2025年春北师版数学九年级下册导学案 2.4 第1课时 图形面积的最大值 导学案

第二章二次函数2.4二次函数的应用第1课时图形面积的最大值学习目标：1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)自主学习自主学习一、复习回顾写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=x2-4x-5；(2)y=-x2-3x+4.想一想思考二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？合作探究合作探究要点探究知识点一：求二次函数的最大(或最小)值例1写出下列抛物线的最值.(1)y=x2-4x-5;(2)y=-x2-3x+4.例2已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为()A．3B．－1C．4D．4或－1知识点一：几何图形面积的最大面积引例如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示?(2)设矩形的面积为ym，当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?议一议在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？例3如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？(2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？归纳总结典例精析例4用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)二、课堂小结当堂检测当堂检测1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是.2.如图1，在△ABC中，∠B=90°，B=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过s，四边形APQC的面积最小.3.(河北期末)如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢?同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设BC的边长为xm.矩形ABCD的面积为Sm2不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式.直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大?参考答案一、创设情境，导入新知写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=x2-4x-5；(2)y=-x2-3x+4.解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；（2）开口方向：向下；对称轴：x=-eq\f(3,2)；顶点坐标：（-eq\f(3,2)，eq\f(25,4)）；想一想思考二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定？二次函数y=ax2+bx+c的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.小组合作，探究概念和性质知识点一：求二次函数的最大(或最小)值例1解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，-9),∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=-eq\f(3,2)，顶点坐标为(-eq\f(3,2)，eq\f(25,4)),∴当x=-eq\f(3,2)时，y取最大值，最大值为eq\f(25,4).例2答案：C知识点二：几何图形面积的最大面积引例议一议在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？例3如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？(2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为(60−2x)m.∴S=x(60−2x)=−2x2＋60x.x＞0，60−2x＞0，60−2x≤32，∴14≤x＜30.∵S=−2x2＋60x=−2(x−15)2+450，∴当x=15m时，S取最大值，此时S最大值=450m2.(2)由(1)知S=−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450.x＞0，60−2x＞0，60−2x≤18，∴21≤x＜30.∵15＜21，∴当21≤x＜30时，S随x的增大而减小，故当x=21时，S取得最大值，此时S最大值=−2×(21−15)2+450=378(m2).典例精析例4用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分