统考版2024届高考数学一轮复习第八章84直线平面平行的判定和性质学案理含解析

统考版2024届高考数学一轮复习第八章8.4直线平面平行的判定和性

质学案理含解析2023042314第四节直线、平面平行的判定和性质

⑥知识排查•双基落实抓宇基地•矗得良好开嫔

【知识重温】

一、必记3个知识点

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此

因为①______,

平面内的一条直线平

9

判定定理行，则该直线与此平一

______，

面平行（线线平行今

所以l//a

线面平行）

一条直线与一个平面

平行，则过这条直线因为②______,

的任一平面与此平面9

性质定理

的交线与该直线平行______,

（简记为“线面平行所以/〃6

二线线平行”）

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

因为③______,

一个平面内的两条相

______,

交直线与另一个平面

______,

判定定理平行，则这两个平面

9

平行（简记为“线面

______,

平行=面面平行”）b__/

所以。〃夕

如果两个平行平面同因为④______,

时和第三个平面相

性质定理

交，那么它们的交线L_______________T

平行1J所以a//b

3.平行关系中的两个重要结论

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若。_La,alfi,则a〃4.

（2）平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃夕，则a〃八

二、必明3个易误点

1.直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.

2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.

3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上

也可以相交.

【小题热身】

一、判断正误

1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或“X”）.

（I）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（）

（2）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（）

（3）若直线。与平面a内无数条直线平行，则。〃a.（）

（4）若直线。〃平面a,Pea,则过点P且平行于直线。的直线有无数条.（）

⑸若平面a〃平面小直线。〃平面a,则直线。〃平面口.（）

二、教材改编

2.如果直线。〃a,P三a,那么过点P且平行于直线。的直线（）

A.只有一条，不在平面a内

B.有无数条，不一定在平面a内

C.只有一条，且在平面a内

D.有无数条，一定在平面a内

3.下列命题中正确的是（）

A.如果直线a〃力，那么。平行于经过人的任何平面

B.如果直线。和平面a满足a〃a,那么。与a内的任何直线平行

C.如果直线a,。和平面a满足a〃a,b//«,那么

D.如果直线a,力和平面a满足。〃力，a//a,bCa,那么小〃a

三、易错易混

4.若平面a〃平面用，直线。〃平面a,点6则在平面夕内且过8点的所有直线中（）

A.不一定存在与。平行的直线

B.只有两条与。平行的直线

C.存在无数条与。平行的直线

D.存在唯一与“平行的直线

5.设a,B，y为三个不同的平面，〃为直线，给出下列条件：

①“UQ,bup,a//p,h//a；®a//y,夕〃y；③a_Ly,/?±y；④a_La,b工ya//h.

其中能推出a〃4的条件是.（填上所有正确的序号）

四、走进高考

6.［2019.全国卷I□设a,』为两个平面，则a〃夕的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与£平行

B.a内有两条相交直线与6平行

C.a、4平行于同一条直线

D.。、仅垂直于同一平面

|考点一|直线与平面平行的判定和性质

［互动讲练型］

[例1][2019•全国卷I]

如图，直四棱柱ABCD-ABiGG的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分别是6C,BBi，Ai。的中点.

(1)证明：MN〃平面CiOE；

(2)求点C到平面CxDE的距离.

悟•技法

I.判定线面平行的4种方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(Ma,H,a//b=>a//a).

(3)利用面面平行的性质定理优〃夕，〃夕).

(4)利用面面平行的性质(a〃/7,aQa,㈣i,a//a=^a//p).

2.解决直线与平面平行的3个思维趋向

(I)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线

平行的直线.

(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.

(3)在解决娱面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的传化，即从“妙.线平

行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.

［变式练］——(着眼于举一反三)

1.［2021•广东省七校联合体高三联考］如图所示，四棱锥尸一/WCO中，%J_底面4BCO,

以=2,/ABC=90。，AB=5,BC=\,AD=2小,CO=4,E为CD的中点.

⑴求证：AE〃平面P6G

(2)求三棱锥C-PBE的体积.

考点二平面与平面平行的判定和性质

［互动讲练型］

［例2］［2021•广东肇庆实验中学月考］如图，已知ABCQ-AIBIGDI是棱长为2的正方体.

(I)求8iG小一/WCQ的体积；

(2)求证：平面平面G8D.

悟•技法

’判定平面与平面平行的5种方法

(1)面而平行的定义，印记两个平面没有公共点(不常用).

(2)面面平行的判定定理(主要方法).

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用).

(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观

题可用).

(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.

［变式练］——(着眼于举一反三)

2.［2021•四川成都五校联考］如图，在四棱锥尸一48CQ中，平面布Q_L平面A8CD,PA

=PD,AB=AD,PAYPD,ADLCD,N84D=60。，M、N分别为A。、%的中点.

(1)证明：平面BMN〃平面PC。；

(2)若人。=6,求三棱锥P—BMN的体积.

考点三立体几何中的探索性问题

［互动讲练型］

［例3］［2021•江西南昌重点中学段考］如图，四边形H8CO是梯形，四边形CQEV是矩形，

且平面八"CQJ_平面C£>EF,N94D=NCOA=90。，AB=AD=DE=^CD=2,M是线段八万

上的动点.

(1)试确定点M的位置，使AC〃平面M。/；,并说明理由;

(2)在(1)的条件下，求平面尸将几何体人QE-8C尸分成上、下两部分的体积之匕.

悟•技法

1.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，印先确

定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线

线平行，二是转化为面面平行.

2.这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需

使……成立”.

［变式练1——(着眼于举一反三)

3.如图所示，在三棱柱A8C—4SG中，。是棱CG的中点，问在棱A8上是否存在一

点E,使。E〃平面ASG?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.

第四节直线、平面平行的判定和性质

【知识重温】

①/〃aaUaIda②，〃QIfaC0=b®a//pb//fiaCb=Pa^ab^a

®a//fiaC\y=apC\y=b

【小题热身】

1.答案：(1)X⑵J(3)X(4)X

⑸X

2.解析：过。与。作一平面夕，平面Q与平面外的交线为从因为a〃a,所以〃〃儿在

同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，故选C.

答案：c

3.解析：A中，。可能在经过〃的平面内，故A错误；B中，。还可以与平面a内的直

线异面，故B错误；C中，。可以与直线b平行、异面、相交，故C错误；D中，过直线a

作平面尸，设aGp=c,\*a//a,.\a//ct又■:a"b、:c、又从la,且cUa,,\b//a,故

D正确.故选D.

答案：D

4.解析：当直线。在平面用内且过4点时，不存在与。平行的直线，故选A.

答案：A

5.解析：在条件①或条件③中，a〃尸或a与夕相交；由a〃y,彼〃尸a〃人条件②满足；

在④中，«±a,a//b=>bLa,又b_L〃，从而a〃4④满足.

答案：②④

6.解析：A、C、D选项中。与夕可能相交.故选B.

答案：B

课堂考点突破

考点一

例1解析：⑴证明：连接BCME.

因为M,£分别为3丛，8c的中点，

所以且ME=夕?]C.

又因为N为4。的中点，所以NQ=%|Q.

由题设知可得故ME统ND,

因此四边形MNDE为平行四边形，MN〃七/).

又MNQ平面CiDE,所以MN〃平面GDE.

(2)过C作GE的垂线，垂足为H.

由已知可得。E_LBC,DEXCiC,

所以平面CiCE,

故DE1CH.

从而C”_L平面GDE,

故CH的长即为C到平面GDE的距离.

由已知可得CE=1,CiC=4,所以CIE=4万,

故。”=靖^.

从而点C到平面GQE的距离为合伊.

变式练

1.解析：（1）・；AB=小,8c=1,ZABC=90°,

・"C=2,ZBCA=6Q°.

在△ACO中，AQ=2\G,AC=2,CD=4,

：.AC2-\-AD1=CD2,，/C4D=90。，△AC。是直角三角形.

又七为CD的中点，：.AE=^CD=CE=2,

・•・△ACE是等边三角形，・・・NCAE=60。，

・•・ZCAE=600=N8cA,：,BC//AE.

又AEQ平面08C,8c二平面P8C,••・4E〃平面PBC.

(2)V%_L底面ABCDt_L底面BCE,

：.PA为三棱锥尸一BCE的高.

VZBCA=60°,ZACD=60°,JNBCE=120°.

又3C=1,CE=2,

；・S/、BCE=』XBCXCEXsinNBCE=』X1X2X^=坐,

；•V三钝然c-P8E=匕梭依p8CE=；X5,\BCEX用=(X：X2=3^.

考点二

例2解析：(1)设正方体的体积为％,

则由题图可知BiGQ-ABCO的体积V=Vi-\^-AiBiDl=2X2X2~jx^X2X2X2=8

_20

一于

(2)证明：・・・A8CO-ABGA为正方体，・・・DC〃AB,DlCl=AlBlt

又A8〃A山i,AS=AlBi,：.DiCi//AB,Q£=AB,

・•・四边形O1G/M为平行四边形，

：.DiA//C\Bt又。1对平面C由。，G5U平面GBD,

・・・24〃平面G3D同理，GD〃平面GBD,

又OiAnO|8i=Qi,，平面平面G8D

变式练

2.解析：(1)证明：连接80.

\'AB=ADtNA4O=60。，.二△AB。为正三角形.

YM为4。的中点，：,BMLAD.

,CADVCD,CD,8MU平面ABCD,:.BM//CD.

又3MQ平面PCD,CDU平面PCQ,・・.8W〃平面PCD

*：M,N分别为人Q,以的中点，：.MN//PD.

又MNQ平面PCD,POU平面PCD,

・・・MN〃平面PCD.

又BM,MNU平面BMN,BMCMN=M,

，平面8MN〃平面PCD.

(2)在(1)中已证BMLAD.

•・・平面平面ABCD,8MU平面ABCD,

平面PAD.

又AO=6,/朋。=6。。，・・・8M=3小.

•・・M,N分别为AO,出的中点，%=PO=拳40=3啦,

/.△用(3g)2=*

・•・三棱锥产一BMN的体积V=%"MN=；Sb“N/M=gx*X3，5=乎.

考点三

例子解析:

(1)当M为线段AE的中点时，AC〃平面例。E

证明如下：

如图，连接。区交DF于N,连接MM

因为M,N分别是AE,CE的中点，

所以MN//AC.

因为MNU平面MDFfACQ平面MDF,

所以4。〃平面MDF.

(2)将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE—BiCF,

则三棱样尸的体积V=5A4DE-CD=5X2X2X4=8.

VADE-BCF=VADE-BICF-VF~C=8一;XRX2X2)X2=y.

三棱锥产一OEM的体琅心阳昌嗯义巾义同义4=寺,

故上、下两部分的体积之比为鼻(孚—§=14.

变式练

3.解析：解法一假设在棱上存在点E,使得OE〃平面人8iG，

如图，取BBi的中点凡

连接。F,EF,ED,

则DF〃B\C\,

又。/过平面481G，

HCU平面ABC1,

二。尸〃平面人8iG,

又OE〃平面ABiG，DEODF=D,

・•・平面。即〃平面AB©,

■:EFU平面DEF,：.EF//平面AB\C\,

又VEFU平面ABBi，平面ABB\C\平面AB\C\=ABlf

:・EF〃AB\,

丁点尸是BBi的中点,

・••点E是48的中点.

即当点E是A3的中点时，。£〃平面ASG.

解法二存在点巴且E为A8的中点时，QE〃平面A8iG.

证明如下：

如图，取88］的中点八连接。忆

则I)F〃R\C\.

•・・£>R平面ABC,B£U平面ABC,

工。尸〃平面AB\C\.

:AB的中点为E,连兼EF,ED,

则EF//AB}.

•••£7也平面ASG,ABC平面ABiG,

，石产〃平面AB\Ci.

■:DFC\EF=F,

，平面。七尸〃平面ABCi.

而DEU平面DEF,・•・DE//平面A®G.

第五节直线、平面垂直的判定和性质

预习<5知识排查.双基落实抓牢底独­蠹将比好开场

【知识重温】

一、必记6个知识点

1.直线与平面垂直

(1)定义：直线I与平面a内的①________一条直线都垂直，就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面a.bUa

内的两条相交直线都L-T②

判定定理A

垂直，则该直线与此lla

平面垂直n/_La

-1

垂直于同一个平面的③___}

性质定理■■■■■■1

两条直线平行A=>a//b

|二一1

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④_______叫做这条直线和这个平

面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面

内，则它们所成的角是0。的角.

(2)范围；0,y

3.平面与平面垂直

（1）二面角：从一条直线出发的⑤所组成的图形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

©________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

4.平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是⑦，就说这两个平面互相垂直.

5.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一个平⑧[

判定定理面的垂线，则这两个_________/

平面垂直

0alp

山

两个平面垂直，则一

个平面内垂直于交线口

性质定理

的直线与另一个平面⑨_______

垂直/J_a

n/_La

6.垂直关系中的两个重要结论

（I）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的

一个重要方法）.

二、必明3个易误点

1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.

2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.

3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.

【小题热身】

一、判断正误

1.判断卜列说法是否止确（请在括号中打“J”或"X”）.

⑴/与平面a内的两条直线垂直，则直线以平面a.（）

⑵直线/不可能和两个相交平面都垂直.（）

（3）当。_1_夕时，直线/过。内一点且与交线垂直，则）

（4）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）

二、教材改编

2.下列命题不正确的是（）

A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直

B.过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行

C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直

D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

3.已知直线方与平面a,B，y,能使a_L4的充分条件是（）

A.a±y,fiLyB.aC\fJ=a,〃_La,bu/j

C.ci"0,a//aD.a//a,a邛

三、易错易混

4.若/,小为两条不同的直线，a为平面，月/J_a,则“小〃a”是，山”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知直线“和平面a,B，若aJL.,p,则〃与a的位置关系为.

四、走进高考

6.［2019・北京卷］已知/,〃?是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

®/_Lw；®m//a；③LLa.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:

.(答案不唯一)

⑥考点突破•分层探究研习号忐-掌握美思通法

|考点一|直线与平面垂直的判断与性质

［互动讲练型］

[例1]

［2021•河南省豫北名校高三质量考评］如图，在多面体E/MBCQ中，四边形A8C。为正方

形，四边形ACEF为矩形，平面ACE/LL平面ABC。，^AB=AF=\.

⑴求证：4E_L平面CDB

(2)求点£■到平面CO5的距离.

悟•技法

判定线面垂直的四种方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“两千行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个千面垂直”.

(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

|变式练］——(着眼于举一反三)

1.［2021•南昌市高三■年级摸底测试卷］如图，已知直三棱柱ABC—481G中，AB1AC,

AB=AC=AA\=2,E是8c的中点，尸是A|E上一点，且4尸=2五E

⑴证明:4-_L平面4BC;

(2)求三棱锥G—4FC的体积.

考点二平面与平面垂直的判定与性质

［互动讲练型］

［例2］［2020•全国卷1］如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△48C是底面的

内接正三角形，尸为。O上一点，ZAPC=90°.

(1)证明：平面以立面以C：

(2)设。0=会，圆锥的侧面积为小兀，求三棱锥户一ABC的体积.

悟•技法

面面垂直的证明方法

(I)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直

问题转化为证明平面角为直角的问题.

(2)定理法：利用而而垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把

问题转化成证明线,线垂直加以解决.

［提醒］两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面

垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.

［变式练］——(着眼于举一反三)

2.［2021・石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试］如图,

四棱锥产一A5CD中，％_L底面八5C7),△AC7)是边长为2的等边三角形，RAB-8C-

市,PA=2.

⑴求证：平面以。，平面;™)；

(2)若点M是棱PC的中点，求直线P。与8M所成角的余弦值.

考点三平面图形翻折成空间图形

［互动讲练型］

［例3］［2019•全国卷HI］图1是由矩形AOEB,Rl△48C和菱形8FGC组成的一个平面图

形，其中A6=l,BE=BF=2,/尸5c=60。.将其沿A8,5c折起使得BE与8f重合，连结

DG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面4CGE；

(2)求图2中的四边形ACGO的面积.

悟•技法

对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质

可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量

的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.

［变式练］——(着眼于举一反三)

3.［2021•“超级全能生”联考］如图，四边形43co为等腰梯形，AB=2,AD=DC=CB

=1,将△4OC沿AC折起，使得平面AOCL平面4BC,七为/W的中点，连接DE,OB.

(1)求证：BCLAD；

(2)求点E到平面BCD的距离.

第五节直线、平面垂直的判定和性质

【知识重温】

①任意②〃门力=0③a_Labla④锐角⑤两个半平面⑥垂直于棱⑦直二面

角⑧/_LaY"⑨aD夕=“

【小题热身】

1.答案：(1)X(2)7(3)X(4)X

2.答案：D

3.解析：对A,a与少可能平行；对B,当a与夕相交但不垂直时，也会有》_La,2生

对C,。与夕可能平行，也可能相交，故A,B,C均错误.故选D.

答案：D

4.解析：由/_La且〃能推出〃?充分性成立；若/_La且〃?则小〃a或者〃?

U%必要性不成立，因此“加〃。”是“mJJ”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

5.解析：当aUa且。垂直于处用的交线时，满足已知.

答案：a〃a或aUa

6.解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况.对三种

情况逐一验证.①②作为条件，③作为结论时，还可能/〃a或/与a斜交；①③作为条件，

②作为结论和②③作为条伶，①作为结论时，容易证明命题成立.

答案：①③0②或②③=①

课堂考点突破

考点一

例1解析：（1）证明：如图，分别取4。，BC,BE,的中点P,Q,M,N,连接4V,

PN,PQ,QM,MN,则QM〃CE,PN//AF,QM=^CE,PN=：AF.

♦在矩形ACE尸中,AF然CE,

:・QM统PN,

・•・四边形PQMN为平行四边形，

:・PQ然MN.

易知，AB^MN,

・•・四边形人8WN为平行四边形，：,AN//BM.

;平面ACE/7,平面ABC。，ECA.AC,平面ACE尸n平面4BCZ）=4C,

・・・EC_L平面ABC。，・'・EC_LOC

同理"_LAD又由条件知AQ=AF,：,ANLDF,则BM_LOF,BE±DF.

VDC±BC,EC±DC,且4CnCE=C,工。。，平面4C£,:.DC工BE.

又BE上DF,DCCDF=D,，吕石，平面C75F.

（2）设点E到平面CDF的距离为h.

由（1）可得EC_L8C

又BCLCD,CDCCE=C,，8C_L平面COE,・・・AD_L平面COE

在矩形4CEF中，AF//CE,，A/〃平面CQ£

・•・三棱锥/一CO石的高等于4。的长，且40=1.

由（1）易知CQ_L平面ADF,

•••。厂匚平面人。〜，・・・C0_L。凡A5ACDF=2X1X^=2-

设点E到平面。。户的距离为h,

,**VF-CDE=VE-DCF,X^X1X1X1=1X当h,解骞h=*.

变式练

1.解析：（I）如图，连接4E,因为AB=AC=2,AB1AC,石为BC的中点，所以4EJLBC,

AE=也

由于三棱柱ABC—A/iG是直三棱柱，故AA]_L平面A8C,所以AA|_LAE,AA\LBC.

在直角三角形AAE中，因为44=2,AE=y[2,

所以4七=#,那么EF=等.

AEA\F

所以TT=土，所以所以NAQE=N4AE=90。，即人尸J_4£

LrAL

由AE_L8C,MPAE=A,

得BC_L平面4AE,4尸u平面44E08CJLAF.

由A/_LAiE,A尸_L8C,BCnAiE=E,

得AF_L平面ABC.

(2)过七作E/)J_4C,交AC于点D,连接4。，过产作R7〃E。，交4。于点G因为A4」

平面4BC,所以AAi_LED,又EO_LAC,ACdAAx=A,

所以EQ_L平面A4C,所以尸G_L平面/UC.

22I2

因为〃A\F=2FE,所以彳£。=彳乂彳.

rGEO,r6=JJ/f5/16=J

S2\4CG=；X2X2=2,所以V三棱锥G-4/C=V三棱锥F-AiCC1=|sAAiCC,FG

考点二

例2解析：（1）由题谀可知，PA=PB=PC.

由于△/wc是正三角形，故可得△氏氏△mc^AP«c.

又NAPC=90。，故NAP8=90°,Z5PC=90°.

从而尸B_LB4,PB1PC,故PB_L平面布C,所以平面%8_L平面%C

⑵设圆锥的底面半径为r,母线长为/.

由题设可得，•/=小，尸一户=2.

解彳导V—1*l=y[3.

222

从而.由（1）可得PA-\-PB=AB1故必=P8=PC=尊.

所以三棱锥P-48C的体积为:xj义弘XP8XPC=1x[x（幸＞=坐.

变式练

2.解析：⑴证明：•・•以_L底面A3cO,：,PAVBD,

取八。的中点O,连接08,OD,则AC_LO&AC_LOD,,•・点O,B,。共线，即人C_LBO.

又%nAC=4,平面PAC.

8OU平面PBD,；・平面布C_L平面PBD.

⑵取CD的中点N,连接MN,BN,则MN//PD.

・•・/BMN或其补角是异面直线。。与所成的角.

Rt△%。中，必=40=2,:.PD=2®:・MN=巾.

连接0M,则0M〃以，・・・OMJ_平面A8CO,

□△M08中，W0=0B=l,:,BM=也

△BDN中,BD=，5+1,DN=1,NBDN=30。,

由余弦定理BN2=BD2-\-DN2-2BDDNCOS30°,得BM=2+小.

8M2+MM—刷_2+2—(2+小)_2一小

ABMN中，cos/BMN=

ZBMMN~2Xy[2Xy[2~4

・•・直线PD与BM所成角的余弦值为々子.

考点三

例3解析•：（1）证明：由已知得CG//BE,所以AD〃CG,故A。，CG确定一

个平面，从而A,C,G,。四点共面.

由已知得A3_L3K,A8_L8C,BCCBE=B,故A3_L平面6CGE.

又因为ANU平面A8C,所以平面/WC'J"平面4CGK

（2）取CG的中点M,连接EM,DM.

因为A8〃OE,4B_L平面8CGE,所以OE_L平面8CGE.

故DELCG.

由已知，四边形3CGE是菱形，且NE3c=60。得EMJ_CG,故CG_L平面OEM.又。MU

平面DEM.

因此。MJ_CG.

在RlZ\OEM中，OE=1,EM=小,故DM=2.

所以四边形ACGO的面积为4.

变式练

3.解析：（1）证明：作C〃_LA8于点H,如图，

则BH=g,AH=^.

V5C=1,:.CH=^,：.CA=®易得ACJ_8C

•.•平面4QC_L平面ABC,且平面人。CH平面ABC=AC,平面ABC,

・・・8C_L平面AQC.

又4OU平面ADC,：.BCYAD.

（2）；E为AB的中点,

・•・点七到平面BC。的距离等于点4到平面3CO距离的一半.

由（1）可得平面AOC_L平面BC。，・,•过点A作AQ_LC。于Q,如图.

•・•平面4OCA平面8CD=CO,且AQU平面AQC,

，AQ_L平面8C。，A。就是点A到平面BCO的距离.

由（1）知AC=V5,AD=DC=\t

12+12_（小）2[

一不

,cosZ4DC=-，c入1入JI-=Z

又OvNAOCvg/.ZADC=^,

・••在RtZXQAO中，ZQDA=^,AO=1,

fZA

：.AQ=ADsinZQDA=1乂彳=拳

・••点E到平面BCD的距离为小.

第六节空间向量及其运算

【知识重温】

一、必记3个知识点

1.空间向量及其有关概念

语言描述

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相①________

(平行向量)

共面向量平行于②________的向量

共线向对空间任意两个向量。，帅#0),。〃方台存在2ER,使

量定理③________

共面向若两个向量》不共线，则向量P与向量。，力共面台

量定理存在唯一的有序实数对(x,y),使/二④_____

定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向

量P，存在有序实数组｛弟户z｝使得尸二⑤______

空间向量推论：设0、4、B、。是不共面的四点，则对平面A4C

基本定理

内任一点。都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使分=

工，*十)，5方+2历且x+)，+z=1

2.数量积及坐标运算

(1)两个向量的数量积：

(i)0力=|0|步|cos(a,b).

(ii)a±b=®>(a,b为非零向量).

(iii)|«|2=a2,|a|=Nx2+)2+z2.

(2)向量的坐标运算：

a=(a\,。2，6)，b=(b\,岳，by)

向量和“+6=0___________

向量差a-b=®____________

数量积ab=⑨____________

共线a//b^®___________(/l£R,*0)

垂直a_Lb台⑪____________

夹角公式cos(a,b)=©_____________________

3.直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/⑬或⑭

,则称此向量。为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的⑮向量m则向量。叫做平面af勺法向

量.

二、必明4个易误点

1.共线向量定理中存在/IGR,使。=乃易忽视bWO.

2.共面向量定理中，注意有序实数对(x,田是唯一存在的.

3.一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量.

4.利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否

则，会犯步骤不规范的错误.

【小题热身】

一、判断正误

1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).

(1)空间中任意两非零向量。，5共面.()

(2)对于向量〃，b,若。•力=0,则一定有。=0或力=0.()

⑶若。仍＜0,则b)是钝角.()

(4)若｛〃，力，c｝是空间的一个基底，则小儿c中至多有一个零向量.()

(5)两不重合直线自和人的方向向量分别为功=(1,0,-1),6=(-2,0,2),则八与卜的位

置关系是平行.()

⑹已知矗=(2,2,1),危=(4,5,3),则平面A8C的单位法向量是加=iQ，一*)

⑺若〃1，〃2分别是平面。，尸的法向量,则〃」〃20小伙()

二、教材改编

蓿

2.如图所示，在平行六面体A8CO-ABiCQi中，M为4G与8]/)的交点.若AB=a,

AD=htAAi=c,则下列向量中与3法相等的向量是()

A.-%+*+cB.%+，+c

C.-%-/+cD.；°—茨+c

3.正四面体/WCD的校长为2,E,尸分别为BC,/I。的中点，则石尸的长为.

三、易错易混

4.在空间直角坐标系中，已知A(l,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2J),。(4,3,0),则直线4B

与C。的位置关系是()

A.垂直B.平行

C.异面D.相交但不垂直

5.与向量(一3,—4,5)共线的单位向量是()

B.呼,平,邛）

_2^2四

10*5*2J

"至亚/*_^2.四

U\10*5'2r\10*5'2J

考点一空间向量的线性运算I［自主练透画］

1.

如图，在三棱锥O—A8C中，M,N分别是A8,OC的中点，设。了=〃，OB=b,0C=

c,用a,b,c表示NM,则NM等于()

A*-a+b+c)B.g(a+c)

C.J(a—b+c)D.；(—a—B+c)

2.在空间四边形A8CD中，若A万=(—3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,尸分别为

线段BC,A。的中点，则E7的坐标为()

A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

3.

如图所示，在长方体A8CO-A必GG中，。为4c的中点.用A万，AD,篇1表示无

则无尸.

悟•技法

用已知向量表示某一向量的方法

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起

始向品的始点指向末尾向昂:的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.

考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用|［分层深化型］

考向一：共线向量定理及应用

［例1］⑴已知向量。=(2〃?+1,3,m-1),b=