2024-2025学年高中数学3.2.2导数的运算法则课时作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-课时作业25导数的运算法则学问点一导数的运算法则1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A.1 B.eq\r(2)C.－1 D.0答案A解析∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A.1 B.2C.3 D.4答案D解析y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.学问点二求曲线的切线方程3.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30° B.45°C.60° D.120°答案B解析设倾斜角为α，∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴α＝45°.4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A.1 B.±1C.－1 D.－2答案A解析设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝axeq\o\al(3,0)＋3，所以3x0＋1＝axeq\o\al(3,0)＋3.①对y＝ax3＋3求导，得y′＝3ax2，则3axeq\o\al(2,0)＝3，axeq\o\al(2,0)＝1.②由①②可得x0＝1，所以a＝1.学问点三导数的综合应用5.设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满意f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).所以f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.易错点求切线方程时忽视“过”与“在”的差异6.已知函数f(x)＝x3＋x－16.直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．易错分析求关于曲线y＝f(x)的切线方程时，肯定要区分是求某点处的切线方程，还是求过某点(不在曲线f(x)的图象上)的切线方程，前者的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)(切点为(x0，f(x0))，而后者一般需先设出切点坐标，再求解．解设切点为P(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，直线l的方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)，即y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又因为直线l过点(0,0)，所以(3xeq\o\al(2,0)＋1)(0－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16＝0，解得x0＝－2，代入f(x)＝x3＋x－16中可得y0＝－26.斜率为3xeq\o\al(2,0)＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．一、选择题1．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是()A.甲大 B.乙大C.相等 D.无法比较答案B解析v1＝s1′＝3t2－4t＋1，v2＝s2′＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．2．下列求导数运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2) B.(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C.(3x)′＝3xlog3e D.(x2cosx)′＝－2xsinx答案B解析对于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)；对于B，由导数公式(logax)′＝eq\f(1,xlna)知正确；对于C，(3x)′＝3xln3；对于D，(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.故选B.3．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2024(x)＝()A.sinx B.－sinxC.cosx D.－cosx答案C解析因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2024(x)＝f1(x)＝cosx.4．已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.eq\f(1,2)答案A解析因为y′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，所以依据导数的几何意义可知，eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．二、填空题5．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案2解析令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.6．已知f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝mx，且g(2)＝eq\f(1,f′2)，则m＝________.答案－2解析f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴f′(2)＝－eq\f(1,4)，g(2)＝2m，∵g(2)＝eq\f(1,f′2)，∴2m＝－4，∴m＝－2.7．已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为__________．答案1解析∵f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sinx＋cosx.∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4).∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(2)－1.从而有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝(eq\r(2)－1)coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,4)＝1.三、解答题8．求下列函数的导数：(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝eq\f(ex,sinx).解(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋eq\f(cosx,x).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,sinx)))′＝eq\f(ex′·sinx－ex·sinx′,sin2x)＝eq\f(ex·sinx－ex·cosx,sin2x)＝eq\f(exsinx－cosx,sin2x).9．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解