统计过程控制(spc)与休哈特控制图(二)

统计过程控制（SPC）与休哈特控制图（二）

第五章休哈特控制图

一、特控制图的种类及其用途

国标GB4091常规控制图是针对休哈特控制图的。根据该国标，常规休哈特控制图如表常规的休

哈特控制图。表中计件值控制图与计点值控制图又统称计数值控制图。这些控制图各有各的用途，

应根据所控制质量指标的情况和数据性质分别加以选择。常规的休哈特控制图表中的二项分布和泊

松分布是离散数据场合的两种班型分布，它们超出3。界限的第I类错误的概率。当然未必恰巧等

于正态分布3。界限的第1类错误的概率a=0.0027,但无论如何总是个相当小的概率。因此，可以应

用与正态分布情况类似的论证，从而建立p、pn、c、u等控制图。

常规的休哈特控制图

数据分布控制图简记

计址值正态分布均值-极差控制图

“一R控制图

均值-标准差拧制图

X-R控制图

中位数-极差控制图Xmed-R控制图

单值-移动极差控制图x-Rs控制图

计件值二项分布不合格品率控制图P控制图

不合格品数控制图Pn控制图

计点值泊松分布单位缺陷数控制图U控制图

缺陷数控制图C控制图

现在简单说明各个控制图的用途:

1.X-R控制图。对于计量值数据而言，这是最常用最基本的控制图。它用于控制对象为长度、

重量、强度、纯度、时间和生产量等计量值的场合。

X控制图主要用于观察分布的均值的变化,R控制图用于观察分布的分散情况或变异度的变化,

而不一R图则将二者联合运用，用于观察分布的变化。

2.文一s控制图与x—R图相似，只是用标掂差图（s图）代替极差图（R图）而己。极差计算简便,

故R图得到广泛应用，但当样本大小n>10或口，这时应用极差估计总体标准差。的效率减低，需要应

用s图来代替R图。

3.X.MED-R控制图与工一R图也很相似,只是用中位数图（XMED图）代替均值图（工图）。所谓中

位数即指在一组按大小顺序排列的数列中居中的数。例如,在以下数列中2、3、7、13、18,中位数

为17。又如，在以下数列中2、3、7、9、13、18,共有偶数个数据。这时中位数规定为中间两个数的

7+9

均值。在本例即2=8。由于中位数的计算比均值简单,所以多用于现场需要把测定数据直接记入

控制图进行控制的场合,这时为了简便，当然规定为奇数个数据。

4.x—Rs控制图。多用于下列场合:对每一个产品都进行检验,采用自动化检查和测量的场合;

取样费时、昂贵的场合；以及如化工等过程，样品均匀，多抽样也无太大意义的场合。由于它不像前

三种控制图那样能取得较多的信息，所以它判断过程变化的灵敏度?要差一些。

5.P控制图。用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数值质量指标的场合。这里需要注意

的是，在根据多种检杳项目总合起来确定不合格品率的情况，当控制图显示异常后难以找出异常的

原因。因此，使用p图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据。常见的不良率有不合格

品率、废品率、交货延迟率、缺勤率，邮电、铁道部门的各种差错率等等。

6.Pn控制图。用于控制对象为不合格品数的场合。设n为样本大小-户为不合格品率,则t为不

合格品个数。所以取pn作为不合格品数控制图的简记记号。由于计算不合格品率需进行除法，比较

麻烦,所以在样本大小相同的情况下，用此图比校方便。

7.c控制图。用于控制一部机器,一个部件,一定的长度，一定的面枳或任何一定的单位中所出现

的缺陷数目。如布匹上的疵点数,铸件上的砂眼数,机器设备的缺陷数或故障次数，传票的误记数,每

页印刷错误数，办公室的差错次数等等。

8.u控制图。当上述一定的单位,也即样品的大小保持不变时可以应用c控制图，而当样品的大

小变化时则应换算为平均每单位的缺陷数后再使用U控制图。例如,在制造厚度为21M的钢板的生

产过程中，一批样品是2平方米的，下一批样品是3平方米的。这时就都应换算为平均每平方米的缺

陷数，然后再对它进行控制。

二、应用控制图需要考虑的一些问题

应用控制图需要考虑以下一些问题：

1.控制图用于何处?原则上讲,对于任何过程，凡需要对质量进行控制管理的场合都可以应用控

制图。但这里还要求:对于所确定的控制对象一质量指标应能够定量，这样才能应用计量值控制图。

如果只有定性的描述而不能够定量,那就只能应用计数值控制图.所控制的过程必须具有重复性,即

具有统计规律。对于只有一次性或少数几次的过程显然难于应用控制图进行控制。

2.如何选择控制对象?在使用控制图时应选择能代表过程的主要质量指标作为控制对象。一个

过程往往具有各种各样的特性,需要选择能够真正代表过程情况的指标。例如,假定某产品在强度方

面有问题，就应该选择强度作为控制对象。在电动机装配车间，如果对于电动机轴的尺寸要求很高，

这就需要把机轴直径作为我们的控制对象。在电路板沉铜缸就要选择甲醛、NaOH、的浓度以及

沉铜速率作为多指标统一-进行控制。

3.怎样选择控制图？选择控制图主要考虑下列几点：首先根据所控制质量指标的数据性质来进

行品，如数据为连续值的应选择X—R、工一s、XME1)一Rs或x—Rs图；数据为计件值的应选择p

或pn图，数据为计点值的应选择c或u图。其次,要确定过程中的异常因素是全部加以控制（全控）

还是部分加以控制（选控），若为全控应采用休哈特图等;若为选控,应采用选控图，参见第七章（一）；

若为单指标可选择一元控制图，若为多指标则须选择多指标控制图，参见第七章（二）。最后,还需要

考虑其他要求，如检出力大小，抽取样品、取得数据的难易和是否经济等等。例如要求检出力大可采

用成组数据的控制图，如大一R图。

4.如何分析控制图？如果在控制图中点子未出界，同时点子的排列也是随机的，则认为生产过程

处于稳定状态或控制状态。，如果控制图点子出界或界内点排列非随机，就认为生产过程失控。

对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说,即使在控制图点子出界的场合,也首先应该

从下列几方面进行检查:样品的取法是否随机,数字的读取是否正确，计算有无错误，描点有无差错，

然后再来调查生产过程方面的原因,经验证明这点十分重要。

5.对于点子出界或违反其他准则的处理。若点子出界或界内点排列非随机,应执行第二章（五）

的20个字，立即追查原因并采取措施防止它再次出现。应该强调指出，正是执行了第二章（五）的

20个字，才能取得贯彻预防原则的作用。因此,若不执行这20个字,就不如不搞控制图，

6.对于过程而言，控制图起着告警铃的作用，控制图点子出界就好比告警铃响，告诉现在是应该

进行查找原因、采取措施、防止再犯的时刻了。虽然有些控制图，如X—R控制图等,积累长期经验

后，根据工图与R图的点子出界情况，有时可以大致判断出是属于哪方面的异常因素造成的，但一般

来说,控制图只起告警铃的作用，而不能告诉这种告警究竟是由什么异常因素造成的。要找出造成异

常的原因，除去根据生产和管理方面的技术与经验来解决外,应该强调指出，应用两种质量诊断理论

和两种质量多元诊断理论来诊断的方法是十分重要的。有关内容参见第七章。

7.控制图的重新制定。控制图是根据稳定状态卜的条件（人员、设备、原材料、工艺方法、坏

境，即4M1E）来制定的。如果上述条件变化,如操作人员更换或通过学习操作水平显著提高，设备更新,

采用新型原材料或其他原材料，改变工艺参数或采用新工艺，环境改变等,这时,控制图也必须重新

加以制定。由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数

据，进行计算,加以检验。

8.控制图的保管问题，控制图的计算以及日常的记录都应作为技术资料加以妥善保管。对于点

子出界或界内点排列非随机以及当时处理的情况都应予以记录，因为这些都是以后出现异常时查找

原因的重要参考资料。有了长期保存的记录，便能对该过程的质量水平有清楚的了解,这对于今后在

产品设计和制定规格方面是十分有用的。

三、工-R（均值-极差）控制图

对于计量值数据，工一R（均值一极差）控制图是最常用、最重要的控制图，因为它具有下列优点：

1.适用范围广。对于工图而言，计量值数据x服从正态分布是经常出现的。若x非正态分布，则

当样本大小n<4或5时，根据中心极限定理知道x近似正态分布。对于R图而言，通过在电子计算

机上的统计模拟实验证实:只要总体分布不是太不对称的,R的分布没有大的变化。这就从理论上说

明了x-R图适用的范围广泛。

2.灵敏度高。％图的统计量为均值L反映在x上的偶然波动是随机的，通过均值的平均作用，

这种偶然波动得到一定程度的抵消；而反映在x上的异常波动往往是在同一个方向的,它不会通过均

值的平均作用抵消。因此、正图检出异常的能力高。至于R图的灵敏度则不如x图高。

现在说明一下彳一R图的统计基础，假定质量特性服从正态分布N(u,O"),且u,1均已知。若

xl,x2,...,xn是大小为n的样本,则样本均值为

xl+x2+…+初

x=n

由于X服从正态分布N(p,O'/n),并且样本均值落入下列两个界限

o

u-ZQ/2-Za/2Jn(5.3-la)

o

U+ZaZ2=四+Za/24^⑸3-lb)

间的概率为1-a。因此若N与o已知，则式⑸3Ta)与式⑸37b)可分别作为样本均值的控制图的上

下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3。控制界限。当然，即使x的分布是非正态的,但由于

中心极限定理,上述结果也近似成立。

在实际工作中，U与。通常未知，这时就必须应用从稳态过程所取的预备样本的数据对它们进

行估计。预备样本通常至少取25个(根据判稳准则(2),最好至少取35个预备样本)。设取m个样本,

每个样本包含n个观测值。样本大小n主要取决于合理分组的结构,抽样与检查的费用,参数估计的

效率等因素,n通常取为4,5或6。令所取的m个样本的均值分别为储，•••,•、,则过程的U的最

佳估计量”为总均值工，即

————.

U=R=(X,+X2+>e+xr)/m(5.3-2)

于是x可作为x图的中心线。

为了建立控制界限，需要估计过程的标准差。可以根据m个样本的极差或标准差来进行估计。

应用极差进行估计的优点是极差计算简单,所以至今R图的应用较s图为广。

现在讨论极差法。设Xl,X2,...,Xn为一大小为n的样本,则此样本的极差R为最大观测值Xmax与最

小观测值Xmin之差，即

R=Xmax-Xmin(5.3-3)

若样本取自正态总体，可以证明样本极差R与总体标准差O有下列关系：令归R/。,可以证明

E(W);d2,为一与样本大小n有关的常数,于是,o的估计量为。=E(R)/d2。

令m个样本的极差为RI,R2,...,Rm,则样本平均极差为

R\4-R2+...+Rm

R=团(5.3-4)

故。的估计量为

0=E(R)/d2(5.3-5)

若样本大小n较小,则用极差法估计总体方差与用样本方差去估计总体方差的效果是一样的。

但当n较大,如n>10或12,则由于极差没有考虑样本在Xnax与Xmin之间的观测值的信息,故极差法的

效率迅速降低。但在实际工作中，X-R图一般取n=4,5或6,所以极差法是令人满意的。

若取H的估计量为％,0的估计量为E(R)/d2,则入图的控制线为

o0

UCL”+3«=x+3R、

R=X+AI

CL=ux(5.3-6)I

oo

LCL印-3五R=x-A2R>

式中

o

Ai=3dl4n(5.3—7)

为一与样本大小n有关的常数,参见附录V计量值控制图系数表。

由上述，已知样本极差R与过程标准差o有关,因此可以通过R来控制过程的变异度,这就是R

图1。R图的中心线即UR=为了确定R图的控制界限，需要对。R进行估计。若质量特性服从正态

分布，令w:R/o,可以证明(JW=d3(d3为-"与样本大小n有关的常数)，于是从R二No知知CR=。wo=d3o。

由于。未知，故从式°=E(R)/d2得8的估计量为

0=d3A/d2(5.3-8)

根据上述,得到R图的控制线如下

—8

UCL=%+3°R弋%+35=R+3d3R/d2、

CL=&U"=R(5.3-9)”

LCL=%-30R光战-35=R-3d3R/d2

4*D3=l-3d3/d2,D4=l+3d3/d2,则代入上式后，得R图的控制线为

UCL=D»耳、

CL二R(5.3-10)I

LC［尸DR

式中，系数D3、D4参见计量值控制图系数表。

现在我们通过例子说明建立刀一R图的步骤,其他控制图的建立步骤也与此类似。

例5.3-1厂方要求对汽车引擎活塞环的制造过程建立x—R控制图进行控制。现取得25个样

本，每个样本包含5个活塞环的直径的观测值，如活塞环直径的数据表所示。

解我们按下列步骤进行。

步骤1:取预备数据。已取得预备数据如活塞环直径的数据表所示。

步骤2:计算样本均值X。例如,对于第一个样本,我们有

74.030+74.002十74019十73.992十74.008

工1=5=74.010

其余类推。

步骤3:计算样本极差Ro例如,对于第一个样本,xinax=74.030,xmin=73.992,于是有

Rl=74.030-73.992=0.058

其余类推。

活塞环直径的数据

样本序号观测值门Ri

174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038

273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019

373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036

474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022

573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026

674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024

773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012

873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030

974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.014

1073.90S74.0007S.99()74.00773.99573.90S0.017

1173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.008

1274.00474.00074.00774.00073.99674.0010.011

1373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.029

1474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.039

1574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.016

1674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.021

1773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.026

1874.()0674.01074.01874.00374.00074.007().018

1973.98474.00274.00374.00573.99773.9980.021

2074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.018

2173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.020

2274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.019

2374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.025

2474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.022

2573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035

小计1850.0240.581

平均74.0010.023

2525

汴

步骤4:计算样本总均值％与平均样本极差乂

.由于M=1850.024,»='=0.581,

故

1Vw1850.024

x=25/=i=25=74.001

10.581

-=25i=i=25=o.023

步骤5:计算R图与x图的控制线。计算x—R图应该从R图开始，因为x图的控制界限中包含元,

所以若过程的变异度失控:则计算出来的这些控制界限就没有多大意义。

对于样本大小n=5,从附录V查得D3=0,D4=2.115,又从步骤4知R=0.023,于是代入式(5.3T0)后,

得到R图的控制线为

UCL=DR

4=2.115(0.023)=0.049

CL=R=O.023

LQ产03R=0(0.023)=0

如x—R控制图所示。

事实上,LCL=D3R=(l-3d2/d3)R,当n=5,l-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114为负值，但R

不可能为负，故此时LCL不存在。这里,LCL=0不过作为R的自然下界而已。当把25个预备样本的极

差描点在R图中后，根据判断稳态的准则(1)知过程的变异度处于控制状态。

于是可以建立X图。

图3,5.3-1例3.5.3—1的w-R控制图

对于样本大小n=5,从附录V查得A2=0.577,又从步骤4知％=74.001,R=0.023,于是

0o

代入式UCL=p+3册%x+3d2&R=x+A2R、

CL=u*工>

oo

LCL=|i-3x-3dl4nR=X-AIR>

后，得到x图的控制线为

UCL=X+AR=74.001+0.577(0.023)=74.014

CL=^=74.001

LCI产x-AR=74.o()1—0.577(0.023)=73.988

如图(工-R控制图)所示,当把预备样本的均值描点在工图中后，根据判断稳态的准则⑴知过程的

均值处于稳态。由于工图和R图都处于统计稳态,且从该厂知过程也处于技术稳态，于是上述x-R图

表例中F-R图的日常管理数据

样K序号观身与K

•74.01274.0157403C7398674.000。4.侬0')44

273.99574.0107399C7401574.00174.0020025

373.98773.99973.98574CCO73990-3.9920DL5

4X.008749074.CC673.991400674.30.019

574.003UOOO74.CC172.986”3.99773K970.017

S75.99-”.00374.01574.02074.00474.C070026

7

74.00874.00274.C1S73.99574,00574.C060023

37400174.00473.99073.95673.99873.S980.0114•»

974.01574,00074.01574.02574.00074.C110025

1074.03074.03574.0CO74.0167401274.C13003C

11Z.0(il73.9903.99574.0107402474.CC40034

1274.01574,02374.02474.0057401974.0170019

1374.0357401074.01274.0157402574.0200025

1474.on7401374.03674.02574.02674.0230023

1574.01C740D574.92974.CC074.02074.0150029

可加以延长,作为控制用控制图供日常管理之用。

步骤6:延长上述X-R图的控制界限作控制用控制图。为了进行日常管理，该厂又取了15个样

本，参见工一R图的日常管理数据表。在计算出各个样本的工与R后在工一R图描点，如工一R图用

于日常管理图所示。从图中可见，x图在第11个样本后的几个点子均出界，说明存在异常因素。事

实上,从x图上第9、第10个点子后的点子逐渐上升的趋势已可看出这是由于过程均值逐渐增大的

结果。

例中3一R图用于日常管理

现在对X-R图进行一些讨论:

1.如何联合应用x—R图查找异常。如表(X-R图的判断)所示,表中情况一、二、四的判断

2-

是成立的，至于情况三，现在说明如下：对于正态分布总体N(p,0),只有H变化而。不变，则在X图

将由于描点出界的概率增大而告警;但若只有。变化,而H不变,这时不仅R图将由于描点出界的概

率增大而告警，且x图中描点出界的概率也增大,从而也会告警。所以在情况三,R图告警可以判断o

变化,而工图同时告警则不能判断p一定发生变化，因为有可能是由于。变化引起的，卜i是否发生变化

应视具体情况而定。

X—R图的判断

情况R图判断

X图

—告警未告警u变化

二未告警告警。变化

三告警告警。变化,至于R变化是否发生应视具体情况而定

四未告警未告警正常

图3.5.3-3容差图

2.容差图。在X图上的描点是样木的平均值X而非样木的各个测量值x,有时将样本中的逐个x

反映在规格界限的容差图中是有用的，如图（容插图）所示。图中的竖线表示该样本中各个x值的

范围，规格界限为74.000+0.03。从图（容插图）可见，图（X—R图用于日常管理图）连续4个点

子出界并非是由于样本的个别异常观测值造成的，而是由于过程均值的偏移而造成的。我们求得从

第9组到第15组样本的总均值为74.015,若过程均值从原来的稳定值74.001偏移到此值,则将产生

6.43%的不合格品。

-LSL

3.控制界限、规格界限与自然容差界限间的关系。x—R图的控制界限与规格界限亳无关系完

全是两码事。规格界限是由技术经济要求所决定的,而控制界限则是由过程的以标准差a度量的自

然变异度，亦即过程的自然容差界限所决定的.两者不可混为一谈，如图（控制界限、规格界限于自

然容差界限）所示。

4.应用x-R的一些注意事项：

（1）合理分组原则。在收集数据进行分组时要遵循休哈特的合理分组原则：1）组内差异仅由偶然

波动（偶然因素）造成;2）组间差异主要由异常波动（异常因素）造成下面作些说明。

首先,若过程稳定，则在过程中只存在偶然波动（偶然因素），它由3。方式中的。所反映。如果确

定。值不仅有偶然波动而且还有异常波动，则。值增大,也即上下控制界限的间隔加大。在极端情况

卜，若异常波动全部进入。值的计算，则上卜控制界限的间隔将大到使任何点都不会出界。从而控制

图就失去了控制的作用。因此,一个样本组内各个样品特性值的差异要求尽可能由偶然波动造成。

这就要求同一个样本组的各个样品的取样应在短时间内完成。

其次，各个样本组的统计量平均值也是有差异的。由于偶然波动始终存在,它必然会对此差异有

影响，但这种影响是微小的。若过程异常,要求统计量平均值之间的差异主要由异常波动（异常因素）

造成,这样便于由控制图检出异常。这就要求在容易产生异常的场合增加抽样频率,反之,亦然。

（2）经济性。抽样的费用不得高于所获得的效益。

（3）样本大小n和抽样频率。若用工控制图去检出过程的较大偏移，例如2。或更大的偏移,则可

用较小的样本（如n=4,5或6）即可将其检出，若检出较小的过程偏移，则需用较大的样本，甚至需要

n=15至25。当然,较小的样本在抽样时正好碰到过程偏移的可能性也小。因此，可以采用添加警戒

限和其他判定界内点非随机排列的原则，来提高控制图检出过程小偏移的能力，而不采用大样本的

作法。对于R图，若采用小样本则对于检出过程标准差的偏移是不很灵敏的，但大样本用极

差法估计标准差的效率将迅速降低。因此,对于n>10的样本,应该采用s图而不用R图。

在确定正图和R图的样本大小时，X图和R图的操作特性曲线是有用的。至于抽样频率,实践表

明多倾向于采用小样本、短间隔而不是大样本、长间隔。

(4)X图和R图检出过程质量偏移的能力可由其操作特性曲线(简称0C曲线)来描述。

1)文图的检定能力和0C曲线。假定过程标准差o为常数,若过程均值由稳定状态值no偏移到

另一值u1,其中口尸卬+人。，则在偏移后第一个抽取的样本未检出此偏移的概率(即第II类错误的

概率)或B风险为

B=P{LCLWXUCL|口二口1=uO+K。}⑸3-11)

-2-

由于X〜N(内0/n),而入图的上下控制界限分别为

o

UCL"0+3&,

o

UCL=pO-3孤,

于是,可将式(5.3—11)写成

UCLTi+K)UCLTi+K)

|3=(D[]-(D[]

j+3。/册-(1+K)乩-3。/6-(乩+K，)

二6[0/4n]-(D[。/册]

=<D(3-K^)-<i)(-3-K^)(5.3-12)

式中,<p为标准正态累积分布函数,参见附录I表A—1。根据式芹①(3-KC)-(D(-3-KM)可作出

X图的0C曲线如H变化而o一定时X图的0C曲线图所示。从图中可见，当n一定时,6值随K的增

加而减少;而当K一定时,B值随n的增加也减少。当样本大小n<4,5或6时，式图由偏移后第一个样

本就检出过程的小偏移并不有效。例如,若偏移为1.06n=5,则由此图可查得p近似等于0.75,于是

此偏移由第一个样本检出的.概率仅仅为1一户1一0.75=0.25;此偏移由第一个样本检出的概率为

p(l—0)=0.75(1—0.75)=0.19;...;此偏移由第K个样本检出的概率为目"(1一位。一般,为检出

此偏移的期望样本个数为，

2"6"(1—8)=西(5.3-13)

1.0

Itl3.5.3-S〃变化而。一定时三图的OC曲戏

由此,在本例有1/(1一B)=1/().25=4,即若n=5,在X图检出1.0。的偏移的期望样本个数为4

个。

以上讨论是当总体标准差。一定而均值u变化时X图的0C曲线。若u值一定而。变化,不妨设

标准差由。偏移至Uo=Klo,则与式(5.3-12)类似地可得出B风险为

乩+3。/6一乩.)-30/册_A

K。/册]-<1)[KR&]

二6(3/KI)-①(-3/KI)(5.3-14)

表5.3—4是根据式(5.3一14)计算得到的P值。由此表可知，X图不仅对g的变化具有检定

能力，而且对o的变化也具有检定能力,也就是说,即使当p保持不变而a变化时也会在X图上反映

出来，这与X—R图的判断表一致。此外，当M不变而。变化时,。值与样本大小n无关(见式

(5.3-14))o

表5.3—4u一定。变化时X图的B值

K、11.522.5345

表A及。同时变化时x甚为，管(11=4)

23456

0C.866406528O.M80.451i•3830

0.50.8285065630.53280.44350.3780

!.•0.685305S260.4931。•②3•.3638

1.50.4987047720.43320.3810.3413

2，0.3083035980.36120.33，0.3121

2.50.158702486O.2S5?0.2SM0.2783

3.00.0658015740.21440.23B40.2417

3.50.0228009090.1525。.⑶10.2046

4.00.0052、00477O.1C260.1443C.1691

4.50.0023002280.06550.106)0.1539

5.00.00：2000980.03960.07610.1065

5.50.00：0000380.02260.05220.3815

6.00.00：0OOH30.01220.(3460.3606

B0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514

另外，还可以讨论均值U及标准差。同时变化时X图的第II类错误概率0值，这里只给出的计

算公式及当"4时的。值(见表H及。同时变化时X图的P值(n=4))

3-KM-3—KM

P=<D[Ki]-(1)[Ki](5.3-15)

根据上表中数据可画出如U及。同时变化时X图的0C曲线所示的一系列0C曲线。由图中可见,

当。增大,即K1值变大吐曲线的倾斜率变得平缓;而K1值较小时X图的。值随K值增大而激减,亦

即X图检出过程均值偏移的概率激增，即X图的灵敏度增加八

图3.5.3-70变化时代图的OC曲线

K

图3.5.3-6月及。同时变化时3图的CK曲线

上述讨论说明X图采用小样本是合理的。虽然小样本的p风险较大，但由于我们周期地抽取样

本并检验和在x图上描点,所以非常可能在抽取合理的样本个数后就可检出过程的偏移。此外，还可

采取增添警戒限和界内点非随机排列的判定准则来提高尤图检出过程偏移的能力。

2）R图的检定能力和。C曲线。为了构造R图的仅0C曲线需要用到性R/。的分布。设

过程标准差从处于稳定状态的。偏移到°』KS（K）,则R图的°C曲线（见图3.5.3-7）给出了

此偏移未被第一个样本检出的概率，即P值。

从图3.5.37图中曲线可见，当样本大小n增加时,p值减小，R图的检定能力提高，这点同工图

的情况相同。但有•点是不同的，即入图对。的变化有•定的检定能力，但R图对N的变化却没有检

定能力，也即若。不变而N变化,不能在R图上反映出来。另外，当采用小样本时，例如n=4,5或6时,R

图对检出过程的偏移不是很有效。这时可采用前述增加控制图灵敏度的措施。若样本大小n>10或

12时，一般应采用s图来代替R图。

3）X—R图的检定能力。分析了X图和R图的检定能力，现在来分析X图和R图同时使用时的总

检定能力。在样本大小n较小时，7—R图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏

移的概率的乘积。设B7为工图未能检出偏移的概率,pR为R图未能检出偏移的概率pR为x—R图

未能检出偏移的概率,则有

BT邛；・BR

例如，当n=4时,可以算得工一R图的命值如表所示。对于不同的n可能算出不同的0T值。

表x-R图的。值（〃=4）

X23456

00.56810.21500.0877104050.02(19

0.50.543,。.及670.0854)(13980.020€

1.00.449i0.18350.07900.03770.019$

1.50.327i0.1S030.0®0003450.0186

2.00.20220.11330.05790O3C*50.017C

2.5O.HM10.07830.仅58002600.0152

3.00.043t0.54960.0344002140.0132

3.50.01510.32860.0第4D.01700.0112

4.C0.00410.01500.0164D.01303.(X62

4.50.00150.CO720.01050.0096O.OC'i4

5.C0.0001OJ/3310.0(63Q.CO68J.0C68

5.5O.COOf0.00120.00360.CCM710GM

6.CO.COO((MOO4o.oceo0.00319.OC33

由表X一R图的B值（n=4）中数据口］•见，同时应用工图和R图的检定能力比单独使用工图或R图

的检定能力大。

四、x-s（均值-标准差）控制图

若样本大小n较大，例如n>10或12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在工一R

中用s图代替R图。

若°为一概率分布的未知方差，则样本方差

1”-2

为"的无偏估计量，但样本标准差S并非是O的无偏估计量。

若样本取自正态总体，可以证明

。$=/\&,这里a为一与样本大小n有关的常数。

现在,我们考虑。己知的情况，由于E(S)=C4O,故s图中的中心线为C。。，于是s图的控制线为

UCL=C4OO

+3J>C4、

CL二C4°(5.4-D

idO-3GV-C4

定义

J55=C4-3/一。4(5.4.2)

氏二C4+3

(5.4-3)

则代如上式后，得到已知的图的控制线为

UCL=R0、

CL=C4o(5.4-4)

LCL=Ao,

式中，系数B5、B6可自附录V表A—5查得。

若。未知，则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)=C。,有。二S/C4,这里

S二机I(5.4-5)

于是得到。未知情况的s图的控制线为

51-

UCL=+3^4VC4

CL=s(5.4-6)

UCL=s-3C

定义

1____