平面对量基本定理及其意义2014福建,8平面对量基本定理平面对量的坐标表示★★☆4.平面对量的坐标运算1.驾驭平面对量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面对量的加法、减法和数乘运算3.理解用坐标表示的平面对量共线的条件2012天津,8平面对量的坐标运算利用坐标表示向量的模★★★分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面对量基本定理、向量的坐标运算等学问是平面对量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面对量基本定理是高考的重点与热点,要娴熟驾驭.破考点【考点集训】考点一平面对量的基本概念与线性运算1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A.513,-1213B.-答案A2.在△ABC中,G为重心,记a=AB,b=AC,则CG=()A.13a-23bB.13a+23bC.23a-1答案A3.M是△ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC中点,则A.12B.1答案B考点二向量共线问题4.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若AB∥a,则点B的坐标为.

答案(-3,-6)考点三平面对量基本定理5.D是△ABC所在平面内一点,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B6.已知△OAB,若点C满意AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则1λ+1A.13B.23C.2答案D7.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.58B.14答案A考点四平面对量的坐标运算8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,则实数m=()A.12B.-12C.1答案D9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,则t=.

答案±3炼技法【方法集训】方法1平面对量的线性运算技巧1.在△ABC中,点D满意AD=2AB-AC,则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线上C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长线上答案D2.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=.

答案2方法2向量共线问题的解决方法3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,则x=()A.-3B.-32C.23答案B4.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实数λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案D5.在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>0),则4x+y的最小值为.

答案9方法3平面对量的坐标运算的解题策略6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,则实数λ=()A.-3B.13答案A7.已知O为坐标原点,向量OA=(2,3),OB=(4,-1),且AP=3PB,则|OP|=.

答案7过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2024天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为.

答案32.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.

答案53.(2009天津,15,4分)在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|答案3B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面对量的基本概念与线性运算1.(2024课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34AC答案A2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=4答案A3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为答案90°考点二向量共线问题1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案B2.(2024山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.

答案-33.(2024课标Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.

答案-6考点三平面对量基本定理1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

答案1考点四平面对量的坐标运算1.(2024课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案A2.(2024课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D3.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B4.(2024课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

答案15.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.

答案-3C组老师专用题组1.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满意AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥BC答案D2.(2015陕西,7,5分)对随意向量a,b,下列关系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12AD C.BC答案A4.(2014福建文,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内随意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2025届天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内随意四点,现给出下列式子:①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C2.(2024天津河北一模,7)若O为△ABC所在平面内的任一点,且满意(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC的形态为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案B3.(2024天津和平一模,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为()A.65B.85答案B4.(2024天津河东一模,7)设P是△ABC边BC上的随意一点,Q为AP的中点,若AQ=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=()A.14B.13C.答案C5.(2024天津和平二模,7)如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=2FC,G为线段EF上的一点,且EG=12GF,AG=λAB+μA.25B.12C.4答案D二、填空题(每小题5分,共45分)6.(2024天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60°,|AC|=2,点D在边AB上,点E在边BC上,AD=12AB,BE=23BC,若DE·BC=83答案57.(2025届天津其次十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,DF=2FC,则AE·BF=.

答案28.(2024天津部分区县二模,14)在△ABC中,AB=62,AC=6,∠BAC=π4,点D满意BD=23BC,点E在线段AD上运动(不包括端点),若AE=λAB+μAC(λ,μ∈R),则3λ+13μ答案259.(2024天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内的一点,且AP=1,若AP=xAB+yAD,则3x+2y的最大值为.

答案210.(2024天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=12AB=1,F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若AP=λED+μAF,其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是答案[0,2]11.(2024天津河东二模,14)如图,在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满意AMMC=MPPB=2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120°,则AP·BC的值为答案-212.(2024天津试验中学热身训练,13)已知△ABC的外接圆圆心为P,若点P满意AP=25(AB+AC),则cos∠BAC=答案113.(2024天津新华中学模拟,14)在平面内,定点A,B,C,D满意|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满意|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是.

答案4914.(2024天津耀华中学二模,14)已知函数f(x)=|MP-xMN|(x∈R),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为.

答案43三、解答题(共10分)15.(2025届天津河西期中,19)设平面内的向量OA=(-1,-3),OB=(5,3),OM=(2,2),点P在直线OM上,且PA·PB=-16,其中O为坐标原点.(1)求OP的坐标;(2)求∠APB的余弦值;(3)设t∈R,求|OA+tOP|的最小值.解析(1)设P(x,y),由点P在直线OM上,可知OP与OM共线,而OM=(2,2),∴2x-