2024高考数学二轮复习第一部分题型专项练压轴题提分练一文

PAGEPAGE1压轴题提分练(一)1．(2024·威海模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点P(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2))，动直线l：y＝kx＋m交椭圆C于不同的两点A，B，且eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝0(O为坐标原点)．(1)求椭圆C的方程．(2)探讨3m2－2k解析：(1)由题意可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a2＝2c2＝2(a2－b2)，即a2＝2b2，①又点P(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2))在椭圆上，所以有eq\f(2,4a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，②由①②联立，解得b2＝1，a2＝2，故所求的椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＝0，可知x1x2＋y1y2＝0.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y化简整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由Δ＝16k2m2－8(m2－1)(1＋2k2)＞0，得1＋2k2＞m2，所以x1＋x2＝－eq\f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2m2－2,1＋2k2)，③又由题知x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，整理为(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.将③代入上式，得(1＋k2)eq\f(2m2－2,1＋2k2)－km·eq\f(4km,1＋2k2)＋m2＝0.化简整理得eq\f(3m2－2－2k2,1＋2k2)＝0，从而得到3m2－2k2＝2.2．(2024·南宁二中模拟)设函数f(x)＝－a2lnx＋x2－ax(a∈R)．(1)试探讨函数f(x)的单调性；(2)设φ(x)＝2x＋(a2－a)lnx，记h(x)＝f(x)＋φ(x)，当a＞0时，若方程h(x)＝m(m∈R)有两个不相等的实根x1，x2，证明h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＞0.解析：(1)由f(x)＝－a2lnx＋x2－ax，可知f′(x)＝－eq\f(a2,x)＋2x－a＝eq\f(2x2－ax－a2,x)＝eq\f(2x＋ax－a,x).因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以，①若a＞0，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0函数f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；②若a＝0时，f′(x)＝2x＞0在x∈(0，＋∞)内恒成立，函数f(x)单调递增；③若a＜0，当x∈(0，－eq\f(a,2))时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(－eq\f(a,2)，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．(2)证明：由题可知h(x)＝f(x)＋φ(x)＝x2＋(2－a)x－alnx(x＞0)，所以h′(x)＝2x＋(2－a)－eq\f(a,x)＝eq\f(2x2＋2－ax－a,x)＝eq\f(2x－ax＋1,x).所以当x∈(0，eq\f(a,2))时，h′(x)＜0；当x∈(eq\f(a,2)，＋∞)时，h′(x)＞0；当x＝eq\f(a,2)时，h′(eq\f(a,2))＝0.欲证h′(eq\f(x1＋x2,2))＞0，只需证h′(eq\f(x1＋x2,2))＞h′(eq\f(a,2))，又h″(x)＝2＋eq\f(a,x2)＞0，即h′(x)单调递增，故只需证明eq\f(x1＋x2,2)＞eq\f(a,2).设x1，x2是方程h(x)＝m的两个不相等的实根，不妨设为0＜x1＜x2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋2－ax1－alnx1＝m，,x\o\al(2,2)＋2－ax2－alnx2＝m，))两式相减并整理得a(x1－x2＋lnx1－lnx2)＝xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2x1－2x2，从而a＝eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2)＋2x1－2x2,x1－x2＋lnx1－lnx2)，故只需证明eq\f(x1＋x2,2)＞eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2)＋2x1－2x2,2x1－x2＋lnx1－lnx2)，即x1＋x2＞eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2)＋2x1－2x2,x1－x2＋lnx1－lnx2).(*)因为x1－x2＋lnx1－lnx2＜0，所以(*)式可化为lnx1－lnx2＜eq\f(2x1－2x2,x1＋x2)，即lneq\f(x1,x2)＜eq\f(2\f(x1,x2)－2,\f(x1,x2)＋1).因为0＜x1＜x2，所以0＜eq\f(x1,x2)＜1，不妨令t＝eq\f(x1,x2)，所以得到lnt＜eq\f(2t－2,t＋1)，t∈(0,1)．记R(t)＝lnt－eq\f(2t－2,t＋1)，t∈(0,1)，所以R′(t)＝eq\f(1,t)－eq\f(4,t＋12)＝eq\f(t－12