北师大初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

北师大2019初三年级数学上册期中试卷（含答

案解析）

北师大2019初三年级数学上册期中试卷（含答案解析）

一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）

1.如图，在AABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下

列结论不正确的是（）

A.BC=2DEB.AADE^AABCC.=D.SAABC=3SAADE

2.两个相像三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周

长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是（）

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,

85cm

3.按如下方法，将AABC的三边缩小的原来的，如图，任

取一点0,连AO、B0、

C0,并取它们的中点D、E、F,得△DEF,则下列说法正确

的个数是（）

①4ABC与4DEF是位似图形②4ABC与aDEF是相像图

形

③aABC与4DEF的周长比为1：2@AABC与4DEF的面积

比为4：1.

A.1B.2C.3D.4

4.如图，。。是AABC的外接圆，CD是直径，ZB=40°,则

NACD的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.75°

5.在AABC中，若cosA二,tanB=,则这个三角形肯定是

0

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等

腰三角形

6.如图，PA、PB切。。于点A、B,PA=8,CD切。。于点E,

交PA、PB于C、D两点，则4PCD的周长是()

A.8B.18C.16D.14

7.半径相等的圆的内接正三角形、正方彬、正六边形的边

长之比为()

A.1::B.::1C.3:2:1D.1:2:3

8.如图，OA,OB,OC,OD,OE相互外离，它们的半径

都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个

扇形(阴影部分)的面积是()

A.nB.1.5nC.2nD.2.5n

二、仔细填写，试一试自己的身手(每小题3分，共18分)

9.在相像三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4,6,

8.另一个三角形的最小边长是2,则另一个三角形的周长是.

10.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,假如它

把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为.

11.Z^ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),以

原点为位似中心，得到的位似图形4A'C'三个顶点分

别为A'(1,2),B'(2,),C(,-),则B'Cz

与4ABC的位似比是.

12.如图，在aABC中，NA=30°,ZB=45°,AC二,则AB

的长为.

13.一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周

角的度数为.

14.如图，三角板ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=6.三

角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A，落在AB

边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为(结

果保留n).

三、仔细解答，肯定要细心.(满分38分，要写出必要的计

算推理、解答过程)

15.计算：

(1)sin45°?cos45°+tan60°?sin60?

(2)sin30°-cos45°+tan230°+sin260°-cos260°.

16.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,

NDME=NA二NB,且DM交AC于F,ME交BC于G,写出图中

两对相像三角形，并证明其中的一对.

17.用反证法证明：在AABC中，假如M、N分别是边AB、

AC上的点，那么BN、CM不能相互平分.

18.如图，A、B、C、D是。。上的四点，AB=DC,Z\ABC与ADCB

全等吗？为什么？

四、综合解答题(太题4小题，满分40分，要写出必要的

计算、推理、解答过程)

19.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，4ABC

巧/XA,B，C，是以点0为位似中心的位似图形，它们的顶

点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点0;

(2)干脆写出aABC与4A'BzC，的位似比；

(3)以位似中心0为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴

建立平面直角坐标系，画出AA，B’C，关于点0中心对称

的/\NB〃C〃，并干脆写出4A〃B〃C〃各顶点的坐标.

20.已知：如图，AB是。0的弦，Z0AB=45°,C是优弧AB

上的一点，BD〃0A,交CA延长线于点D,连接BC.

(1)求证：BD是。0的切线；

(2)若AC二,ZCAB=75°,求。。的半径.

21.如图，在Z^ABC中，ZC=90°,BC=16cm,AC=12cm,点

P从B动身沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C动身，

以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时动身，

设运动时间为ts,当为何值时，△CPQ与4CBA相像？

22.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，

巳知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面。0

的圆心0,支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，

NBAC=30°,另一根协助支架DE=76厘米，NCED二60。.

（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）

（2）求水箱半径0D的长度.（结果保留三个有效数字，参

考数据：七1.414,^1.73）

北师大2019初三年级数学上册期中试卷（含答案解析）参考

答案与试题解析

一、精挑细选，火眼金睛（每小题3分，共24分）

1.如图，在aABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下

列结论不正确的是O

A.BC=2DEB.AADE^AABCC.=D.SAABC=3SAADE

考点：三角形中位线定理；相像三角形的判定与性质.

专题：压轴题.

分析：依据三角形的中位线定理得出DE是AABC的中位线，

再由中位线的性质得出△ADEs/\ABC,进而可得出结论.

解答：解：•・•在AABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点,

.\DE〃BC,DE=BC,

・・・BC=2DE,

故A正确；

・.・DE〃BC,

AAADE^AABC,故B正确；

・•・二,故C正确；

VDE是aABC的中位线,

AD：BC=1:2,

ASAABC=4SAADE

故D错误.

故选D.

点评：本题考查的是相像三角形的判定与性质及三角形的

中位线定理，熟记以上学问是解答此题的关键.

2.两个相像三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周

长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是()

A.75cm,115cmB.60cm,100cmC.85cm,125cmD.45cm,

85cm

考点：相像三角形的性质.

分析：依据题意两个三角形的相像比是15:23,可得周长

比为15:23,计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角

形周长.

解答：解：依据题意两个三角形的相像比是15:23,周长

比就是15：23,

大小周长相差8份，所以每份的周长是40:8=5cm,

所以两个三角形的周长分别为5义15=75cm,5X23=115cm.故

选A.

点评：本题考查对相像三角形性质的理解：

(1)相像三角形周长的比等于相像比；

(2)相像三角形面积的比等于相像比的平方；

(3)相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应衡平分

线的比都等于相像比.

3.按如下方法，将AABC的三边缩小的原来的，如图，任

取一点0,连AO、B0、

C0,并取它们的中点D、E、F,得aDEF,则下列说法正确的

个数是()

①4ABC与4DEF是位似图形②4ABC与aDEF是相像图

形

③4ABC与4DEF的周长比为1:2④Z\ABC与4DEF的面积

比为4：1.

A.1B.2C.3D.4

考点：位似变换.

专题：计算题.

分析：依据位似图形的性质，得出①aABC与4DEF是位似

图形进而依据位似图形肯定是相像图形得出②^ABC与

△DEF是相像图形，再依据周长比等于位似比，以及依据面

积比等于相像比的平方，即可得出答案.

解答：解：依据位似性质得出①4ABC与4DEF是位似图形，

②4ABC与4DEF是相像图形，

・・•将4ABC的三边缩小的原来的,

•二△ABC与ADEF的周长比为2:1,

故③选项错误，

依据面积比等于相像比的平方，

・••④Z\ABC与4DEF的面积比为4：1.

故选C.

点评：此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似

图形性质是解决问题的关键.

4.如图，。。是AABC的外接圆，CD是直径，NB=40°,则

NACD的度数是()

A.40°B.50°C.60°D.75°

考点：圆周角定理.

分析：首先连接AD,由直径所对的圆周角是直角，

ZCAD=90°,又由圆周角定理，即可求得ND的度数，继而

求得答案.

解答：解：连接AD,如图所示，

[CD是直径,

AZCAD=90°,

VZD=ZB=40°,

・・・NACD=900-ZD=50°.

故选B.

点评：此题考查了圆周角定理.此题难度不大，留意驾驭

协助线的作法，留意数形结合思想的应用.

5.在AABC中，若cosA二,tanB=,则这个三角形肯定是

()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等

腰三角形

考点：特别角的三角函数值.

分析：依据特别角的三角函数值和三角形的内角和定理求

出角的度数，再进行推断.

解答：解：VcosA=,tanB=,

・・・NA=45°,NB=60°.

AZC=180°-45°-60°=75°.

「•△ABC为锐角三角形.

故选A.

点评：本题考查特别角三角函数值的计算，特别角三角函

数值计算在中考中常常出现，题型以选择题、填空题为主.

6.如图，PA、PB切。。于点A、B,PA=8,CD切。。于点E,

交PA、PB于C、D两点，则4PCD的周长是（）

A.8B.18C.16D.14

考点：切线长定理.

分析：由PA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,依

据切线长定理可得：PB二PA=8,CA=CE,DB=DE,继而可得aPCD

的周长二PA+PB.

解答：解：TPA,PB切。。于A、B两点，CD切。0于点E,

・・.PB=PA=8,CA=CE,DB=DE,

•・.△PCD的周长

=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16.

故选：c.

点评：此题考查了切线长定理.此题难度不大，留意从圆

外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点

的连线，平分两条切线的夹角.

7.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边

长之比为（）

A.1：:B.：:1C.3:2：1D.1:2:3

考点：正多边形和圆.

专题：压轴题.

分析：从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角

三角形可得.

解答：解：设圆的半径是r,

则多边形的半径是r,

则内接正三角形的边长是2rsin60°二r,

内接正方形的边长是2rsin45°=r,

正六边形的边长是r,

因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边

长之比为：：1・

故选B

点评：正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接

半径，把正多边形白的半径，边长，边心距，中心角之间的

计算转化为解直角三角形.

8.如图，OA,OB,OC,OD,OE相互外离，它们的半径

都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个

扇形（阴影部分）的面积是（）

A.nB.1.5nC.2nD.2.5n

考点：扇形面积的计算；多边形内角与外角.

专题：压轴题.

分析：圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，

那么依据扇形的面积2公式计算即可.

解答：解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是二1.5n

故选B.

点评：解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积

来求，圆心角为五边形的内角和.

二、仔细填写，试一试自己的身手（每小题3分，共18分）

9.在相像三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4,6,

8.另一个三角形的最小边长是2,则另一个三角形的周长是

9.

考点：相像三角形的性质.

分析：由在相像三角形中，已知其中一个三角形三边的长

是4,6,8.另一个三角形的最小边长是2,即可求得其中

一个三角形的周长，由相像三角形的周长的比等于相像比，

即可求得答案.

解答：解：・・•一个三角形三边的长是4,6,8,

・••这个三角形的周长为：4+6+8=18,

・・•在相像三角形中，另一个三角形的最小边长是2,

,它们周长的比为:4：2=2：1,

・••另一个三角形的周长是9.

故答案为：9.

点评：此题考查了相像三角形的性质.此题比较简洁，留

意熟记定理是解此题的关键.

10.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度；1:2.4,不交如它

把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为

13m.

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

分析：首先依据题意画出图形，依据坡度的定义，由勾股

定理即可求得答案.

解答：解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1:2.4,

AE=5米，AE±BD,

i二二,

・,.BE=12米，

：.^kRtAABE中,AB==13(米).

故答案为：13m.

点评：此题考查了坡度坡角问题.此题比较简洁，留意驾

驭数形结合思想的应用，留意理解坡度的定义.

11.ZkABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),以

原点为位似中心，得到的位似图形4A'BzC，三个顶点分

别为Az(1,2),B，(2,),C(,-),则4A，B'C'

与aABC的位似比是1:3.

考点：位似变换；坐标与图形性质.

分析：由aABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,-1),

以原点为位似中心，得到的位似图形4A，BzC，三个顶点

分别为A7(1,2),Bz(2,),C(,-),依据位似图

形的性质，即可求得aA'B，C，与aABC的位似比.

解答：解：:△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,

-1),以原点为位似中心，得到的位似图形aA7B，C，三

个顶点分别为A，(1,2),B'(2,),C(,-),

B'C'与△ABC的位似比是:1:3.

故答案为：1:3.

点评：此题考查了位似图形的性质.此题比较简洁，留意

以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐

标的比.

12.如图，在aABC中，NA=30°,ZB=45°,AC二,贝|AB

的长为3+.

考点：解直角三角形.

专题：几何图形问题.

分析：过C作CD_LAB于D,求出NBCD二NB,推出BD二CD,

依据含30度角的直角三角形求出CD,依据勾股定理求出AD,

相加即可求出答案.

解答：解：过C作CDLAB于D,

AZADC=ZBDC=90°,

VZB=45°,

AZBCD=ZB=45°,

ACD=BD,

VZA=30°,AC=2,

二•CD二,

.e.BD=CD=,

由勾股定理得：AD==3,

・•・AB二AD+BD=3+.

故答案为：3+.

点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，

含30度角的直角三角形性质等学问点的应用，关键是构造

直旃三角形，题目具有肯定的代表性，是一道比较好的题目.

13.一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周

角的度数为72°或108°.

考点：圆心角、弧、弦的关系.

分析：先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分状况探讨

这条弦所对圆周角的度数.

解答：解：如图，连接0A、0B.

弦AB将。。分为2：3两部分，

则NAOB=X360°=144°;

.\NACB二NAOB=72°,

NADB=180。-ZACB=108°;

故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108。.

点评：此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质；

需留意的是在圆中，一条弦（非直径）所对的圆周角应当

有两种状况，不要漏解.

14.如图，三角板ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,BC=6.三

角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A，落在AB

边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为2n

（结果保留n）.

考点：弧长的计算；旋转的性质.

分析：点B转过的路径长是以点C为圆心，BC为半径，旋

转角度是60度，依据弧长公式可得.

解答：解：VAC=A,C,且NA=60°

.-.△ACA,是等边三角形.

・,.NACA，=60°即旋转角为60°,

・・・NBCB，=60°,

・••点B转过的路径长是：二2rl.

故答案为：2rl.

点评：本题的关键是弄清所求的是那一段弧长，圆心用半

径，圆心角分别是多少，然后利用弧长公式求解.

三、仔细解答，肯定要细心.(满分38分，要写出必要的计

算推理、解答过程)

15.计算：

(1)sin45°?cos45°+tan60°?sin60?

(2)sin30°-cos45°+tan230°+sin260°-cos260°.

考点：特别角的三角函数值.

分析：(1)干脆利用特别角的三角函数值代入求出即可；

(2)干脆利用特别角的三角函数值代入求出即可.

解答：解：(1)原式二X+义二2；

(2)原式二-++-

二1-.

点评：此题主要考查了特别角的三角函数值，正确记忆特

别角的三角函数值是解题关键.

16.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,

NDME二NA二NB,且DM交AC于F,ME交BC于G,写出图中

两对相像三角形，并证明其中的一对.

考点：相像三角形的判定.

分析：依据三角形的外角性质求出NAFM二NBMG,再依据相

像三角形的判定推出即可.

解答：答：Z\AMFsZ\BGM,ADMG^ADBM,AEMF^AEAM,

证明：・.・NDME=NA二NB,

・・・NAFM=NDME+NE=NA+NE=NBMG,ZA=ZB,

点评：本题考查了相像三角形的判定和三角形外角性质的

应用，主要考查学生运用定理进行推理的实力，用到的学问

点是有两角相等的两个三角形相像，难度适中.

17.用反证法证明：在AABC中，假如M、N分别是边AB、

AC上的点，那么BN、CM不能相互平分.

考点：反证法.

专题：证明题.

分析：首先假设BN、CM能相互平分，利用平行四边形的性

质进而求出即可.

解答：已知在aABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，

求证：BN、CM不能相互平分.

证明：假设BN、CM能相互平分，则四边形BCNM为平行四边

形，

则BM〃CN,即：AB/7AC,这与在△ABC中，AB、AC交于A点

相冲突，

所以BN、CM能相互平分结论不成立，

故BN、CM不能相互平分，

点评：此题主要考查了反证法，正确驾驭反证法的步骤是

解题关键.

18.如图，A、B、C、D是。。上的四点，AB=DC,Z\ABC与ADCB

全等吗？为什么？

考点：圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定；圆周

角定理.

专题：探究型.

分析：要证明aABC与4DCB全等，已知的条件是AB=DC,

那么他们所对的弧就相等，那么优弧ADC二优弧BAD,

NABC二NBCD,又因为NA,ND所对的是同一条弦，那么可

得出NA二ND,这样就构成了ASA,可以确定其全等.

解答：解：Z^ABC与4DCB全等.

证明：・・•圆周角NA,ND所对的是同一条弦，那么NA=ND

VAB=CD,・・・劣弧AB二劣弧CD

J优弧ADC二优弧BAD

・・.NABC二NBCD

又TAB二CD,

「•△ABC与4DCB中，

AAABC^ADCB(ASA).

点评：本题考查了全等三角形的判定.要留意本题中圆周

角定理的应用.

四、综合解答题(为题4小题，满分40分，要写出必要的

计算、推理、解答过程)

19.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，AABC

与B‘C，是以点0为位似中心的位似图形，它们的顶

点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点0;

(2)干脆写出aABC与4A，B，C，的位似比；

(3)以位似中心0为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴

建立平面直角坐标系，画出aA7B，C'关于点0中心对称

的B〃C〃，并干脆写出4A〃B〃C〃各顶点的坐标.

考点：作图-位似变换.

专题：作图题；压轴题.

分析：(1)连接CC，并延长，连接BB'并延长，两延长

线交于点0;

(2)由0B=20B',即可得出Z\ABC与aA，B，C'的位似

比为2:1;

(3),连接B，0并延长，使0B"=0B，,延长A7。并延长，

使0A〃=0Az,C，0并延长，使0C〃二0C',连接A〃B〃，

A〃c〃，B〃C〃，则4A"B〃C〃为所求，从网格中即可得

出4A〃B〃C〃各顶点的坐标.

解答：解：(1)图中点0为所求；

(2)ZkABC与B，C'的位似比等于2：1；

(3)△A"B〃C〃为所求；

A〃(6,0);B〃(3,-2)；C〃(4,-4).

点评：此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步

骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代

表原图的关键点；③依据相像比，确定能代表所作的位似图

形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

20.已知：如图，AB是。0的弦，Z0AB=45°,C是优弧AB

上的一点，BD〃0A,交CA延长线于点D,连接BC.

(1)求证：BD是。0的切线；

(2)若AC二,NCAB=75°,求。。的半径.

考点：切线的判定与性质；解直角三角形.

专题：计算题；证明题.

分析：(1)连接0B,如图,依据题意得，Z1=Z0AB=45°.由

A0〃DB,得N2=N0AB=45°.则N1+N2=90°.即BDL0B

于B.从而得出CD是。。的切线.

(2)作0EJ_AC于点E.由OELAC,AC二,求得AE,由

NBAC=75°,Z0AB=45°,得出N3.在RtZ\0AE中，求得

0A即可.

解答：(1)证明：连接0B,如图.

VOA=OB,Z0AB=45°,

AZ1=Z0AB=45°.

VAO^DB,

AZ2=Z0AB=45°.

AZ1+Z2=90°.

/.BD±OB于B.

・・・又点B在。0上.

ABD是。0的切线.

(2)解：作OELAC于点E.

VOE±AC,AC二,

・・・AE=二.

VZBAC=75°,Z0AB